Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.2 | conjunto 2

Pregunta 25. Evalúa ∫(tan⁡x + cot⁡x) ² dx

Solución:

∫(bronceado⁡x + cuna⁡x) ² dx

Usando la fórmula (x + y) ² = x ² + y ² + 2xy 

Obtenemos, ∫(tan ² x + cot ² ⁡x + 2tan⁡x cot⁡x)dx

= ∫ (seg ² ⁡x – 1 + cosec ² x – 1 + ((2 × 1)/cot⁡x) × cot⁡x)dx

= ∫ (seg ² ⁡x + cosec ² ⁡x)dx

= ∫seg ² xdx + ∫coseg ² ⁡xdx

= bronceado⁡x – cuna⁡x + c

Pregunta 26. Evalúa ∫(1 – cos⁡2x)/(1 + cos⁡2x) dx

Solución:

∫(1 – cos⁡2x)/(1 + cos⁡2x) dx

= ∫(2sen ² ⁡x)/(2cos ² ⁡x) dx

= ∫tan ² xdx

= ∫(seg ² x – 1)dx

= ∫seg ² ⁡xdx – 1∫dx

= tan⁡x – x + c

Pregunta 27. Evalúa ∫(cos⁡x)/(1 – cos⁡x) dx

Solución:

∫(cos⁡x)/(1 – cos⁡x) dx

= ∫(cos⁡x(1 + cos⁡x))/((1 – cos⁡x)(1 + cos⁡x)) dx

= ∫(cos⁡x + cos ² ⁡x)/(1 – cos ² x) dx

= ∫(cos⁡x + cos ² ⁡x)/(sen ² ⁡x) dx

= ∫(cos⁡x)/(sen ² ⁡x) dx + ∫(cos ² x)/(sen ² ⁡x) dx [Ya que, cosx/senx = cotx]

= ∫cot⁡x × cosec⁡xdx + ∫(cosec ² ⁡x – 1)dx [Ya que, cot ² x = cosec ² x – 1]

= -cosec⁡x – cot⁡x – x + c

Pregunta 28. Evalúa ∫cos ² x – sen ² ⁡x/√(1 + cos⁡4x) dx

Solución:

∫cos ² x – sen ² ⁡x/√(1 + cos⁡4x) dx

= ∫(cos ² ⁡x – sen ² x)/√(2cos ² ⁡2x) dx

= 1/√2 ∫(cos ² x – sen ² ⁡x)/(cos ⁡2x) dx

= 1/√2∣(cos ² x – sen ² ⁡x)/(cos ² ⁡x – sen ² ⁡x) dx

= 1/√2∫1 × dx

= x/√2 + c

Pregunta 29. Evalúa ∫ 1/(1 – cos⁡x) dx

Solución:

Tenemos, ∫ 1/(1 – cos⁡x) dx

= ∫1/(1 – cos⁡x) × (1 + cos⁡x)/(1 + cos⁡x) × dx    

= ∫(1 + cos⁡x)/(1 – cos 2x ⁾ × dx

= ∫(1 + cos⁡x)/(sen ² x) × dx

= ∫1/(sen ² x) dx + ∫(cos⁡x)/(sen ² 2⁡x) dx

= ∫coseg ² xdx + ∫cot⁡x × cosec⁡x dx

= -cot⁡x – cosec⁡x + c

Pregunta 30. Evalúa ∫1/(1 – sin⁡x) dx

Solución:

Tenemos, ∫1/(1 – sen⁡x) dx

= ∫1/(1 – sen⁡x) × (1 + sen⁡x)/(1 + sen⁡x) × dx

= ∫(1 + sen⁡x)/(1 – sen ² ⁡x) × dx

= ∫(1 + sen⁡x)/(cos ² ⁡x) × dx

= ∫(1/(cos ² x) + (sen⁡x)/(cos ² ⁡x)) × dx

= ∫1/(cos ² ⁡x) dx + ∫(sen⁡x)/(cos ² ⁡x) × dx

= ∫sec ² ⁡xdx + ∫tan⁡x sec⁡x dx

= tan⁡x + sec⁡x + c

Pregunta 31. Evalúa ∫(tan⁡x)/(sec⁡x + tan⁡x) dx

Solución:

Tenemos, ∫(tan⁡x)/(sec⁡x + tan⁡x) dx

= ∫(tan⁡x)/(sec⁡x + tan⁡x) × (sec⁡x – tan⁡x)/(sec⁡x – tan⁡x) × dx

= ∫(tan⁡x(seg⁡x – tan⁡x))/(seg ² ⁡x – tan ² ⁡x) × dx

= ∫(tan⁡xsec⁡x – tan ² ⁡x)dx

= ∫seg⁡tan⁡xdx – ∫(seg ² x – 1)dx

= ∫seg⁡xtan⁡xdx – ∫seg ² ⁡xdx + 1∫dx

= sec⁡x – tan⁡x + x + c

Pregunta 32. Evalúa ∫(cosec⁡x)/(cosec⁡x – cot⁡x)dx

Solución:

Tenemos, ∫(cosec⁡x)/(cosec⁡x – cot⁡x)dx

= ∫(cosec⁡x)/(cosec⁡x – cot⁡x) × (cosec⁡x + cot⁡x)/(cosec⁡x + cot⁡x) × dx

= ∫(cosec⁡x(cosec⁡x + cot⁡x))/(cosec ² ⁡x – cot ² x) × dx

= ∫(cosec ² ⁡x + cosec⁡x cot⁡x)dx

= ∫cos⁡ec ² xdx + ∫cosec⁡x cotx dx

= -cot⁡x – cosec⁡x + c

Pregunta 33. Evalúa ∫1/(1 + cos⁡2x) dx

Solución:

Tenemos, ∫1/(1 + cos⁡2x) dx

= ∫ 1/(2cos ² ⁡x) × dx

= 1/2 ∫seg ² ⁡x × dx

= 1/2 × tan⁡x + c

= (tan⁡x)/2 + c

Pregunta 34. Evalúa∫1/(1 – cos⁡2x) dx

Solución:

Tenemos, ∫1/(1 – cos⁡2x) dx

= ∫1/(2sen ² ⁡x)dx

= 1/2 ∫coseg ² ⁡x dx

= (-1)/2 × cuna⁡x + c

= (-cot⁡x)/2 + c

Pregunta 35. Evalúa ∫tan ^-1 ⁡ [(sin⁡2x)/(1 + cos⁡2x)]dx

Solución:

Tenemos, ∫tan ^-1 ⁡ [(sin⁡2x)/(1 + cos⁡2x)]dx

= ∫tan ^-1 [(2sen⁡xcos⁡x)/(2cos ² ⁡x)]dx

= ∫tan ^-1 ⁡ [(sen⁡x)/(cos⁡x)]dx

= ∫tan ^-1 (tan⁡x)dx

= ∫xdx

= x ² /2 + c

Pregunta 36. Evalúa ∫cos ^-1 (sin⁡x)dx

Solución:

Tenemos, ∫cos ^-1 (sen⁡x)dx

= ∫cos ^-1 ⁡[cos⁡(π/2 – x)]dx

= ∫(π/2 – x)dx

= π/2 ∫dx – ∫xdx

= π/2 × x – x ² /2 + c

Pregunta 37. Evalúa ∫ cot ^-1 ⁡(sin⁡x)dx

Solución:

Tenemos, ∫ cot ^-1 ⁡(sin⁡x)dx

= ∫cot ^-1 ⁡ [(sen⁡2x)/(1 – cos⁡2x)]dx

= ∫cot ^-1 ⁡ ((cos⁡x)/(sen⁡x))dx

= ∫cot ^-1 ⁡(cotx)dx

= ∫xdx

= x ² /2 + c 

Pregunta 38. Evalúa ∫ sen ^-1 ⁡((2tan⁡x)/(1 + tan ^2⁡ x))dx

Solución:

Tenemos, ∫ sen ^-1 ⁡((2tan⁡x)/(1 + tan ^2⁡ x))dx

= ∫ sin ^-1 ⁡(sin⁡2x)dx

= ∫2xdx

= 2∫xdx

= (2x ² )/2 + c

= x ² + c 

Pregunta 39. Evalúa ∫((x ³ + 8)(x – 1))/(x ² – 2x + 4) dx

Solución:

Tenemos, ∫((x ³ + 8)(x – 1))/(x ² – 2x + 4) dx

= ∫((x + 2)(x ² – 2x + 4)(x – 1))/(x ² – 2x + 4) dx

= ∫(x + 2)(x – 1)dx

= ∫(x ² – x+2x – 2)dx

= ∫(x2 + x – ² )dx

= x3 ^/ 3 + x2 / ² – 2x + c

Pregunta 40. Evalúa ∫(atan⁡x + bcot⁡x) ² dx

Solución:

Tenemos, ∫(atan⁡x + bcot⁡x) ² dx

Usando la fórmula (x + y) ² = x ² + y ² + 2xy , obtenemos

= ∫(a ² tan ² ⁡x + b ² cot ² x + 2ab tan⁡x cot⁡x)dx

= ∫[a ² (seg ² ⁡x – 1) + b ² (coseg ² x – 1) + 2ab]dx

= ∫[a ² seg ² x – a ² + b ² cosec ² ⁡x – b ² + 2ab]dx

= a ² tan⁡x – a ² x – b ² cot⁡x – b ² x + 2abx + c

= a ² tan⁡x – b ² cot⁡x – (a ² + b ² – 2ab)x + c

Pregunta 41. Evalúa ∫(x ³ – 3x ² + 5x – 7 + x ² a ^x )/(2x ² ) dx

Solución:

Tenemos, ∫(x ³ – 3x ² + 5x – 7 + x ² a ^x )/(2x ² ) dx

= 1/2 ∫x ³ /x ² dx – 3/2∫x ² /x ² dx + 5/2∫x/x ² dx – 7/2∫x ^-2 dx + 1/2∫(x ² a ^x )/x ² dx

= 1/2 × x ² /2 – 3/2x + 5/2 log⁡x – 7/2 x ^-1 + 1/2a ^x /(log⁡a) + c

= 1/2 [x ² /2 – 3x + 5log⁡x + 7/x + a ^x /(log⁡a)] + c

Pregunta 42. Evalúa ∫cos⁡x/(1 + cos⁡x) dx

Solución:

Tenemos, ∫cos⁡x/(1 + cos⁡x) dx …..(1)

ahora resuelve

 

Ya que, cos⁡x = cos ² x/2 – sen ² ⁡x/2 y cos⁡x + 1 = 2cos ² ⁡x/2 

Entonces, obtenemos cos⁡x/(1 + cos⁡x) = 1/2[1 – tan ² x/2] 

Ahora ponga este valor en la ecuación (1), obtenemos

= 1/2 ∫(1 – tan ² x/2)dx

= 1/2 ∫(1 – segundo ² ⁡x/2 + 1)dx

= 1/2 ∫(2 – seg ² ⁡x/2)dx

= 1/2 [2x – (tan⁡x/2)/(1/2)] + c

= x – tan⁡x/2 + c

Pregunta 43. Evalúa∫(1 – cos⁡x)/(1 + cos⁡x) dx

Solución:

Tenemos, ∫(1 – cos⁡x)/(1 + cos⁡x) dx ….(1)

ahora resuelve

(1 – cos⁡x)/(1 + cos⁡x) = (2sen ² ⁡x)/(2cos ² ⁡x)

= bronceado ² ⁡x/2

= (seg ² x/2 – 1) [Ya que, 2sen ² ⁡x/2 = 1 – cos⁡x y 2cos ² ⁡x/2 = 1 + cos⁡x]

Ahora ponga este valor en la ecuación (1), obtenemos

= ∫(seg ² ⁡x/2 – 1)dx

= tan(x/2)/(1/2) – x + c

= 2tan⁡x/2 – x + c

Pregunta 44. Evalúa ∫{3sin⁡x – 4cos⁡x + 5/(cos ² x) – 6/(sen ² ⁡x) + tan ² ⁡x – cot ² ⁡x}dx

Solución:

Tenemos, ∫{3sin⁡x – 4cos⁡x + 5/(cos ² x) – 6/(sen ² ⁡x) + tan ² ⁡x – cot ² ⁡x}dx

= 3∫sen⁡xdx – 4∫cos⁡xdx + 5∫sec ² ⁡dx – 6∫cosec ² ⁡x + ∫tan ² ⁡xdx – ∫cot ² ⁡xdx

= 3∫sen⁡xdx – 4∫cos⁡xdx + 5∫sec ² ⁡xdx – 6∫cosec ² ⁡x + ∫(sec ² ⁡x – 1)dx – ∫(cosec ² ⁡x – 1)dx

= 3∫sin⁡xdx – 4∫cos⁡xdx + 6∫seg ² xdx – 7∫coseg ² xdx

= -3cos⁡x – 4sen⁡x + 6tan⁡x + 7cot⁡x + c

Pregunta 45. Si f'(x) = x – 1/x ² y f(1) = 1/2, encuentre f(x)?

