Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Continuidad – Ejercicio 9.1

Pregunta 1. Pruebe la continuidad de la siguiente función en el origen:

$f(x)= \begin{cases}\frac{x}{|x|},& x \neq 0 \\1,& x=0\end{cases}$

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{x}{|x|},& x\neq0 \\1,& x=0\end{cases}$

Ahora, consideremos LHL en x = 0

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}f(-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{-h}{|-h|}$

$=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h} =-1$

Ahora, consideremos RHL en x = 0

$\lim_{x \to 0^+}f(x) =\lim_{h \to 0}f(0+h)$

$=\lim_{h \to 0}\frac{h}{|h|}=1$

Entonces, LHL ≠ RHL

Por lo tanto, f(x) es discontinua en el origen y la discontinuidad es de primera especie.

Pregunta 2. Una función f(x) se define como $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-x-6}{x-3},& \text{if } x\neq3 \\5,& \text{if }x=3\end{cases}$ . Demuestre que f(x) es continua en x = 3.

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-x-6}{x-3},& \text{if } x\neq3 \\5,& \text{if }x=3\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que f(x) dada es continua en x = 3,

Ahora, consideremos LHL en x = 3

$\lim_{x \to 3^-} f(x) =\lim_{h \to 0}f(3-h)$

$=\lim_{h \to 0}\frac{(3-h)^2-(3-h)-6}{(3-h)-3}$

$=\lim_{h \to 0}\frac{h^2-5h}{-h}$

$=\lim_{h\to0}-h+5=5$

Ahora, consideremos RHL en x = 3

$\lim_{x\to3^+} f(x) =\lim_{h\to0}f(3+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2-(3+h)-6}{(3+h)-3}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h^2+5h}{h}$

$=\lim_{h\to0}h+5=5$

Entonces, f(3) = 5

LHL= RHL = f(3)

Por lo tanto, f(x) es continua en x = 3

Pregunta 3. Una función f(x) se define como

$f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-9}{x-3},& \text{if } x\neq3 \\6,& \text{if }x=3\end{cases}$

Demuestre que f(x) es continua en x = 3.

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-9}{x-3},& \text{if } x\neq3 \\6,& \text{if }x=3\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que f(x) dada es continua en x = 3,

Ahora, consideremos LHL en x = 3

$\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{h\to0}f(3-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{(3-h)^2-9}{(3-h)-3}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h^2-6h}{-h}$

$=\lim_{h\to0}-h+6=6$

Ahora, consideremos RHL en x = 3

$\lim_{x\to3^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(3+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2-9}{(3+h)-3}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h^2+6h}{h}$

$=\lim_{h\to0}h+6=6$

Entonces, f(3) = 6

LHL= RHL= f(3)

Por lo tanto, f(x) es continua en x = 3

Pregunta 4. $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1},& \text{if } x\neq1 \\2,& \text{if }x=1\end{cases}$

Encuentra si f(x) es continua en x = 1

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1},& \text{if } x\neq1 \\2,& \text{if }x=1\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que f(x) dada es continua en x = 1,

Ahora, consideremos LHL en x = 1

$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{h\to0}f(1-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{(1-h)^2-1}{(1-h)-1}$

$=\lim_{h\to0}\frac{1+h)^2-2h-1}{1-h-1}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h^2-2h}{-h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h(h-2)}{-h}$

$=\lim_{h\to0}(2-h)=2$

Ahora, consideremos RHL en x = 1

$\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{h\to0}f(1+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^2-1}{(1+h)-1}$

$=\lim_{h\to0}\frac{1+h^2+2h-1}{1+h-1}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h^2+2h}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h(h+2)}{h}$

$=\lim_{h\to0}(2+h)=2$

Entonces, f(1) = 2

LHL= RHL = f(1)

Por lo tanto, f(x) es continua en x = 1

Pregunta 5. Si $f(x)= \begin{cases}\frac{sin3x}{x},& \text{when } x\neq0 \\1,& \text{when }x=0\end{cases}$

Encuentra si f(x) es continua en x = 0.

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{sin3x}{x},& \text{when } x\neq0 \\1,& \text{when }x=0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que f(x) dada es continua en x = 0,

Ahora, consideremos LHL en x = 0

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{sin3(-h)}{-h}$

$=\lim_{h\to0}-\frac{sin3h}{-h}=3$

Ahora, consideremos RHL en x = 0

$\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{sin3h}{h}=3$

Entonces, f(0) = 1

LDH = LDH≠ f(0)

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 6. Si $f(x)= \begin{cases}\\e^{\frac{1}{x}},& \text{if } x\neq0 \\1,& \text{if }x=0\end{cases}$

Encuentre si f es continua en x = 0.

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\\e^{\frac{1}{x}},& \text{if } x\neq0 \\1,& \text{if }x=0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que f(x) dada es continua en x = 0,

Ahora, consideremos LHL en x = 0

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0}f(x)$

$=\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}e^\frac{1}{-h}=e^{-∞}=0$

Ahora, consideremos RHL en x = 0

$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}e^\frac{1}{h}=e^{-∞}=∞$

Entonces, LHL≠ RHL

Por lo tanto, la f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 7. Deja $f(x)= \begin{cases}\frac{1-cosx}{x^2},& \text{when } x\neq0 \\1,& \text{when }x=0\end{cases}$

Muestre que f(x) es discontinua en x = 0.

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{1-cosx}{x^2},& \text{when } x\neq0 \\1,& \text{when }x=0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que la f(x) dada es discontinua en x = 0,

Ahora, consideremos LHL en x = 0

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{1-cos(-h)}{(-h)^2}$

$=\lim_{h\to0}\frac{1-cosh}{h^2}$

$=\lim_{h\to0}\frac{2sin^2(h/2)}{h^2}$

$=\lim_{h\to0}2(\frac{sin(h/2)}{h})^2$

= 2 × 1/4 = 1/2

Ahora, consideremos RHL en x = 0

$\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{1-cosh}{h^2}$

$=\lim_{h\to0}\frac{2sin^2(h/2)}{h^2}$

$=\lim_{h\to0}2(\frac{sin(h/2)}{h})^2$

= 2 × 1/4 = 1/2

f(0) = 1

LHL= RHL ≠ f(0)

Por lo tanto, la f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 8. Demuestra que $f(x)= \begin{cases}\frac{x-|x|}{2},& \text{when } x\neq0 \\2,& \text{when }x=0\end{cases}$ es discontinua en x = 0.

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{x-|x|}{2},& \text{when } x\neq0 \\2,& \text{when }x=0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que la f(x) dada es discontinua en x = 0,

Ahora, consideremos LHL en x = 0

$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{-h-|h|}{2}$

$=\lim_{h\to0}\frac{-h-h}{2}=0$

Ahora, consideremos RHL en x = 0

$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{h-|h|}{2}=0$

f(0) = 2

Así, LHL= RHL≠ f(0)

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 9. Demuestra que $f(x)= \begin{cases}\frac{|x-a|}{x-a},& \text{when } x\neq a \\1,& \text{when }x=a\end{cases}$ es discontinua en x = a.

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{|x-a|}{x-a},& \text{when } x\neq a \\1,& \text{when }x=a\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que la f(x) dada es discontinua en x = a,

Ahora, consideremos LHL en x = a

$\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{h\to0}f(a-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{|a-h-a|}{a-h-a}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h}{-h}=-1$

Ahora, consideremos RHL en x = a

$\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{h\to0}f(a+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{|a+h-a|}{a+h-a}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1$

Por lo tanto, LHS ≠ RHL

Por lo tanto, la f(x) es discontinua en x = a.

Discuta la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:

Pregunta 10 (i). $f(x)= \begin{cases}|x|cos(\frac{1}{x}),& x\neq0 \\0,& x=0\end{cases}at\space x=0$

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}|x|cos(\frac{1}{x}),& x\neq0 \\0,& x=0\end{cases}at\space x=0$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = 0,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0} (|-h|cos(-1/h)$

$=\lim_{h\to0}hcos(-1/h)=0$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}|h|cos(1/h)=0$

f(0) = 0

Por lo tanto, LHL= RHL= f(0) = 0

Por lo tanto, f(x) es continua en x = 0.

Pregunta 10 (ii). $f(x)= \begin{cases}x^2sin(\frac{1}{x}),& \text{when } x\neq0 \\0,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}x^2sin(\frac{1}{x}),& \text{when } x\neq0 \\0,& \text{when }x=0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = 0,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}(-h)^2sin(-1/h)=0$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}h^2sin(1/h)=0$

f(0) = 0

Por lo tanto, LHL= RHL = f(0) = 0

Por lo tanto, f(x) es continua en x = 0.

Pregunta 10 (iii). $f(x)= \begin{cases}(x-a)sin(\frac{1}{x-a}),& \text{when } x\neq a \\0,& \text{when }x=a\end{cases}$ en x = un

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}(x-a)sin(\frac{1}{x-a}),& \text{when } x\neq a \\0,& \text{when }x=a\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = a,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{h\to0}f(a-h)$

$=\lim_{h\to0}(a-h-a)sin(\frac{1}{a-h-a})$

$=\lim_{h\to0}-hsin(1/h)=0$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{h\to0}f(a+h)$

$=\lim_{h\to0}(a+h-a)sin(\frac{1}{a+h-a})$

$=\lim_{h\to0}hsin(1/h)=0$

f(a) = 0

Así, LHL= RHL= f(a) = 0

Por lo tanto, f(x) es continua en x = 0.

Pregunta 10 (iv). $f(x)= \begin{cases}\frac{(e^x-1)}{log(1+2x)},& \text{when } x\neq0 \\7,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{(e^x-1)}{log(1+2x)},& \text{when } x\neq0 \\7,& \text{when }x=0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = 0,

$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{log(1+2x)}$

$=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{\frac{2xlog(1+2x)}{2x}}$

$=(1/2)×\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1)/x}{\frac{log(1+2x)}{2x}}$

$=(1/2)×\frac{\lim_{x\to0}(e^x-1)/x}{\lim_{x\to0}\frac{log(1+2x)}{2x}}$

= 1/2 × 1/1 = 1/2

Y,

f(0) = 7

$\lim_{x\to0}f(x)$ ≠ f(0)

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 10 (v). $f(x)= \begin{cases}\frac{(1-x^n)}{(1-x)},& \text{when } x\neq1 \\n-1,& \text{when }x=1\end{cases}$ norte ∈ norte en x = 1

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{(1-x^n)}{(1-x)},& \text{when } x\neq1 \\n-1,& \text{when }x=1\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = 1,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(1-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{1-(1-h)^n}{1-(1-h)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{1-[1-nh+\frac{n(n-1)}{2!}h^2+...]}{h}$

$=\lim_{h\to0}n-\frac{n(n-1)h}{2!}+...=n$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(1+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{1-(1+h)^n}{1-(1+h)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{1-[1+nh+\frac{n(n-1)}{2!}h^2+...]}{-h}$

$=\lim_{h\to0}n+\frac{n(n-1)h}{2!}+...=n$

f(1) = norte – 1

Así, LHL = RHL ≠ f(1)

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 1.

Pregunta 10 (vi). $f(x)= \begin{cases}\frac{|x^2-1|}{x-1},& \text{when } x\neq1 \\2,& \text{when }x=1\end{cases}$ en x = 1

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{|x^2-1|}{x-1},& \text{when } x\neq1 \\2,& \text{when }x=1\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = 1,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(1-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{|(1-h)^2-1|}{(1-h)-1}$

$=\lim_{h\to0}\frac{|h^2-2h|}{-h}$

$=\lim_{h\to0}(h-2)=-2$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(1+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{|(1+h)^2-1|}{(1+h)-1}$

$=\lim_{h\to0}\frac{h^2+2h}{h}=2$

f(1) = 2

LHL= RHL = f(1) = 2

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 1.

Pregunta 10 (vii). $f(x)= \begin{cases}\frac{2|x|+x^2}{x},& \text{when } x\neq0 \\0,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Solución:

Dado que

$f(x)= \begin{cases}\frac{2|x|+x^2}{x},& \text{when } x\neq0 \\0,& \text{when }x=0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = 0,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{2(|-h|)+(-h)^2}{-h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{2h+h^2}{-h}=-2$

Consideremos la BSR,

$\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{2×|h|+h^2}{h}=2$

Por lo tanto, LHL ≠ RHL

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 10 (viii). $f(x)= \begin{cases}|x-a|sin\frac{1}{(x-a)},& \text{when } x\neq a \\0,& \text{when }x=a\end{cases}$ en x = un

Solución:

Dado que,

$f(x)= \begin{cases}|x-a|sin\frac{1}{(x-a)},& \text{when } x\neq a \\0,& \text{when }x=a\end{cases}$

f(x) = (x – a)sen{1/(x – a)}, x > 0

= (x – a)sen{1/(x – a)}, x < 0

= 0, x = un

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to a^-}f(x)=-(a+a)sin(\frac{1}{-a+a})=0$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to a^+}f(x)=(a-a)sin(\frac{1}{a-a})=0$

⇒ $\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$

Por lo tanto, f(x) es continua en x = a.

Pregunta 11. Demuestra que $f(x)=\begin{cases}1+x^2,& \text{if }0\leq x\leq1 \\2-x,& \text{if }x>1\end{cases}$ es discontinua en x = 1.

Solución:

Dado que,

$f(x)=\begin{cases}1+x^2,& \text{if }0\leq x\leq1 \\2-x,& \text{if }x>1\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que la f(x) dada es discontinua en x = 1,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(1-h)$

$=\lim_{h\to0}1+(1-h)^2$

$=\lim_{h\to0}1+1-2h+h^2=2$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(1+h)$

$=\lim_{h\to0}2-(1+h)=1$

LHL ≠ RHL

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 1.

Pregunta 12. Demostrar que $f(x)= \begin{cases}\frac{sin3x}{tan2x},& \text{if }x<0 \\(\frac{3}{2})&\text{if }x=0\\\frac{log(1+3x)}{e^{2x}-1},&\text{if }x>0\end{cases}$ es continua en x = 0

Solución:

Dado que,

$f(x)= \begin{cases}\frac{sin3x}{tan2x},& \text{if }x<0 \\(\frac{3}{2})&\text{if }x=0\\\frac{log(1+3x)}{e^{2x}-1},&\text{if }x>0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos que f(x) dada es continua en x = 0,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{sin(3(-h))}{tan(2(-h))}$

$=\lim_{h\to0}\frac{-sin3h}{-tan2h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{\frac{sin3h}{3h}3h}{\frac{tan2h}{2h}2h}=3/2$

Consideremos la BSR,

$\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}\frac{log(1+3h)}{e^{2h}-1}$

$=\lim_{h\to0}\frac{\frac{log(1+3h)}{3h}3h}{\frac{e^{2h}-1}{2h}2h}=3/2$

f(0) = 3/2

Por lo tanto, LHL = RHL = f(0) = 3/2

Por lo tanto, f(x) es continua en x = 0.

Pregunta 13. Encuentra el valor de ‘a’ para el cual la función f definida por

$f(x)=\begin{cases}asin\frac{π}{2}(x+1),& \text{if }x\leq0 \\\frac{tanx-sinx}{x^3},& \text{if }x>0\end{cases}$ es continua en x = 0.

Solución:

Dado que,

$f(x)=\begin{cases}asin\frac{π}{2}(x+1),& \text{if }x\leq0 \\\frac{tanx-sinx}{x^3},& \text{if }x>0\end{cases}$

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}f(-h)$

$=\lim_{h\to0}asin(\frac{π}{2})(-h+1)$

$=\lim_{h\to0}asin\frac{π}{2}=a$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(0+h)=\lim_{h\to0}f(h)=\lim_{h\to0}\frac{tanh-sinh}{h^3}$

⇒ $\lim_{h\to0^+}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{sinh}{cosh}-sinh}{h^3}$

