Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas- Ejercicio 23.12 | Serie 1

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1. Encuentra la ecuación de una línea que pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la línea 3x – 4y + 5 = 0.

Solución:

Consideremos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) es 

y – y 1 = m(x – x 1 ) ………(1)

Se da que la recta es paralela a 3x – 4y + 5 = 0

Entonces, la pendiente de 3x – 4y + 5 = 0

4y = 3x + 5

y = 3/4x + 5/4

Al comparar y = mx + c, obtenemos

metro = 3/4

Ahora pon el valor de m y (x 1 ,y 1 ) es eq(1), obtenemos

y-3 = 3/4(x-2)

4y – 12 = 3x – 6

3x – 4y = -12 + 6 

3x – 4y = -6

Por lo tanto, la ecuación de la línea es 3x – 4y + 6 = 0

Pregunta 2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (3, 2) y es perpendicular a la recta x – 3y + 5 = 0.

Solución:

Consideremos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) es 

y – y 1 = m(x – x 1 ) ………(1)

Aquí (x 1 , y 1 ) es (3, 2) y m es la pendiente de la línea y se toma la pendiente -1/m ya que las líneas son perpendiculares

Se da que la recta es perpendicular a 3x – 4y + 5 = 0

3y = x + 5

y = x/3 + 5/3

Al comparar y = mx + c, obtenemos

metro = 1/3

Ahora pon el valor de m y (x 1 ,y 1 ) es eq(1), obtenemos

y-(-2)=-\frac{1}{\frac{1}{3}}(x-3)

y + 2 = -3(x – 3) = -3x + 9

Por lo tanto, la ecuación de la línea es 3x + y = 7

Pregunta 3. Encuentra la ecuación de la mediatriz de la recta que une los puntos (1, 3) y (3, 1).

Solución:

Consideremos el punto A(1, 3) y B(3, 1)

Como sabemos que cualquier línea que es bisectriz perpendicular, lo que significa que la línea es perpendicular 

a la línea dada y un punto final es el punto medio de esa línea.

Entonces, la línea AB tiene el punto medio

x=\frac{x_1+x_2}{2},\space y=\frac{y_1+y_2}{2}

(x 1 , y 1 ) =  (\frac{1+3}{2},\frac{3+1}{2}) = (2, 2)

También la pendiente de la recta AB es 

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-3}{3-1}=\frac{-2}{2}=-1

Ahora encontramos la ecuación de la bisectriz perpendicular:

y-y_1=\frac{-1}{m}(x-x_1)

y-2 = 1(x-2)

y-2 = x-2

y = x

Pregunta 4. Encuentra la ecuación de las altitudes de ∆ABC cuyos vértices son A(1, 4), B(-3, 2) y C(-5, -3).

Solución:

Dado que ABC es un triángulo cuyos vértices son A(1, 4), B(-3, 2) y C(-5, -3)

Hallar: la ecuación de las altitudes de ∆ABC

Entonces, sean CF, AD y FB las perpendiculares del triángulo de lado AB, BC y AC 

La pendiente del lado AB = \frac{4-2}{1+3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Pendiente de CF =  \frac{1}{\frac{1}{2}} = -2           

Entonces, la ecuación del lado CF es 

y – y 1 = m(x – x 1 )

y + 3 = -2(x + 5)      

y + 3 = -2x – 10

y = -2x – 13

La pendiente del lado BC = \frac{2+3}{-3+5}=\frac{5}{2}

Y la pendiente de AD = -\frac{1}{\frac{5}{2}}=-\frac{2}{5}

Entonces, la ecuación del lado AD es 

y – y 1 = m(x – x 1 )

y-4 =  -\frac{2}{5} (x-1)

5y – 20 = -2x + 2

5y = -2x – 22

La pendiente del lado AC = \frac{4+3}{1+5}=\frac{7}{6}

Y la pendiente de EB = -\frac{1}{\frac{7}{6}}=-\frac{6}{7}

Entonces, la ecuación del lado FB es 

y – y 1 = m(x – x 1 )

y-2 = -6/7(x + 3)

7y – 14 = -6x – 18

7y = -6x – 4

Por lo tanto, las ecuaciones de las altitudes de ∆ABC son 

DA = 2x + 5y + 22 = 0

FC = 2x + y + 13 = 0

FB = 6x + 7y + 4 = 0

Pregunta 5. Encuentra la ecuación de una línea que es perpendicular a la línea √3x – y + 5 = 0 y que corta una intersección de 4 unidades con la dirección negativa del eje y.

Solución:

Consideremos que la ecuación requerida de la línea es 

y – y 1 = m'(x – x 1 ) ……….(1)

Entonces, punto (x 1 , y 1 ) = (0, -4)

Se da que la recta es perpendicular a la recta 3x – y + 5 = 0

Entonces, la pendiente de 3x – y + 5 = 0 

y = 3x + 5

Al comparar y = mx + c, obtenemos

metro = √3

Como sabemos que la recta es perpendicular a la recta 3x – y + 5 = 0

Entonces, la pendiente es m’ = -1/m = -1/√3

Ahora pon el valor de m’ y (x 1 , y 1 ) es eq(1), obtenemos

y – (-4) = -1/√3(x – 0) 

y + 4 = -x/√3

x + √3y + 4√3 = 0

Pregunta 6. Si la imagen del punto (2, 1) con respecto a un espejo de línea es (5, 2) encuentra la ecuación del espejo.

Solución:

Consideremos que la imagen del punto Q(2, 1) es R(5, 2) y O es el punto medio de la línea QR

Entonces, la coordenada de O es ((2 + 5)/2, (1 + 2)/2) = (7/2, 3/2)

Ahora consideremos que AB es el espejo y la recta QR es perpendicular a AB

Entonces, m1 x m2 = -1

Aquí, m1 es la pendiente de AB y m2 es la pendiente de CD

(\frac{2-1}{5-2}) x m2 = -1

1/3 x m2 = -1

m2 = -3

Entonces la pendiente de CD es -3

Ahora encontramos la ecuación de CD

y – y 1 = m(x – x 1 )

y-(3/2) = (-3)(x – 7/2)

(2y -3)/2 = -3x +21/2

2y – 3 = -6x + 21

6x + 2y = 24

3x + y = 12

Por lo tanto, la ecuación del espejo es 3x + y – 12 =0

Pregunta 7. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (α, β) y es perpendicular a la recta lx + my + n = 0.

Solución:

Consideremos que la ecuación requerida de la línea es 

y – y 1 = m'(x – x 1 ) ……….(1)

Entonces, punto (x 1 , y 1 ) = (α, β)

Se da que la recta es perpendicular a la recta lx + my + n = 0

Entonces, la pendiente de la recta lx + my + n = 0 es

y = -lx/m – n/m 

Al comparar y = mx + c, obtenemos

m = -l/m

Como sabemos que la recta es perpendicular a la recta lx + my + n = 0

Entonces, la pendiente es m’ = -1/m = m/l

Ahora pon el valor de m’ y (x 1 , y 1 ) es eq(1), obtenemos

y – β = m/l(x – α)

ly + mx = ma + lβ

m(x – a) = l(y – β)

Por lo tanto, la ecuación de la línea recta es m(x – a) = l(y – β)

Pregunta 8. Encuentra la ecuación de la línea recta perpendicular a 2x – 3y = 5 y cortando una intersección 1 en la dirección positiva del eje x.

Solución:

Consideremos que la ecuación requerida de la línea es 

y – y 1 = m'(x – x 1 ) ……….(1)

Entonces, punto (x 1 , y 1 ) = (1, 0)

Se da que la recta es perpendicular a la recta 2x – 3y = 5

Entonces, la pendiente de la recta 2x – 3y = 5 es

y = -2x/3 + 5/3 

Al comparar y = mx + c, obtenemos

metro = -2/3

Como sabemos que la recta es perpendicular a la recta lx + my + n = 0

Entonces, la pendiente es m’ = -1/m = 3/2

Ahora pon el valor de m’ y (x 1 , y 1 ) es eq(1), obtenemos

y – y 1 = m(x – x 1 ) 

y-0 = 2/3(x-1)

y = -3/2(x – 1)

2y = -3x + 3

Por lo tanto, la ecuación de la línea requerida es 3x + 2y – 3 = 0

Pregunta 9. Halla la ecuación de la recta perpendicular a 5x – 2y = 8 y que pasa por el punto medio del segmento que une (2, 3) y (4, 5).

Solución:

Consideremos el punto A(2, 3) y (4, 5) y O el punto medio de AB

entonces las coordenadas de O = ((2 + 4)/2, (3 + 5)/ 2) = (3, 4)

Consideremos que la ecuación requerida de la línea es 

y – y 1 = m'(x – x 1 ) ……….(1)

Aquí (x 1 ,y 1 ) es (3, 4)

Se da que la recta es perpendicular a la recta 5x – 2y = 8

Entonces, la pendiente de la recta 5x – 2y = 8 es

y = 5x/2 – 4

Al comparar y = mx + c, obtenemos

metro = 5/2

Como sabemos que la recta es perpendicular a la recta 5x – 2y = 8

Entonces, la pendiente es m’ = -1/m = -2/5

Poniendo m y (x 1 ,y 1 ) en (1), obtenemos

y-4 = (-2/5)(x-3)

5y + 2x = 26

2x + 5y – 26 = 0

Por lo tanto, la ecuación de la línea requerida es 2x + 5y – 26 = 0

Pregunta 10. Encuentra la ecuación de la línea recta que tiene una intersección en y igual a 4/3 y es perpendicular a 3x – 4y + 11 = 0.

Solución:

Consideremos que la ecuación requerida de la línea es 

y – y 1 = m'(x – x 1 ) ……….(1)

Aquí (x 1 , y 1 ) es (0, 4/3)

Se da que la recta es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0.

Entonces, la pendiente de la línea 3x – 4y + 11 = 0 es

y = 3x/4 – 11/4

Al comparar y = mx + c, obtenemos

metro = 3/4

Como sabemos que la recta es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0.

Entonces, la pendiente es m’ = -1/m = -4/3

Poniendo m y (x 1 , y 1 ) en (1), obtenemos

y – 4/3 = (-4/3)(x – 0)

4x + 3y – 4 = 0

Por lo tanto, la ecuación de la línea requerida es 4x + 3y – 4 = 0

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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