Un sistema numérico en matemáticas o Sistema de Numeración representa o expresa números en la recta numérica de manera consistente usando dígitos que consisten en 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Además, también se utiliza un sistema numérico para representar un conjunto de valores para representar la cantidad. El sistema numérico se utiliza en innumerables tareas realizadas en actividades cotidianas, desde contar estrellas en el cielo nocturno o resolver ecuaciones matemáticas complejas, el sistema numérico se utiliza en todas partes.
Por ejemplo: {1,2,3,4,5…………..∞} se puede representar como un conjunto de números naturales en un sistema numérico que comienza desde 1 y va hasta el infinito.
Tipos de números
- Números Naturales (N): Estos números consisten en un conjunto de todos los números positivos a partir de 1 y va hasta el Infinito.
El conjunto de Números Naturales se puede definir como N ={1, 2, 3, 4, 5, …………. ∞}. - Números Enteros (W): Estos números consisten en un conjunto de todos los Números Naturales junto con 0 (cero).
El conjunto de Números Enteros se puede definir como W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …………… ∞}. - Enteros (Z): Estos números consisten en un conjunto de todos los Números Naturales positivos y negativos incluyendo el 0 (cero).
El conjunto de Enteros se puede definir como Z = {-∞ ……….. , -5, -4, -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………… …. ∞ }. - Números Racionales (Q): Son los números que se pueden escribir o expresar en forma de a/b o de razón de dos números.
Ejemplos de Números Racionales son 12/4, -3/5, 6/-12, 0/1, etc. - Números irracionales (P): Son los números que no se pueden expresar en forma de a/b o en forma de cociente entre dos números.
Ejemplos de Números Irracionales son √5, e = 2.718281, √7, etc. - Números Imaginarios (Im (Z)): Son los números que son productos de números reales por una unidad imaginaria “i” .
Ejemplos de Números Imaginarios son i 2 , 2i, √5i, etc. - Números Reales (R): Estos son los números que consisten en todos los números positivos, negativos, fraccionarios o decimales sin ninguna unidad o cantidad imaginaria.
Ejemplos de Números Reales son 3/4, 2.3432, √3, -4, 10, etc. - Números Complejos (Re (Z)): Son los números que se escriben o expresan en forma de a+bi , donde a y b son números reales e i es una unidad imaginaria.
Ejemplos de números complejos son 1+3i, 2+i, 4+√3i, etc.
¿Por qué los números naturales se llaman números naturales?
Todos los números que pueden representar alguna cantidad existente en la vida real se conocen como Números Naturales. Los números naturales van desde todos los números positivos a partir del 1 que van hasta el infinito. Los números naturales no contienen 0 (cero) ya que el cero en la vida real no representa nada o simplemente significa que la cantidad no existe, lo que implica que estos son los números naturales.
Por ejemplo: puede poner una o más manzanas en su bolsa de compras, pero no puede poner cero manzanas en ella ni sostener cero manzanas en sus manos, ya que en ese momento la manzana simplemente no existe para usted.
Del ejemplo anterior, podemos determinar que los números naturales tienen una referencia natural a alguna cantidad real existente, ya que en la vida real el conteo de cantidades comienza desde 1 y no desde 0.
Tipos de sistemas numéricos
- Sistema numérico binario: este tipo de sistema numérico comprende solo dos dígitos que son 0 y 1. La base de los números en este sistema numérico es 2. En este sistema, 0 y 1 son bits y ocho de estos bits juntos forman un byte. Un bit es la unidad de memoria más pequeña en una computadora, todas las operaciones realizadas en la computadora, ya sean básicas o complejas, se realizan en forma binaria, es decir, en forma de 0 y 1.
Ejemplo: 011101 2 ,000111 2 , 010101 2 , etc. - Sistema numérico octal: este tipo de sistema numérico consta de ocho dígitos que van del 0 al 7. La base de los números en este sistema numérico es 8.
Ejemplo: 47 8 , 109 8 , 343 8 , etc. - Sistema numérico decimal: este tipo de sistema numérico comprende dígitos que van del 0 al 9. La base de los números en este sistema numérico es 10. Los números decimales se usan para representar cantidades reales de la vida, ya que estos números decimales son los que usamos en nuestra vida cotidiana. Si un número no tiene base, simplemente significa que el número es una base de 10.
Ejemplo: 2893 10 , 12 10 , 456 10 , 909 10 , etc. - Sistema numérico hexadecimal: este tipo de sistema numérico comprende números decimales que van del 0 al 9 y seis caracteres alfabéticos que son A, B, C, D, E, F, estos caracteres reemplazan los números como A = 10, B = 11, C =12, D=13, E=14 y F=15, que juntos suman un total de 16 dígitos. La base de los números en este sistema numérico es 16.
Ejemplo: 134A 16 , 3B4 16 , 12A4F 16 , etc.
Ejemplos de problemas basados en sistemas numéricos
Pregunta 1. Divida un grupo de 456 estudiantes en la proporción de 12:16.