$=\lim_{h\to0}\frac{\frac{sinh}{cosh}(1-cosh)}{h^3}$

$=\lim_{h\to0}\frac{(1-cosh)tanh}{h^3}$

$=\lim_{h\to0}\frac{2sin^2(\frac{h}{2})tanh}{4(\frac{h^2}{4})×h}$

$=(2/4)\lim_{h\to0}\frac{sin^2(\frac{h}{2})tanh}{(\frac{h^2}{4})×h}$

$=(1/2)\lim_{h\to0}(\frac{sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}})^2\lim_{h\to0}\frac{tanh}{h}$

= (1/2) × 1 × 1

⇒ $\lim_{x\to0^+}f(x)=1/2$

Si f(x) es continua en x = 0, entonces

$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)$

⇒ un = 1/2

Pregunta 14. Examinar la continuidad de la función.

$f(x)=\begin{cases}3x-2,& \text{if }x\leq 0 \\x+1,& \text{if }x>0\end{cases}$ en x = 0

También dibuje la gráfica de esta función.

Solución:

Dado que,

$f(x)=\begin{cases}3x-2,& \text{if }x\leq 0 \\x+1,& \text{if }x>0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = 0,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}3(-h)-2$

$=\lim_{h\to0}-3h-2=-2$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}h+1=1$

LhL ≠ RHL

Entonces, la f(x) es discontinua.

Pregunta 15. Discutir la continuidad de la función.

$f(x)=\begin{cases}x,& \text{if }x>0 \\1,& \text{if }x=0 \\-x,& \text{if }x<0\end{cases}$ en el punto x = 0.

Solución:

Dado que,

$f(x)=\begin{cases}x,& \text{if }x>0 \\1,& \text{if }x=0 \\-x,& \text{if }x<0\end{cases}$

Entonces, aquí comprobamos la continuidad de la f(x) dada en x = 0,

Consideremos LHL,

$\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{h\to0}f(0-h)$

$=\lim_{h\to0}(-h)=0$

Ahora, consideremos la BSR,

$\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{h\to0}f(0+h)$

$=\lim_{h\to0}h=0$

f(0) = 1

LHL = RHL ≠ f(0)

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 0.

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Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Continuidad – Ejercicio 9.1 | Serie 1

Pregunta 1. Pruebe la continuidad de la siguiente función en el origen:

$f(x)= \begin{cases}\frac{x}{|x|},& x \neq 0 \\1,& x=0\end{cases}$

Pregunta 2. Una función f(x) se define como $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-x-6}{x-3},& \text{if } x\neq3 \\5,& \text{if }x=3\end{cases}$ . Demuestre que f(x) es continua en x = 3.

Pregunta 3. Una función f(x) se define como

$f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-9}{x-3},& \text{if } x\neq3 \\6,& \text{if }x=3\end{cases}$

Demuestre que f(x) es continua en x = 3.

Pregunta 4. $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1},& \text{if } x\neq1 \\2,& \text{if }x=1\end{cases}$

Encuentra si f(x) es continua en x = 1

Pregunta 5. Si $f(x)= \begin{cases}\frac{sin3x}{x},& \text{when } x\neq0 \\1,& \text{when }x=0\end{cases}$

Encuentra si f(x) es continua en x = 0.

Pregunta 6. Si $f(x)= \begin{cases}\\e^{\frac{1}{x}},& \text{if } x\neq0 \\1,& \text{if }x=0\end{cases}$

Encuentre si f es continua en x = 0.

Pregunta 7. Deja $f(x)= \begin{cases}\frac{1-cosx}{x^2},& \text{when } x\neq0 \\1,& \text{when }x=0\end{cases}$

Muestre que f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 8. Demuestra que $f(x)= \begin{cases}\frac{x-|x|}{2},& \text{when } x\neq0 \\2,& \text{when }x=0\end{cases}$ es discontinua en x = 0.

Pregunta 9. Demuestra que $f(x)= \begin{cases}\frac{|x-a|}{x-a},& \text{when } x\neq a \\1,& \text{when }x=a\end{cases}$ es discontinua en x = a.

Discuta la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:

Pregunta 10 (i). $f(x)= \begin{cases}|x|cos(\frac{1}{x}),& x\neq0 \\0,& x=0\end{cases}at\space x=0$

Pregunta 10 (ii). $f(x)= \begin{cases}x^2sin(\frac{1}{x}),& \text{when } x\neq0 \\0,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Pregunta 10 (iii). $f(x)= \begin{cases}(x-a)sin(\frac{1}{x-a}),& \text{when } x\neq a \\0,& \text{when }x=a\end{cases}$ en x = un

Pregunta 10 (iv). $f(x)= \begin{cases}\frac{(e^x-1)}{log(1+2x)},& \text{when } x\neq0 \\7,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Pregunta 10 (v). $f(x)= \begin{cases}\frac{(1-x^n)}{(1-x)},& \text{when } x\neq1 \\n-1,& \text{when }x=1\end{cases}$ norte ∈ norte en x = 1

Pregunta 10 (vi). $f(x)= \begin{cases}\frac{|x^2-1|}{x-1},& \text{when } x\neq1 \\2,& \text{when }x=1\end{cases}$ en x = 1

Pregunta 10 (vii). $f(x)= \begin{cases}\frac{2|x|+x^2}{x},& \text{when } x\neq0 \\0,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Pregunta 10 (viii). $f(x)= \begin{cases}|x-a|sin\frac{1}{(x-a)},& \text{when } x\neq a \\0,& \text{when }x=a\end{cases}$ en x = un

Pregunta 11. Demuestra que $f(x)=\begin{cases}1+x^2,& \text{if }0\leq x\leq1 \\2-x,& \text{if }x>1\end{cases}$ es discontinua en x = 1.

Pregunta 12. Demostrar que $f(x)= \begin{cases}\frac{sin3x}{tan2x},& \text{if }x<0 \\(\frac{3}{2})&\text{if }x=0\\\frac{log(1+3x)}{e^{2x}-1},&\text{if }x>0\end{cases}$ es continua en x = 0

Pregunta 13. Encuentra el valor de ‘a’ para el cual la función f definida por

$f(x)=\begin{cases}asin\frac{π}{2}(x+1),& \text{if }x\leq0 \\\frac{tanx-sinx}{x^3},& \text{if }x>0\end{cases}$ es continua en x = 0.

Pregunta 14. Examinar la continuidad de la función.

$f(x)=\begin{cases}3x-2,& \text{if }x\leq 0 \\x+1,& \text{if }x>0\end{cases}$ en x = 0

También dibuje la gráfica de esta función.

Pregunta 15. Discutir la continuidad de la función.

$f(x)=\begin{cases}x,& \text{if }x>0 \\1,& \text{if }x=0 \\-x,& \text{if }x<0\end{cases}$ en el punto x = 0.

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Pregunta 1. Pruebe la continuidad de la siguiente función en el origen:

Pregunta 2. Una función f(x) se define como . Demuestre que f(x) es continua en x = 3.

Pregunta 3. Una función f(x) se define como

Demuestre que f(x) es continua en x = 3.

Pregunta 4.

Encuentra si f(x) es continua en x = 1

Pregunta 5. Si

Encuentra si f(x) es continua en x = 0.

Pregunta 6. Si

Encuentre si f es continua en x = 0.

Pregunta 7. Deja

Muestre que f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 8. Demuestra que es discontinua en x = 0.

Pregunta 9. Demuestra que es discontinua en x = a.

Discuta la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:

Pregunta 10 (i).

Pregunta 10 (ii). en x = 0

Pregunta 10 (iii). en x = un

Pregunta 10 (iv). en x = 0

Pregunta 10 (v). norte ∈ norte en x = 1

Pregunta 10 (vi). en x = 1

Pregunta 10 (vii). en x = 0

Pregunta 10 (viii). en x = un

Pregunta 11. Demuestra que es discontinua en x = 1.

Pregunta 12. Demostrar que es continua en x = 0

Pregunta 13. Encuentra el valor de ‘a’ para el cual la función f definida por

es continua en x = 0.

