Pregunta 1: Encuentra el área de la superficie de una esfera de radio:
(i) 10,5 cm (ii) 5,6 cm (iii) 14 cm
Solución:
(i) Radio (r) = 10,5 cm
área de superficie = 4ᴨr 2
= 4 * (22/7) * (10,5 ) 2cm2
= 4 *(22/7) * (21/2) * (21/2) cm2
= 1386cm2
(ii) Radio (r) = 5,6 cm
área de superficie = 4ᴨr 2
= 4 * (22/7) * (5,6 ) 2 cm2
= 4 *(22/7) * (56/10) * (56/10) cm2
= 39424/100 = 394,24 cm2
(iii) Radio (r) = 14 cm
área de superficie = 4ᴨr2
= 4 * (22/7) * (14 ) 2cm2
= 4 *(22/7) * (14) * (14) cm2
= 2464cm2
Pregunta 2: Encuentra el área de la superficie de una esfera de diámetro:
(i) 14 cm (ii) 21 cm (iii) 3,5 cm
Solución:
(i) Diámetro de una esfera = 14 cm
Radio (r) = 14/2 cm = 7 cm
área de superficie = 4ᴨr 2
= 4 * (22/7) * ( 7 ) 2cm2
= 4 *(22/7) * (7) * (7) cm2
= 616 cm2
(ii) Diámetro de una esfera = 21 cm
Radio (r) = 21/2 cm
área de superficie = 4ᴨr 2
= 4 *(22/7) * (21/2) * (21/2) cm2 = 1386 cm2
(iii) Diámetro de una esfera = 3,5 cm
Radio (r) = 3,5/2 = 7/4 cm
área de superficie = 4ᴨr 2
= 4 *(22/7) * (7/4) * (7/4) cm2
= 77/2 = 38,5 cm2
Pregunta 3: Encuentre el área de superficie total de un hemisferio y un hemisferio sólido, cada uno con un radio de 10 cm. (π=3.14)
Solución:
1.Radio del hemisferio = 10 cm
Superficie total del hemisferio = 2ᴨr 2
= 2 * 3,14 * 10 * 10 cm2 = 628 cm2
2. Área de superficie total del hemisferio sólido = 3ᴨr 2
= 3 * 3,14 * 10 * 10 cm2 = 942 cm2
Pregunta 4: El área superficial de una esfera es 5544 cm2, encuentra su diámetro.
Solución:
Sea r el radio de una esfera, entonces el área de la superficie = 4ᴨr 2
Entonces, 5544 = 4 * (22/7) * r 2
r2 = (5544 * 7)/(4 * 22) = 63 * 7 cm2
= 441 = (21) 2
Entonces, r = 21 cm
Ahora diámetro = 2 * r = 2 * 21 = 42 cm
Pregunta 5: Un cuenco semiesférico hecho de latón tiene un diámetro interior de 10,5 cm. Encuentre el costo de estañar el interior a razón de Rs.4 por 100 cm 2 .
Solución:
Diámetro interior de un cuenco hemisférico = 10,5 cm
Radio (r) = 10,5/2 = 5,25 cm = 525/100 = 21/4 cm
Área de superficie de la parte interna del recipiente = 2ᴨr 2 = 2 *(22/7) * (21/4) * (21/4) cm 2 = 693/4 cm 2
Tasa de plantación de estaño = Rs 4 por 100 cm 2
Costo total = (693 * 4) / (4 * 100) = 693 rupias/100 = 6,93 rupias
Pregunta 6: La cúpula de un edificio tiene forma de hemisferio. Su radio es de 63 dm. Encuentre el costo de pintarlo a razón de Rs. 2 por metro cuadrado.
Solución:
Radio de la cúpula (hemisférica) = 63 dm
Área de superficie curva = 2ᴨr 2 = 2 * (22/7) * 63 * 63 dm 2 = 24948 dm 2
Tasa de pintura = Rs 2 por metro cuadrado
Costo total = (24948 * 2) / 100 = 249,48 rupias * 2 = 498,96 rupias
Pregunta 7: Suponiendo que la tierra es una esfera de radio 6370 km, ¿cuántos kilómetros cuadrados tiene el área de la tierra, si las tres cuartas partes de la superficie terrestre están cubiertas por agua?
Solución:
Radio de la tierra (esfera) = 6370 km
Agua en la tierra = 3/4 % del área total
Área requerida = (1/4) * (4ᴨr 2 ) = ᴨr 2
= (22/7) * (6370) 2 km2 = 22 * 910 * 6310 km2 = 127527400 km2
Pregunta 8: Un cilindro de la misma altura y radio se coloca en la parte superior de un hemisferio. Encuentre el área de la superficie curva de la forma si la longitud de la forma es de 7 cm.
Solución:
Altura total de la forma así formada = 7 cm
Radio = altura del cilindro = 7/2 cm
Área de superficie curvada = 2ᴨrh + 2ᴨr 2 = 2ᴨr(h+r) cm 2
= 2 * (22/7) * (7/2) * (7/2 + 7/2) cm2 = 22 * 7 = 154 cm2
Pregunta 9: El diámetro de la luna es aproximadamente una cuarta parte del diámetro de la tierra. Halla la razón de sus áreas superficiales.