Solución:
Número dado de estudiantes = 456
Proporción dada = 12:26
Sea S el número de estudiantes, es decir, S = 456
Sean a = 12 y b = 16 entonces la suma de la razón R será: R = a+b
R = 12 + 26, R = 38
Ahora para encontrar la relación en forma de a/b o a:b
Para:
a = (S/R)*a
= (456/38)*12
= (12)*12
un = 144
para b:
b = S – un
b = 456 – 144
b = 312
Respuesta: Los valores obtenidos de a y b son 144 y 312, por lo tanto, la proporción de estudiantes será = 144: 312
Pregunta 2. John gana Rs.56000 por mes. Gasta 1/4 de sus ingresos en comida; 3/10 del resto en el alquiler de la casa y 5/21 del resto en la educación de los hijos. ¿Cuánto dinero le queda todavía?
Solución:
Dado, salario total de john = Rs.56000
Gastos dados en comida = 1/4
Dados los gastos de alquiler de la casa = 3/10
Dados los gastos en educación = 5/21
Salario de Juan que gasta en comida = 56000 x 1/4
= 14000
La parte total del salario de Juan que gasta en comida es de 14 000 rupias, por lo que el resto
El salario de Juan será: Salario total – gastos de alimentación
56000 – 14000 = 42000
Ahora, el salario de Juan que gasta en alquileres de casa después de gastar en comida = 42000 x 3/10
= 12600
El salario restante total de John después de gastar el alquiler de la casa es el alquiler de la casa: salario restante
42000 – 12600 = 29400
Ahora, el salario de john que gasta en la educación de sus hijos de su salario restante después de
gasto en comida y alquiler de casa = 29400 x 5/21
= 7000
Salario restante total de john después de gastar en la educación de sus hijos = educación – salario restante
29400 – 7000 = 22400
Entonces, el salario restante total de john después de gastar en comida, alquiler de casa y educación de los niños es:
Responder:22400
Pregunta 3. Simplifica los siguientes números:
una. √-1
b. -1
C. √-16
d. √-20
Solución:
Sabemos que : i = √-1
yo 2 = -1
yo 3 = -yo
yo 4 = 1
una. Simplifica √-1.
sabemos que : i = √-1
entonces, √-1 se puede simplificar como i
b. Simplifica -1.
sabemos que : i 2 = -1
entonces, -1 se puede simplificar como i 2
C. Simplifica √-16.
√-16 se puede escribir como: √(16 x -1) o √16 x √-1
que es equivalente a : 4 x √-1
sabemos que i = √-1
por lo tanto, √-16 se puede simplificar como 4 i
d. Simplifica √-20.
√-20 se puede escribir como √(20 x -1) o √20 x √-1
que es equivalente a √20 x i
por lo tanto, √-20 se puede simplificar como i√20.
Pregunta 4. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática 3x 2 + 6 = 6x.
Solución:
Dada la ecuación cuadrática = 3x 2 + 6 = 6x ……. ecuación (1)
convirtiendo la ecuación cuadrática en la forma de ax 2 + bx + c = 0
3x 2 – 6x + 6 = 0
aquí, a = 3, b = -6 y c = 6.
utilizando las fórmulas (-b ± √(b 2 – 4ac))/2a .
Poner el valor de a, b y c en las fórmulas
(-(-6) ± √((-6) 2 – 4x3x6))/2×3
obtenemos,
= (6 ± √(36 – 72))/6
= (6 ± √-36)/6
= (6 ± 6 i)/ 6
Al dividir la ecuación por 6 obtenemos, (1 ± i ) es decir, 1 + i y 1 – i.
poniendo 1 + i y 1 – i en eq(1)
(1 + yo ): (1 – yo ):
3(1 + yo ) 2 + 6 = 6(1 + yo ) 3(1 – yo ) 2 + 6 = 6(1 – yo )
3(1 2 + yo 2 + 2 yo ) + 6 = 6 + 6 yo 3(1 2 + yo 2 – 2 yo ) + 6 = 6 – 6 yo
3(1 + (-1) + 2 i ) + 6 = 6 + 6 i 3(1 + (-1) – 2 i ) + 6 = 6 – 6 i
3 – 3 + 6 yo + 6 = 6 + 6 yo 3 – 3 – 6 yo + 6 = 6 – 6 yo
6 i + 6 = 6 i +6 (por lo tanto probado) -6 i + 6 = -6 i + 6 (por lo tanto probado)
Pregunta 5. Racionalizar 3/(4 – √6).
Solución:
Número racional dado = 3/(4 – √6).
Podemos ver que el denominador contiene un número irracional, por lo que debemos multiplicar el inverso aditivo del denominador por el numerador y el denominador,
3/(4 – √6) x (4 + √6)/(4 + √6)
Ahora, la ecuación será:
3(4 + √6)/(4 – √6) x (4 + √6)
= (12 + 3√6)/(16 – 6).
= (12 + 3√6)/10
Entonces la forma racionalizada de 3/(4 – √6) será (12 + 3√6)/10.
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Artículo escrito por yashdubey224 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA