Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.1

Evalúe las siguientes integrales definidas:

Pregunta 45. $\int_{1}^{4} \frac{x^2+x}{\sqrt{2x+1}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{1}^{4} \frac{x^2+x}{\sqrt{2x+1}}dx$

Sea 2x + 1 = t ² , entonces tenemos,

=> 2 dx = 2t dt

=> dx = t dt

Ahora, el límite inferior es, x = 1

=> t ² = 2x + 1

=> t ² = 2(1) + 1

=> t ² = 3

=> t = √3

Además, el límite superior es, x = 4

=> t ² = 2x + 1

=> t ² = 2(4) + 1

=> t ² = 9

=> t = 3

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{\sqrt{3}}^{3} \frac{(\frac{t^2-1}{2})^2+(\frac{t^2-1}{2})}{t}tdt$

yo = $\int_{\sqrt{3}}^{3} (\frac{t^2-1}{2})^2+(\frac{t^2-1}{2})dt$

yo = $\frac{1}{4}\int_{\sqrt{3}}^{3} (t^4+1-2t^2+2t^2-2)dt$

yo = $\frac{1}{4}\int_{\sqrt{3}}^{3} (t^4-1)dt$

yo = $\frac{1}{4}\left[\frac{t^5}{5}-t\right]^3_{\sqrt{3}}$

yo = 1/4 [3 ^5/5 – 3 – (√3) ^5/5 + √3]

yo = 1/4[243/5 – 3 – 9√3/5 + √3]

Yo = 1/4((243 – 15 – 9√3 + 5√3)/5)

Yo = 1/4[(228 – 4√3)/5]

Yo = 1/4[4(57 – √3)/5]

Yo = (57 – √3)/5

Por lo tanto, el valor de $\int_{1}^{4} \frac{x^2+x}{\sqrt{2x+1}}dx$ es (57 – √3)/5.

Pregunta 46. $\int_{0}^{1} x(1-x)^5dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1} x(1-x)^5dx$

Usando el teorema del binomio en la expansión de (1 – x) ⁵ , obtenemos,

yo = $\int_{0}^{1} x[1^5+^5C_1(-x)+^5C_2(-x)^2+^5C_3(-x)^3+^5C_4(-x)^4+^5C_5(-x)^5]dx$

yo = $\int_{0}^{1} x(1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5)dx$

yo = $\int_{0}^{1} (x-5x^2+10x^3-10x^4+5x^5-x^6)dx$

yo = $\left[\frac{x^2}{2}-\frac{5x^3}{3}+\frac{10x^4}{4}-\frac{10x^5}{5}+\frac{5x^6}{6}-\frac{x^7}{7}\right]^{1}_0$

yo = 1/2 – 5/3 + 10/4 – 10/5 + 5/6 – 1/7

yo = 1/2 – 5/3 + 5/3 – 2 + 5/6 – 1/7

yo = 1/2 – 2 + 5/6 – 1/7

yo = 1/42

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1} x(1-x)^5dx$ es 1/42.

Pregunta 47. $\int_{1}^{2} (\frac{x-1}{x^2})e^xdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{1}^{2} (\frac{x-1}{x^2})e^xdx$

yo = $\int_{1}^{2} \frac{xe^x-e^x}{x^2}dx$

yo = $\int_{1}^{2} (\frac{e^x}{x}-\frac{e^x}{x^2})dx$

yo = $\int_{1}^{2}\frac{e^x}{x}dx-\int_{1}^{2}\frac{e^x}{x^2}dx$

Al usar la integración por partes, obtenemos,

yo = $\frac{e^x}{x}-\int ((\frac{-1}{x^2})\int e^xdx)dx-\int \frac{e^x}{x^2}dx$

yo = $\frac{e^x}{x}+\int\frac{e^x}{x^2}dx-\int \frac{e^x}{x^2}dx$

yo = e ^x /x

Entonces obtenemos,

yo = $\left[\frac{e^x}{x}\right]^2_1$

yo = mi ² /2 – mi ¹ /1

yo = mi ² /2 – mi

Por lo tanto, el valor de $\int_{1}^{2} (\frac{x-1}{x^2})e^xdx$ es e ² /2 – e.

Pregunta 48. $\int_{0}^{1} (xe^{2x}+sin\frac{\pi x}{2})dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1} (xe^{2x}+sin\frac{\pi x}{2})dx$

Al usar la integración por partes en la primera integral, obtenemos,

yo = $\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx+\left[\frac{-cos\frac{\pi x}{2}}{\frac{\pi}{2}}\right]^1_0$

yo = xe ^2x /2 – (1/2)(e ^2x /2) + 2/

yo = xe ^2x /2 – e ^2x /4 + 2/

Entonces obtenemos,

yo = $\left[\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}\right]^1_0+\frac{2}{\pi}$

yo = [e ² /2 + e ² /4 – 0 + 1/4] + 2/

yo = mi ² /4 + 1/4 + 2/

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1} (xe^{2x}+sin\frac{\pi x}{2})dx$ es e ² /4 + 1/4 + 2/ .

Pregunta 49. $\int_{0}^{1} (xe^{x}+cos\frac{\pi x}{4})dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1} (xe^{x}+cos\frac{\pi x}{4})dx$

Al usar la integración por partes en la primera integral, obtenemos,

yo = $xe^{x}-\int ((1)\int e^xdx)dx+ \left[\frac{sin\frac{\pi x}{4}}{\frac{\pi x}{4}}\right]^1_0$

yo = $xe^{x}-\int e^xdx+\frac{4}{\pi}[\frac{1}{\sqrt{2}}-0]$

yo = $xe^{x}-e^x+\frac{4}{\pi}[\frac{1}{\sqrt{2}}]$

yo = $xe^{x}-e^x+\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$

Entonces obtenemos,

yo = $\left[xe^{x}-e^x\right]^1_0+\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$

yo = $\left[e^{x}(x-1)\right]^1_0+\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$

yo = [e ¹ (1 – 1) – e ⁰ (0 – 1)] + 2√2/

Yo = [0 – (-1)] + 2√2/

yo = 1 + 2√2/

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1} (xe^{x}+cos\frac{\pi x}{4})dx$ es 1 + 2√2/ .

Pregunta 50. $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}(\frac{1-sinx}{1-cosx})dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}(\frac{1-sinx}{1-cosx})dx$

yo = $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}(\frac{1-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2sin^2\frac{x}{2}})dx$

yo = $-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}(\frac{-1}{2}cosec^2\frac{x}{2}+cot\frac{x}{2})dx$

yo = $\left[-e^xcot\frac{x}{2}\right]^\pi_\frac{\pi}{2}$

I = -e cotπ/2 + e ^π/2 cotπ/4

yo = 0 + e ^π/2 (1)

yo = mi ^π/2

Por lo tanto, el valor de $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}(\frac{1-sinx}{1-cosx})dx$ es e ^π/2 .

Pregunta 51. $\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$

yo = $\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}(sin\frac{x}{2}cos\frac{\pi}{4}+cos\frac{x}{2}sin\frac{\pi}{4})dx$

yo = $\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin\frac{x}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}cos\frac{x}{2})dx$

yo = $\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin\frac{x}{2})dx+\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos\frac{x}{2})dx$

Al usar la integración por partes en la primera integral, obtenemos,

yo = $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[sin\frac{x}{2}\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}dx-\int (\int (e^{\frac{x}{2}}dx)\frac{sin\frac{x}{2}}{2})dx\right]+\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos\frac{x}{2})dx$

yo = $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[sin\frac{x}{2}(2e^{\frac{x}{2}})\right]^{2\pi}_0-\int_{0}^{2\pi}e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos\frac{x}{2})dx+\int_{0}^{2\pi}e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos\frac{x}{2})dx$

yo = $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[sin\frac{x}{2}(2e^{\frac{x}{2}})\right]^{2\pi}_0$

yo = 1/√2[senπ(2e ^π ) – 0]

Yo = 1/√2[0 – 0]

yo = 0

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$ es 0.

Pregunta 52. $\int_{0}^{2\pi} e^x\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{2\pi} e^x\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$

Al usar la integración por partes, obtenemos,

yo = e ^x cos(x/2 + π/4) + 1/2∫e ^x sen(x/2 + π/4)

I = e ^x cos(x/2 + π/4) + 1/2[ e ^x sin(x/2 + π/4) – 1/2 ∫e ^x cos(x/2 + π/4)dx]

yo = e ^x cos(x/2 + π/4) + 1/2e ^x sen(x/2 + π/4) – 1/4I

$\frac{5I}{4}=\left[e^x\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}e^xsin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})\right]^{2\pi}_0$

$\frac{5I}{4}=\left[\frac{-1}{\sqrt{2}}(e^{2\pi}+1)-\frac{1}{2\sqrt{2}}(e^{2\pi}+1)\right]$

5I/4 = -3/ 2√2(e ^2π + 1)

Yo = -3√2/5(e ^2π + 1)

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{2\pi} e^x\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$ es -3√2/5(e ^2π + 1).

Pregunta 53. $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}$

yo = $\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{(\sqrt{1+x}-\sqrt{x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{x})}dx$

yo = $\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{1+x-x}dx$

yo = $\int_{0}^{1} (\sqrt{1+x}+\sqrt{x})dx$

yo = $\int_{0}^{1}(\sqrt{1+x})dx+\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx$

yo = $\left[\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right]^1_0+\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]^1_0$

yo = 2/3[2 ^3/2 – 1] + 2/3[1 – 0]

yo = $(\frac{2^{1+\frac{3}{2}}}{3})-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$

yo = 2 ^5/2 /3

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}$ es 2 ^5/2 /3.

Pregunta 54. $\int_{1}^{2} \frac{x}{(x+1)(x+2)}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{1}^{2} \frac{x}{(x+1)(x+2)}dx$

yo = $-\int_{1}^{2} \frac{1}{x+1}dx+\int_{1}^{2} \frac{2}{x+2}dx$

yo = $-\left[log(x+1)\right]^2_1+\left[2log(x+2)\right]^2_1$

yo = $-\left[log(x+1)\right]^2_1+2\left[log(x+2)\right]^2_1$

I = -log3 + log2 + 2[log4 – log3]

I = -log3 + log2 + 2[2log2 – log3]

I = -log3 + log2 + 4log2 – 2log3

I = 5log2 – 3log3

I = log2 ⁵ – log3 ³

I = log32 – log27

I = log32/27

Por lo tanto, el valor de $\int_{1}^{2} \frac{x}{(x+1)(x+2)}dx$ es log32/27.

Pregunta 55. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^3xdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^3xdx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2x(sinx)dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-cos^2x)(sinx)dx$

Sea cos x = t, entonces tenemos,

=> – sen x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = cos x

=> t = cos 0

=> t = 1

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = cos x

=> t = cos π/2

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{1}^{0} (t^2-1)dt$

yo = $\int_{1}^{0}t^2dt-\int_{1}^{0}(1)dt$

yo = $\left[\frac{t^2}{3}\right]^{0}_1-\left[t\right]^0_1$

Yo = [0 – 1/3] – [0 – 1]

Yo = [-1/3] – [-1]

yo = -1/3 + 1

yo = 2/3

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^3xdx$ es 2/3.

Pregunta 56. $\int_{0}^{\pi} (sin^2\frac{x}{2}-cos^2\frac{x}{2})dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\pi} (sin^2\frac{x}{2}-cos^2\frac{x}{2})dx$

yo = $-\int_{0}^{\pi} (cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2})dx$

yo = $-\int_{0}^{\pi}cosxdx$

yo = $\left[-sinx\right]^\pi_0$

I = -sinπ + sin0

yo = 0

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\pi} (sin^2\frac{x}{2}-cos^2\frac{x}{2})dx$ es 0.

Pregunta 57. $\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2})e^{2x}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2})e^{2x}dx$

Sea 2x = t, entonces tenemos,

=> 2x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 1

=> t = 2x

=> t = 2(1)

=> t = 2

Además, el límite superior es, x = 2

=> t = 2x

=> t = 2(2)

=> t = 4

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{1}{2}\int_{2}^{4}(\frac{2}{t}-\frac{4}{2t^2})e^{t}dt$

yo = $\int_{2}^{4}(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2})e^{t}dt$

yo = $\int_{2}^{4}\frac{e^t}{t}dt-\int_{2}^{4}\frac{e^t}{t^2}dt$

Al usar la integración por partes en la primera integral, obtenemos,

yo = $\left[\frac{e^t}{t}\right]^4_2-\int (\frac{-1}{t^2}\int e^tdx)dx-\int_{2}^{4}\frac{e^t}{t^2}dt$

yo = $\left[\frac{e^t}{t}\right]^4_2+\int_{2}^{4}\frac{e^t}{t^2}dt-\int_{2}^{4}\frac{e^t}{t^2}dt$

yo = $\left[\frac{e^t}{t}\right]^4_2$

yo = mi ^4/4 – mi ^2/2

Por lo tanto, el valor de $\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2})e^{2x}dx$ es e ^4/4 – e ^2/2 .

Pregunta 58. $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{(x-1)(2-x)}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{(x-1)(2-x)}}dx$

yo = $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{2x-x^2-2+x}}dx$

yo = $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

yo = $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{4}}}dx$

yo = $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2-(x-\frac{3}{2})^2}}dx$

yo = $\left[sin^{-1}(2x-3)\right]_{1}^{2}$

I = [pecado ^-1 (1) – senado ^-1 (-1)]

yo = π/2 – (-π/2)

yo = π/2 + π/2

yo = π

Por lo tanto, el valor de $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{(x-1)(2-x)}}dx$ es π.

Pregunta 59. Si $\int_{0}^{k}\frac{1}{2+8x^2}dx=\frac{\pi}{16}$ , encuentra el valor de k.

Solución:

Tenemos,

=> $\int_{0}^{k}\frac{1}{2+8x^2}dx=\frac{\pi}{16}$

=> $\int_{0}^{k}\frac{1}{2(1+4x^2)}dx=\frac{\pi}{16}$

=> $\int_{0}^{k}\frac{1}{2(1+(2x)^2)}dx=\frac{\pi}{16}$

=> $\left[\frac{tan^{-1}2x}{4}\right]_{0}^{k}=\frac{\pi}{16}$

=> bronceado ^-1 2k/4 – bronceado ^-1 0 = 16

=> bronceado ^-1 2k/4 – 0 = 16

=> bronceado ^-1 2k/4 = 16

=> bronceado ^-1 2k =

=> 2k = bronceado

=> 2k = 1

=> k = 1/2

Por lo tanto, el valor de k es 1/2.

Pregunta 60. Si $\int_{0}^{a}3x^2dx=8$ , encuentra el valor de k.

Solución:

Tenemos,

=> $\int_{0}^{a}3x^2dx=8$

=> $\left[\frac{3(x^{2+1})}{2+1}\right]^a_0=8$

=> $\left[\frac{3(x^{3})}{3}\right]^a_0=8$

=> $\left[x^3\right]^a_0=8$

=> un ³ – 0 = 8

=> un ³ = 8

=> un = 2

Por lo tanto, el valor de a es 2.

Pregunta 61. $\int_\pi^\frac{3\pi}{2}\sqrt{1-cos2x}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_\pi^\frac{3\pi}{2}\sqrt{1-cos2x}dx$

yo = $\int_\pi^\frac{3\pi}{2}\sqrt{2sin^2x}dx$

yo = $\int_\pi^\frac{3\pi}{2}\sqrt{2}sinxdx$

yo = $-\left[\sqrt{2}cosx\right]_\pi^\frac{3\pi}{2}$

Yo = -[√2cos32 – √2cos]

Yo = -(-√2 – 0)

yo = √2

Por lo tanto, el valor de $\int_\pi^\frac{3\pi}{2}\sqrt{1-cos2x}dx$ es √2.

