Programa para encontrar los dos últimos dígitos de x^y

La tarea es encontrar los dos últimos dígitos de x^y.

Dado que los dígitos con los que puede terminar son 0-9, de ahí que este problema se pueda dividir en 5 casos:

Caso 1: cuando x termina en 1
Para encontrar los dos últimos dígitos de un número, cuando el número termina en 1, debemos seguir los pasos que se muestran en la figura.

Ejemplo: 21^48

Entonces, los dos últimos dígitos de 21^48 son 81.

Ejemplo: 31^35

Entonces, los dos últimos dígitos de 31^35 son 51.
Caso 2: cuando x termina en 3, 7, 9
Para encontrar los dos últimos dígitos de un número, cuando el número termina en 3, 7, 9, tenemos que aplicar el concepto de ciclicidad para convertir el último dígito en 1.

ciclicidad de 3:

3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 7
3^4 = 1

ciclicidad de 7:

7^1 = 7
7^2 = 9
7^3 = 3
7^4 = 1

ciclicidad de 9:

9^1 = 9
9^2 = 1

Ejemplo 1: 23^34
Solución:
- El último dígito de 23 ^ 34 es 3, por lo que usamos la ciclicidad de 3.
- 3^4 da 1 entonces tomamos 23^4
- ((23)^4)^8 * (23)^2
- Los dos últimos dígitos de (23)^4) son 41, por lo que tomamos (41)^8 y resolvemos de acuerdo con el diagrama dado.
- Así que el último dígito de (41)^8 es 21.
- resuelve (23)^2, el último dígito de (23)^2 es 29.
- Ahora multiplique el último dígito de (41) ^ 8, es decir, 21 con el último dígito de (23) ^ 2, es decir, 29
- es decir, 21 * 29 = 609
- Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 23 ^ 34 son 09.
Ejemplo 2: 37^45
Solución:
- El último dígito de 37 ^ 45 es 7, por lo que usamos la ciclicidad de 7.
- 7^4 da 1 entonces tomamos 37^4
- ((37)^4)^11 * (37)^1
- Los dos últimos dígitos de (37)^4) son 61, por lo que tomamos (61)^11 y resolvemos de acuerdo con el diagrama.
- Así que el último dígito de (61)^11 es 61.
- resuelve (37)^1, el último dígito de (37)^1 es 37.
- Ahora multiplique el último dígito de (61) ^ 11, es decir, 61 con el último dígito de (37) ^ 1, es decir, 37
- es decir, 61 * 37 = 2257
- Entonces, los últimos dos dígitos distintos de cero de 37 ^ 45 son 57.
Ejemplo 3: 59^22
Solución:
- El último dígito de 59 ^ 22 es 9, por lo que usamos la ciclicidad de 9.
- 9^2 da 1 entonces tomamos 59^2
- ((59)^2)^11
- Los dos últimos dígitos de (59)^2 son 81, así que tomamos (81)^11 y resolvemos de acuerdo con el diagrama.
- Así que el último dígito de (81)^11 es 81.
- Entonces, los últimos dos dígitos distintos de cero de 59 ^ 22 son 81.
Caso 3: cuando x termina en 2, 4, 6, 8
Porque encontrar el último dígito de un número termina en 2, 4, 6, 8; Usamos el número 76, que es un tipo de número mágico porque su cuadrado, cubo, etc. contienen números de 2 últimos dígitos, es decir, 76.

Tome un ejemplo :

cuadrado de 76 = 5776, sus dos últimos dígitos = 76
cubo de 76 = 438976, sus dos últimos dígitos = 76

Así que tomamos dos casos:
1. si (2 ^ 10) ^ potencia uniforme, entonces siempre devuelve 76 .
2. si (2^10)^potencia impar entonces siempre devuelve 24 .
Pasos para encontrar los dos últimos dígitos
- En primer lugar, convierta el número dado a estos formatos si (2^10)^potencia. Aquí el poder será par o impar según la pregunta.
- Ahora, verifique que la potencia sea par o impar.
- si la potencia es impar entonces su valor será 24.
- si la potencia es par entonces su valor será 76.
Ejemplos

Ejemplo 1: encuentre los últimos 2 dígitos de 2^453.

Solución:
- Paso 1:- conversión
  2^453 = (2^10)^45 * 2^3
- Paso 2: – potencia impar entonces tomamos 24
  = 24 * 8
  = 192
Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 2^453 son 92.

Ejemplo 2: Encuentra los últimos 2 dígitos de 4^972.

Solución:
- paso 1:- conversión
  4^972 = (2^2)^972
  = 2^1944
  = (2^10)^194 * 2^4
- paso 2:- incluso potencia entonces, tomamos 76
  = 76 * 16
  = 1216
Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 4^972 son 16.

Ejemplo 3: Encuentra los últimos 2 dígitos de 6^600.

Solución:
- paso 1:- conversión
  6^600 = (2)^600 * (3)^600
  = (2^10)^60 * ((3)^4)^150 {Aplicar caso 2 en (3)^600}
- paso 2:- (2^10)^60 tiene potencia par, así que tomamos 76 como el último dígito
- paso 3:- Resolver ((3)^4)^150, obtenemos 01 como último dígito
- paso 4: – último dígito de (2^10)^60, es decir, 76, multiplique con el último dígito de ((3)^4)^150, es decir, 01
- paso 5:- es decir, 76 * 01 = 76
Entonces, los dos últimos distintos de cero de 6^600 son 76.

Ejemplo 4: Encuentra los últimos 2 dígitos de 8^330.

Solución:
- paso 1:- conversión
  8^33 = (2^3)^110
  = (2)^330
- paso 2:- (2^10)^33 tiene una potencia impar entonces, tomamos 24 como el último dígito
Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 8^330 son 24.
Caso 4: cuando x termina en 5
Para encontrar los dos últimos dígitos de un número, cuando el número termina en 5, debemos seguir la tabla que se proporciona a continuación.

Ejemplo 1: Encuentra los últimos 2 dígitos de 25^25.

Solución:
- el primer dígito del número es 2, es decir, par
- El último dígito de una potencia es 5, es decir, impar.
- Ahora, la combinación par-impar da el último dígito como 25
Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 25^25 son 25.

Ejemplo 2: encuentre los últimos 2 dígitos de 25 ^ 222.

Solución:
- el primer dígito del número es 2, es decir, par
- El último dígito de una potencia es 2, es decir, par
- Ahora, la combinación par-par da el último dígito como 25
Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 25^222 son 25.

Ejemplo 3: encuentre los últimos 2 dígitos de 165 ^ 222.

Solución:
- el primer dígito del número es 1, es decir, impar
- El último dígito de una potencia es 2, es decir, par
- Ahora, la combinación impar-par da el último dígito como 25
Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 165^222 son 25.

Ejemplo 4: encuentre los últimos 2 dígitos de 165 ^ 221.

Solución:
- el primer dígito del número es 1, es decir, impar
- El último dígito de una potencia es 1, es decir, impar
- Ahora, la combinación impar-impar da el último dígito como 75
Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 165^221 son 75.
Caso 5: cuando x termina en 0
Para encontrar los dos últimos dígitos de un número, cuando el número termina en 0, tenemos que verificar el siguiente dígito y, de acuerdo con el dígito, calcular el último dígito.

Ejemplo: Encuentra los últimos 2 dígitos de 150^221.

Solución:
- 150 El último dígito es 0, así que verificamos el siguiente dígito, es decir, 5 y aplicamos el caso 4
- el primer dígito del número es 1, es decir, impar
- El último dígito de una potencia es 1, es decir, impar
- Ahora, la combinación impar-impar da el último dígito como 75
Entonces, los dos últimos dígitos distintos de cero de 165^221 son 75.