Pregunta 14. Examinar la continuidad de la función.

en x = 0

También dibuje la gráfica de esta función.

Pregunta 15. Discutir la continuidad de la función.

en el punto x = 0.

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Pregunta 2. Una función f(x) se define como $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-x-6}{x-3},& \text{if } x\neq3 \\5,& \text{if }x=3\end{cases}$ . Demuestre que f(x) es continua en x = 3.

Pregunta 4. $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1},& \text{if } x\neq1 \\2,& \text{if }x=1\end{cases}$

Pregunta 5. Si $f(x)= \begin{cases}\frac{sin3x}{x},& \text{when } x\neq0 \\1,& \text{when }x=0\end{cases}$

Pregunta 6. Si $f(x)= \begin{cases}\\e^{\frac{1}{x}},& \text{if } x\neq0 \\1,& \text{if }x=0\end{cases}$

Pregunta 7. Deja $f(x)= \begin{cases}\frac{1-cosx}{x^2},& \text{when } x\neq0 \\1,& \text{when }x=0\end{cases}$

Pregunta 8. Demuestra que $f(x)= \begin{cases}\frac{x-|x|}{2},& \text{when } x\neq0 \\2,& \text{when }x=0\end{cases}$ es discontinua en x = 0.

Pregunta 9. Demuestra que $f(x)= \begin{cases}\frac{|x-a|}{x-a},& \text{when } x\neq a \\1,& \text{when }x=a\end{cases}$ es discontinua en x = a.

Pregunta 10 (i). $f(x)= \begin{cases}|x|cos(\frac{1}{x}),& x\neq0 \\0,& x=0\end{cases}at\space x=0$

Pregunta 10 (ii). $f(x)= \begin{cases}x^2sin(\frac{1}{x}),& \text{when } x\neq0 \\0,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Pregunta 10 (iii). $f(x)= \begin{cases}(x-a)sin(\frac{1}{x-a}),& \text{when } x\neq a \\0,& \text{when }x=a\end{cases}$ en x = un

Pregunta 10 (iv). $f(x)= \begin{cases}\frac{(e^x-1)}{log(1+2x)},& \text{when } x\neq0 \\7,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Pregunta 10 (v). $f(x)= \begin{cases}\frac{(1-x^n)}{(1-x)},& \text{when } x\neq1 \\n-1,& \text{when }x=1\end{cases}$ norte ∈ norte en x = 1

Pregunta 10 (vi). $f(x)= \begin{cases}\frac{|x^2-1|}{x-1},& \text{when } x\neq1 \\2,& \text{when }x=1\end{cases}$ en x = 1

Pregunta 10 (vii). $f(x)= \begin{cases}\frac{2|x|+x^2}{x},& \text{when } x\neq0 \\0,& \text{when }x=0\end{cases}$ en x = 0

Pregunta 10 (viii). $f(x)= \begin{cases}|x-a|sin\frac{1}{(x-a)},& \text{when } x\neq a \\0,& \text{when }x=a\end{cases}$ en x = un

Pregunta 11. Demuestra que $f(x)=\begin{cases}1+x^2,& \text{if }0\leq x\leq1 \\2-x,& \text{if }x>1\end{cases}$ es discontinua en x = 1.

Pregunta 12. Demostrar que $f(x)= \begin{cases}\frac{sin3x}{tan2x},& \text{if }x<0 \\(\frac{3}{2})&\text{if }x=0\\\frac{log(1+3x)}{e^{2x}-1},&\text{if }x>0\end{cases}$ es continua en x = 0

$f(x)=\begin{cases}asin\frac{π}{2}(x+1),& \text{if }x\leq0 \\\frac{tanx-sinx}{x^3},& \text{if }x>0\end{cases}$ es continua en x = 0.

$f(x)=\begin{cases}3x-2,& \text{if }x\leq 0 \\x+1,& \text{if }x>0\end{cases}$ en x = 0

$f(x)=\begin{cases}x,& \text{if }x>0 \\1,& \text{if }x=0 \\-x,& \text{if }x<0\end{cases}$ en el punto x = 0.