Solución:
Diámetro de la luna = 1/4 del diámetro de la tierra
Sea el radio de la tierra r km
Entonces el radio de la luna = (r/4) km
Ahora, el área de superficie de la tierra = 4ᴨr 2
Área de la superficie de la luna = 4ᴨ(r/4) 2
= 4ᴨ * (1/16) r 2 = (1/4) * ᴨr 2
Relación entre el área de superficie de la luna y la tierra = (1/4) * ᴨr 2 : 4ᴨr 2 = (1/4) : 4 = 1/16
Pregunta 10: Es necesario pintar la cúpula semiesférica de un edificio. Si la circunferencia de la base de la cúpula es de 17,6 m, encuentre el costo de pintarla, dado que el costo de pintar es ₹5 por 100 cm 2 . [NCERT]
Solución:
Circunferencia (c) de la base de la cúpula (r) = 17,6 cm
Radio = c/2ᴨ = (17,6 * 7) / (2 * 22) = 2,8 m
Superficie = 2ᴨr 2 = 2 * (22/7) * (2,8) 2 m 2 = 49,28 m 2
Tasa de pintar la superficie = Rs 5 por 100 cm 2
Costo total = (49,28 * 5 * 10000) / 100 = 24640 rupias
Pregunta 11: Un juguete de madera tiene la forma de un cono coronado por un hemisferio. El diámetro de la base del cono es de 16 cm y su altura es de 15 cm. Calcule el costo de pintar el juguete en ₹ 7 por 100 cm 2 .
Solución:
Diámetro del juguete = 16 cm
Radio (r) = 16/2 = 8 cm
Altura de la parte cónica (h) =15 cm
Altura inclinada (l) = sqrt. ( r2 + h2 )
= sqrt. (8 2 + 15 2 ) = raíz cuadrada (64 + 225) = raíz cuadrada (289) = 17 cm
Superficie total del juguete = ᴨrl + 2ᴨr 2
= (22/7) * 8 * 17 + 2 * (22/7) * 8 * 8 cm 2 = (176/7) * 33 cm 2 = (5808/7) cm 2
Tasa de pintar la superficie del juguete = Rs 7 por cm 2
Costo total = (5808/7) * (7/100) = Rs (5808/100) = Rs 58,08
Pregunta 12: Un tanque de almacenamiento consta de un cilindro circular con una semiesfera unida en cada extremo. Si el diámetro externo del cilindro es de 1,4 m y su longitud de 8 m, encuentre el costo de pintarlo por fuera a razón de ₹ 10 por m 2 .
Solución:
Diámetro del tanque = 1,4 m
Radio (r) = 1,4/2 = 0,7 m
Altura de la porción cilíndrica = 8m
Área de la superficie exterior del tanque = 2ᴨrh + 2ᴨr 2 = 2ᴨr (h + r)
= 2 * (22/7) * 0,7 * (8 + 0,7) m2 = ( 44/10) * 8,7 m2
Tasa de pintura = 10 rupias por m 2
Costo total = (44 * 8,7 * 10) /10 = 382,80 rupias
Pregunta 13: La pared compuesta frontal de una casa está decorada con esferas de madera de 21 cm de diámetro, colocadas sobre pequeños soportes como se muestra en la figura. Ocho esferas de este tipo se utilizan para este propósito y deben pintarse de plata. Cada soporte es un cilindro de 1,5 cm de radio y 7 cm de altura y debe pintarse de negro. Encuentre el costo de la pintura requerida si la pintura plateada cuesta 25 paise por cm 2 y la pintura negra cuesta 5 paise por cm 2 . [NCERT]
Solución:
Diámetro de cada esfera = 21 cm
Radio (R) = 21/2 cm
Radio de cada cilindro (r) = 1,5 cm y altura (h) = 7 cm
Ahora el área de superficie de una esfera = 4ᴨR 2
= 4 * (22/7) * (21/2) * (21/2) cm2 = 1386 cm2
Área de superficie de un cilindro = 2ᴨrh
= 2 * (22/7) * 1,5 * 7 cm 2 = 66 cm 2
Superficie de 8 esferas = 8 * 1386 cm 2 = 11088 cm 2
Superficie de 8 cilindros tops = 8ᴨr 2 = 8 * (22/7) * 1,5 * 1,5 cm 2 = 56,57 cm 2
Superficie de 8 cilindros = 8 * 66 cm 2
Área de superficie de las esferas excluyendo el área de la base = 11088 – 56,57 = 11031,43 cm 2
Tasa de plata pintando las esferas = Rs 25 por cm 2
Costo total = Rs (11031,43 * 25)/100 = Rs 2757,86
Tasa de pintar de negro las esferas = Rs 5 por cm 2
Costo total = Rs (528 * 5)/100 = Rs 26,40
Costo total de pintura = 2757,86 rupias + 26,40 rupias = 2784,26 rupias