Solución:

Dado que ∫f'(x) = x – 1/x ²

yf(1) = 1/2

Tenemos que encontrar f(x)

Entonces, ∫f'(x) = ∫xdx – ∫1/x ² dx

f(x) = x2 / ² + x- ¹ + c

f(x) = x2 / ² + 1/x + c

f(x) = x ² /2 + 1/x + c …..(i)

Como sabemos que 

f(1) = 1/2

1 ² /2 + 1/1 + c = 1/2

1/2 + 1 + c = 1/2

c = -1

Al poner c = -1 en (i), obtenemos

f(x) = x2 / ² + 1/x – 1

Pregunta 46. Si f'(x) = x + b, f(1) = 5, f(2) = 13, encuentre f(x)?

Solución:

 Dado que f'(x) = x + b

 y f(1) = 5, f(2) = 13

Tenemos que encontrar f(x)

Entonces, ∫f'(x) = ∫(x + b)dx

 f(x) = x ² /2 + bx + c …….(i)

Como sabemos que 

f(1) = 5

1 ² /2 + segundo × 1 + do = 5

1/2 + b + c = 5

 b + c = 9/2 …….(ii)

Además, f(2) = 13

2 ² /2 + b × 2 + c = 13

2 + 2b + c = 13

2b + c = 11 …….(iii)

Ahora, restando eq(ii) de eq(iii), obtenemos

b = 11 – 9/2

b = 13/2

Ahora, pon b = 13/2 en la ecuación (ii), obtenemos

13/2 + c = 9/2

 c = 9/2 – 13/2

 c = (9 – 13)/2 

= (-4)/2 

= -2

Ahora, al poner b = 13/2 y c = -2 en la ecuación (i), obtenemos

f(x) = x2 /x ⁺ 13/2x – 2

f(x) = x2 / ² + 13/2x – 2

Pregunta 47. Si f'(x) = 8x ³ – 2x, f(2) = 8, encuentre f(x)?

Solución:

Dado que f'(x) = 8x ³ – 2x

yf(2) = 8

Tenemos que encontrar f(x)

Entonces, ∫f'(x)dx = ∫(8x ³ – 2x)dx

f(x) = ∫(8x ³ – 2x)dx

= ∫8x ³ dx – ∫2xdx

= (8x ⁴ )/4 – (2x ² )/2 + c

= 2x ⁴ – x ² + c

f(x) = 2x ⁴ – x ² + c ……….(i)

Como sabemos que f(2) = 8

Entonces, f(2) = 2(2) ⁴ – (2) ² + c = 8

32 – 4 + c = 8

28 + c = 8

c = -20

Ahora, pon c = -20 en la ecuación (i), obtenemos

f(x) = 2x ⁴ – x ² – 20

Pregunta 48. Si f'(x) = asin⁡x + bcos⁡x y f'(0) = 4, f(0) = 3, f(π/2) = 5, encuentra f(x)?

Solución:

Dado que, f'(x) = asin⁡x + bcos⁡x 

y f'(0) = 4, f(0) = 3, f(π/2) = 5

Tenemos que encontrar f(x)

Asi que, 

∫f'(x) = ∫(asen⁡x + bcos⁡x)dx

f(x) = -acos⁡x + bsen⁡x + c

f(x) = -acos⁡x + bsen⁡x + c ………(i)

Como sabemos que f'(0) = 4

Entonces, f'(0) = asen⁡0 + bcos⁡0 = 4

un × 0 + segundo × 1 = 4

segundo = 4

Además, f(0) = 3

f(0) = -acos⁡0 + bsen⁡0 + c = 3

-a + 0 + c = 3

 c – a = 3 ……..(ii)

Además, f(π/2) = 5

f(π/2) = -acos⁡(π/2) + bsen⁡(π/2) + c = 5

-a × 0 + b × 1 + c = 5

b + c = 5

4 + c = 5 [Ya que, b = 4]

do = 5 – 4

c = 1

Ahora, pon c = 1 en la ecuación (ii), obtenemos 1 – a = 3

-a = 3 – 1

-a = 2

 un = -2

Ahora, ponga a = -2, b = 4 y c = 1 en la ecuación (i), obtenemos

f(x) = -(-2)cos⁡x + 4sin⁡x + 1

f(x) = 2cos⁡x + 4sen⁡x + 1

Pregunta 49. Escribe la primitiva o antiderivada de f(x) = √x + 1/√x.

Solución:

Tenemos, f(x) = √x + 1/√x

∫f(x) = ∫(√x + 1/√x)dx

= ∫x ^1/2 dx + ∫ x ^-1/2 dx

= 2/3 x ^3/2 + 2x ^1/2 + c

Por tanto, la primitiva o antiderivada de f(x) es 2/3 x ^3/2 + 2x ^1/2 + c.