Pregunta 62. $\int_0^{2\pi}\sqrt{1+sin\frac{x}{2}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_0^{2\pi}\sqrt{1+sin\frac{x}{2}}dx$

yo = $\int_0^{2\pi}\sqrt{sin^2\frac{x}{4}+cos^2\frac{x}{4}+2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}}dx$

yo = $\int_0^{2\pi}\sqrt{(sin\frac{x}{4}+cos\frac{x}{4})^2}dx$

yo = $\int_0^{2\pi}(sin\frac{x}{4}+cos\frac{x}{4})dx$

yo = $\int_0^{2\pi}sin\frac{x}{4}dx+\int_0^{2\pi}cos\frac{x}{4}dx$

yo = $\left[\frac{-cos\frac{x}{4}}{\frac{1}{4}}\right]_0^{2\pi}+\left[\frac{sin\frac{x}{4}}{\frac{1}{4}}\right]_0^{2\pi}$

yo = $\left[-4cos\frac{x}{4}\right]_0^{2\pi}+\left[4sin\frac{x}{4}\right]_0^{2\pi}$

I = [-4cosπ/2 + 4cos0] + [4sinπ/2 – 4sin0]

yo = 0 + 4 + 4 – 0

yo = 8

Por lo tanto, el valor de $\int_0^{2\pi}\sqrt{1+sin\frac{x}{2}}dx$ es 8.

Pregunta 63. $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(tanx+cotx)^{-2}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(tanx+cotx)^{-2}dx$

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(tanx+cotx)^2}dx$

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx})^2}dx$

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\frac{sin^2x+cos^2x}{sinxcosx})^2}dx$

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\frac{1}{sinxcosx})^2}dx$

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}sin^2xcos^2xdx$

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}sin^2x(1-sin^2x)dx$

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(sin^2x-sin^4x)dx$

yo = $\int_0^{\frac{\pi}{4}}sin^2xdx-\int_0^{\frac{\pi}{4}}sin^4xdx$

yo = $\left[\frac{x}{2}-\frac{cosxsinx}{2}\right]^{\frac{\pi}{4}}_0-\left[\frac{3}{4}(\frac{x}{2}-\frac{cosxsinx}{2})-\frac{cosxsin^3x}{4}\right]^{\frac{\pi}{4}}_0$

yo = $(\frac{\pi}{8}-\frac{cos\frac{\pi}{4}sin\frac{\pi}{4}}{2})-\left(\frac{3}{4}(\frac{\pi}{8}-\frac{cos\frac{\pi}{4}sin\frac{\pi}{4}}{2})-\frac{cos\frac{\pi}{4}sin^3\frac{\pi}{4}}{4}\right)$

Yo = (8 – 1/4) – (3/4(8 – 1/4) – 1/16)

yo = 8 – 1/4 – (332 – 3/16 – 1/16)

Yo = π/8 – 1/4 – (3π/32 – 1/4)

yo = π/8 – 1/4 – 3π/32 + 1/4

yo = π/8 – 3π/32

Yo = (4π – 3π)/32

yo = π/32

Por lo tanto, el valor de $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(tanx+cotx)^{-2}dx$ es .

Pregunta 64. $\int_0^{1}xlog(1+2x)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_0^{1}xlog(1+2x)dx$

Usando la integración por partes obtenemos,

yo = $\frac{x^2log(1+2x)}{2}-\int(\frac{2}{2x+1}\int xdx)dx$

yo = $\frac{x^2log(1+2x)}{2}-\int \frac{2x^2}{2(2x+1)}dx$

yo = $\frac{x^2log(1+2x)}{2}-\int \frac{x^2}{2x+1}dx$

yo = $\frac{x^2log(1+2x)}{2}-\int_0^1 \frac{x}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4(2x+1)}dx$

yo = $\frac{x^2log(1+2x)}{2}-(\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4}+\frac{1}{8}log|2x+1|)$

Entonces obtenemos,

yo = $\left[\frac{x^2log(1+2x)}{2}\right]^1_0-\left[\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4}+\frac{1}{8}log|2x+1|)\right]^1_0$

I = log3/2 – 1/8log3

yo = 3/8log3

Por lo tanto, el valor de $\int_0^{1}xlog(1+2x)dx$ es 3/8log3.

Pregunta 65. $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(tanx+cotx)^{2}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(tanx+cotx)^{2}dx$

yo = $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(tan^2x+cot^2x+2tanxcotx)dx$

yo = $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(sec^2x-1+cosec^2x-1+2)dx$

yo = $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(sec^2x+cosec^2x-2+2)dx$

yo = $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(sec^2x+cosec^2x)dx$

yo = $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}sec^2xdx+\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}cosec^2xdx$

yo = $\left[tanx\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}+\left[-cotx\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

I = [tanπ/3 – tanπ/6] + [-cotπ/3 + cotπ/6]

Yo = [√3 – 1/√3] + [- 1/√3 – √3]

Yo = 2[√3 – 1/√3]

yo = 4/√3

Por lo tanto, el valor de $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(tanx+cotx)^{2}dx$ es 4/√3.

Pregunta 66. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(a^2cos^2x+b^2sin^2x)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(a^2cos^2x+b^2sin^2x)dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(a^2(1-sin^2x)+b^2sin^2x)dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(a^2-a^2sin^2x+b^2sin^2x)dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[a^2-(b^2-a^2)sin^2x]dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a^2dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[(b^2-a^2)sin^2x]dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a^2dx-(b^2-a^2)\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1+cos2x}{2})dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a^2dx-(b^2-a^2)\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1+cos2x}{2})dx$

yo = $\left[a^2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}+(b^2-a^2)[\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

yo = $\frac{a^2\pi}{4}+(b^2-a^2)(\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4})$

yo = $\frac{a^2\pi}{4}-\frac{(b^2-a^2)\pi}{8}+\frac{b^2-a^2}{4}$

yo = $\frac{(b^2-a^2)\pi}{8}+\frac{b^2-a^2}{4}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(a^2cos^2x+b^2sin^2x)dx$ es $\frac{(b^2-a^2)\pi}{8}+\frac{b^2-a^2}{4}$ .

Pregunta 67. $\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+2x+2x^2+2x^3+x^4}$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+2x+2x^2+2x^3+x^4}$

yo = $\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)^2(x^2+1)}$

yo = $\int_{0}^{1}[\frac{-x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x+1)^2}]dx$

yo = $-\left[\frac{log(x^2+1)}{4}\right]^1_0+\left[\frac{log(x+1)}{2}\right]^1_0-\left[\frac{1}{2(x+1)}\right]^1_0$

I = -log2/4 + log2/2 – 1/4 + 1/2

yo = log2/4 + 1/4

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+2x+2x^2+2x^3+x^4}$ es log2/4 + 1/4.

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Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.1 | conjunto 3

Evalúe las siguientes integrales definidas:

Pregunta 45. $\int_{1}^{4} \frac{x^2+x}{\sqrt{2x+1}}dx$

Pregunta 46. $\int_{0}^{1} x(1-x)^5dx$

Pregunta 47. $\int_{1}^{2} (\frac{x-1}{x^2})e^xdx$

Pregunta 48. $\int_{0}^{1} (xe^{2x}+sin\frac{\pi x}{2})dx$

Pregunta 49. $\int_{0}^{1} (xe^{x}+cos\frac{\pi x}{4})dx$

Pregunta 50. $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}(\frac{1-sinx}{1-cosx})dx$

Pregunta 51. $\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$

Pregunta 52. $\int_{0}^{2\pi} e^x\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$

Pregunta 53. $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}$

Pregunta 54. $\int_{1}^{2} \frac{x}{(x+1)(x+2)}dx$

Pregunta 55. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^3xdx$

Pregunta 56. $\int_{0}^{\pi} (sin^2\frac{x}{2}-cos^2\frac{x}{2})dx$

Pregunta 57. $\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2})e^{2x}dx$

Pregunta 58. $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{(x-1)(2-x)}}dx$

Pregunta 59. Si $\int_{0}^{k}\frac{1}{2+8x^2}dx=\frac{\pi}{16}$ , encuentra el valor de k.

Pregunta 60. Si $\int_{0}^{a}3x^2dx=8$ , encuentra el valor de k.

Pregunta 61. $\int_\pi^\frac{3\pi}{2}\sqrt{1-cos2x}dx$

Pregunta 62. $\int_0^{2\pi}\sqrt{1+sin\frac{x}{2}}dx$

Pregunta 63. $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(tanx+cotx)^{-2}dx$

Pregunta 64. $\int_0^{1}xlog(1+2x)dx$

Pregunta 65. $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(tanx+cotx)^{2}dx$

Pregunta 66. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(a^2cos^2x+b^2sin^2x)dx$

Pregunta 67. $\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+2x+2x^2+2x^3+x^4}$

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Evalúe las siguientes integrales definidas:

Pregunta 45.

Pregunta 46.

Pregunta 47.

Pregunta 48.

Pregunta 49.

Pregunta 50.

Pregunta 51.

Pregunta 52.

Pregunta 53.

Pregunta 54.

Pregunta 55.

Pregunta 56.

Pregunta 57.

Pregunta 58.

Pregunta 59. Si , encuentra el valor de k.

Pregunta 60. Si , encuentra el valor de k.

Pregunta 61.

Pregunta 62.

Pregunta 63.

Pregunta 64.

Pregunta 65.

Pregunta 66.

Pregunta 67.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 45. $\int_{1}^{4} \frac{x^2+x}{\sqrt{2x+1}}dx$

Pregunta 46. $\int_{0}^{1} x(1-x)^5dx$

Pregunta 47. $\int_{1}^{2} (\frac{x-1}{x^2})e^xdx$

Pregunta 48. $\int_{0}^{1} (xe^{2x}+sin\frac{\pi x}{2})dx$

Pregunta 49. $\int_{0}^{1} (xe^{x}+cos\frac{\pi x}{4})dx$

Pregunta 50. $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}(\frac{1-sinx}{1-cosx})dx$

Pregunta 51. $\int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$

Pregunta 52. $\int_{0}^{2\pi} e^x\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx$

Pregunta 53. $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}$

Pregunta 54. $\int_{1}^{2} \frac{x}{(x+1)(x+2)}dx$

Pregunta 55. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^3xdx$

Pregunta 56. $\int_{0}^{\pi} (sin^2\frac{x}{2}-cos^2\frac{x}{2})dx$

Pregunta 57. $\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2})e^{2x}dx$

Pregunta 58. $\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{(x-1)(2-x)}}dx$

Pregunta 59. Si $\int_{0}^{k}\frac{1}{2+8x^2}dx=\frac{\pi}{16}$ , encuentra el valor de k.

Pregunta 60. Si $\int_{0}^{a}3x^2dx=8$ , encuentra el valor de k.

Pregunta 61. $\int_\pi^\frac{3\pi}{2}\sqrt{1-cos2x}dx$

Pregunta 62. $\int_0^{2\pi}\sqrt{1+sin\frac{x}{2}}dx$

Pregunta 63. $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(tanx+cotx)^{-2}dx$

Pregunta 64. $\int_0^{1}xlog(1+2x)dx$

Pregunta 65. $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(tanx+cotx)^{2}dx$

Pregunta 66. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(a^2cos^2x+b^2sin^2x)dx$

Pregunta 67. $\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+2x+2x^2+2x^3+x^4}$