Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Derivadas de orden superior – Ejercicio 12.1

Encuentre la derivada de segundo orden de la siguiente función

Pregunta 1(i). x ³ + tangente

Solución:

Consideremos

f(x) = x3 ⁺ tanx

Al diferenciar ambos lados de x,

f'(x) = 3x ² + seg ² x

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

f”(x) = 6x + 2(segx)(segx.tanx)

f”(x) = 6x + 2seg ² x.tanx

Pregunta 1(ii). pecado(logx)

Solución:

Consideremos

y = sen(logx)

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = cos(logx) × (1/x)

(dy/dx) = cos(logx)/x

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = d/dx[cos(logx)/x]

$=\frac{x\frac{d}{dx}cos(logx)-cos(logx)\frac{d}{dx}x}{x^2}$

= $\frac{-x[\frac{sen(logx)}{x}]-cos(logx).1}{x^2}$

= -[sen(logx) + cos(logx)]/x ²

Pregunta 1(iii). registro (senx)

Solución:

Consideremos

y = log(senx)

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = (1/senx) × (cosx)

(dy/dx) = cox

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = -coseg ² x

Pregunta 1(iv). e ^x sen5x

Solución:

Consideremos

y = e ^x sen5x

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = e ^x sen5x + 5e ^x cos5x

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = e ^x sen5x + 5e ^x cos5x + 5(e ^x cos5x – 5e ^x sen5x)

d ² y/dx ² = -24e ^x sen5x + 10e ^x cos5x

d ² y/dx ² = 2e ^x (5cos5x – 12senx)

Pregunta 1(v). e ^6x cos3x

Solución:

Consideremos

y = e ^6x cos3x

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = 6e ^6x cos3x – 3e ^6x sen3x

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = 6(6e ^6x cos3x – 3e ^6x sen3x) – 3(6e ^6x sen3x + 3e ^6x cos3x)

d ² y/dx ² = 36e ^6x cos3x – 18e ^6x sen3x – 18e ^6x sen3x – 9e ^6x cos3x

d ² y/dx ² = 27e ^6x cos3x – 36e ^6x sen3x

d ² y/dx ² = 9e ^6x (3 cos 3x – 4 sen 3x)

Pregunta 1 (vi). x ³ logx

Solución:

Consideremos

y = x ³ logx

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = logx.3x ² + x ³ (1/x)

(dy/dx) = logx.3x ² + x ²

(dy/dx) = x ² (1 + 3logx)

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = (1 + 3logx).2x + x ² (3/x)

d ² y/dx ² = 2x + 6xlogx + 3x

d ² y/dx ² = x(5 + 6logx)

Pregunta 1 (vii). bronceado ^-1x _

Solución:

Consideremos

y = bronceado ^-1 x

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = 1/(1 + x ² )

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(1+x^2)^{-1}$

d ² y/dx ² = (-1)(1 + x ² ) ^-2 .2x

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

Pregunta 1 (viii). x.cosx

Solución:

Consideremos

y = x.cosx

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = cosx + x(-senx)

(dy/dx) = cosx – xsenx

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = -senx – (senx + xcosx)

d ² y/dx ² = -2senx – xcosx

d ² y/dx ² = -(xcosx + 2senx)

Pregunta 1(ix). registro(logx)

Solución:

Consideremos

y = log(logx)

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = (1/logx) × (1/x)

(dy/dx) = 1/xlogx

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(xlogx)^{-1}$

d ² y/dx ² = (-1)(xlogx) ^-2 .[(d/dx)xlogx]

d ² y/dx ² = (-1)(xlogx) ^-2 [logx+x.(1/x)]

d ² y/dx ² = (-1)(xlogx) ^-2 .(logx+1)

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-(1+logx)}{(xlogx)^2}$

Pregunta 2. Si y = e ^-x .cosx, demuestre que d ² y/dx ² = 2e ^-x .senx.

Solución:

Consideremos

y = e ^-x .cosx

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = -e ^-x .cosx – e ^-x .senx

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = -(-e ^-x .cosx – e ^-x .senx) – (-e ^-x .senx + e ^-x .cosx)

d ² y/dx ² = e ^-x .cosx – e ^-x .cosx + e ^-x .sinx + e ^-x .senx

d ² y/dx ² = 2e ^-x.senx

Por lo tanto probado

Pregunta 3. Si y = x + tanx, demuestre que cos ² x(d ² y/dx ² ) – 2y + 2x = 0.

Solución:

Consideremos

y = x + tanx

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = 1 + seg ² x

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = 0 + (2segx)(segx.tanx)

d ² y/dx ² = 2 seg ² x.tanx

Al multiplicar a ambos lados por cos ² x

cos ² x(d ² y/dx ² ) = 2tanx

cos ² x(d ² y/dx ² ) = 2(y – x) [ya que, tanx = y – x]

cos ² x(d ² y/dx ² ) – 2y + 2x = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 4. Si y = x ³ logx, demuestre que (d ⁴ y/dx ⁴ ) = (6/x).

Solución:

Consideremos

y = x ³ logx

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = logx.3x ² + x ³ (1/x)

(dy/dx) = logx.3x ² + x ²

(dy/dx) = x ² (1 + 3logx)

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = (1 + 3logx).2x + x ² (3/x)

d ² y/dx2 = 2x + 6xlogx + 3x

d ² y/dx ² = 5x + 6xlogx

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ³ y/dx ³ = 5 + 6[logx + (x/x)]

d ³ y/dx ³ = 11 + 6logx

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ⁴ y/dx ⁴ = (6/x)

Por lo tanto probado

Pregunta 5. Si y = log(senx), prueba que (d ³ y/dx ³ ) = 2cosx.cosec ³ x.

Solución:

Let us considered

y = log(sinx)

On differentiating both sides w.r.t x,

(dy/dx) = (1/sinx) × (cosx)

(dy/dx) = cotx

Again differentiating both sides w.r.t x,

d²y/dx²= -cosec²x

Again differentiating both sides w.r.t x,

d ³ y/dx ³ = -2cosecx.(-cosesx.cotx)

d ³ y/dx ³ = 2cosec ² x.cotx

d ³ y/dx ³ = 2cosec ² x.(cosx/senx)

d ³ y/dx ³ = cosx.cosec ³ x

Por lo tanto probado

Pregunta 6. Si y = 2senx + 3cosx, demuestre que (d ² y/dx ² ) + y = 0.

Solución:

Consideremos

y = 2senx + 3cosx

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = 2cosx – 3senx

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = -2senx – 3cosx

d ² y/dx ² = -(2senx + 3cosx)

d ² y/dx ² = -y

re ² y/dx ² + y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 7. Si y = (logx/x), demuestre que (d ² y/dx ² ) = (2logx – 3)/x ³

Solución:

Consideremos

y = (logx/x)

Al diferenciar ambos lados de x,

$\frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}logx-logx\frac{dx}{dx}}{x^2}$

(dy/dx) = (1 – logx)/x ²

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-logx)-(1-logx)\frac{dx}{dx}}{x^4}$

d ² y/dx ² = [-x – 2x(1 – logx)]/x ⁴

d ² y/dx ² = (2xlogx – 3x)/x ⁴

d ² y/dx ² = (2logx – 3)/x ³

d2y/dx2 + y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 8. Si x = a secθ, y = b tanθ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -b ⁴ /a ² y ³

Solución:

Tenemos,

x = a secθ y y = b tanθ

Al diferenciar ambos lados con θ,

(dx/dθ) = a secθ.tanθ, (dy/dθ) = b sec ² θ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = (b sec ² θ)/(a secθ.tanθ)

(dy/dx) = (b/a).cosecθ

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

(d ² y/dx ² ) = (b/a).(-cosecθ.cotθ).(dθ/dx)

(d ² y/dx ² ) = -(b/a).(cosecθ.cotθ).(1/a secθ.tanθ)

(d ² y/dx ² ) = – (b/a ² ).(cotθ).(1/tan ² θ)

d ² y/dx ² = -(b/a ² ).(1/tan ³ θ)

d ² y/dx ² = -(b/a ² tan ³ θ).(b ³ /b ³ )

d ² y/dx ² = -(b ⁴ /a ² y ³ )

Por lo tanto probado

Pregunta 9. Si x = a(cost + tsint) y y = a(sint – tcost), demuestre que d ² y/dx ² = sec ³ t/ at 0 < t <

Solución:

Tenemos,

x = a(coste + tsint) y y=a(sint – tcoste)

Al diferenciar ambos lados wrt t,

(dx/dt) = a(-sint + sint + tcoste), (dy/dt) = a(coste – coste + tsint)

(dx/dt) = al costo, (dy/dt) = al costo

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = atsint × [1/atcost]

(dy/dx) = cantidad

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

(d ² y/dx ² ) = seg ² x.(dt/dx)

(d ² y/dx ² ) = sec2x.[1/a costo]

(d ² y/dx ² ) = seg ³ x/en

Por lo tanto probado

Pregunta 10. Si y = e ^x cosx, demuestre que d ² y/dx ² = 2e ^x cos(x + π/2).

Solución:

Tenemos,

y = e ^x cos x

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = e ^x cosx – e ^x senx

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = (e ^x cosx – e ^x senx) – (e ^x senx + e ^x cosx)

d ² y/dx ² = e ^x cosx – e ^x cosx – e ^x senx – e ^x senx

d ² y/dx ² = -2e ^x senx

d ² y/dx ² = 2e ^x cos(x + π/2)

Pregunta 11. Si x = a cosθ, y = b sinθ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -b ⁴ /a ² y ³

Solución:

Tenemos,

x = a cosθ y y = b sinθ

Al diferenciar ambos lados con θ,

(dx/dθ) = -a sinθ, (dy/dθ) = b cosθ

(dy/dx) = (dy/dθ)×(dθ/dx)

(dy/dx) = (b cosθ)/(-a senθ)

(dy/dx) = -(b/a).cotθ

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

(d ² y/dx ² ) = -(b/a).(-cosec ² θ).(dθ/dx)

(d ² y/dx ² ) = (b/a).(cosec ² θ).(1/-a senθ)

(d ² y/dx ² ) = (b/a).(cosec ² θ).(1/-a senθ)

d ² y/dx ² = -(b/a ² ).(1/sen ³ θ)

d ² y/dx ² =-(b/a ² sen ³ θ).(b ³ /b ³ )

d ² y/dx2 = -(b ⁴ /a ² y ³ ) (ya que y = a senθ)

Por lo tanto probado

Pregunta 12. Si x = a(1 – cos ³ θ), y = a sen ³ θ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = 32/27a, en θ = π/6.

Solución:

Tenemos,

x = a(1 – cos ³ θ) y y = a sen ³ θ

Al diferenciar ambos lados con θ,

(dx/dθ) = a(3cos ² θ.senθ), (dy/dθ) = a 3sen ² θcosθ

(dx/dθ) = 3acos ² θ.senθ, (dy/dθ) = 3asen ² θ.cosθ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = (3asen ² θ.cosθ) × (3acos ² θ.senθ)

(dy/dx) = tan ² θ/ tan θ

(dy/dx) = tanθ

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

(d ² y/dx ² ) = sec ² θ(dθ/dx)

(d ² y/dx ² ) = sec ² θ.[1/3acos ² θ.senθ]

(d ² y/dx ² ) = sec ⁴ θ/3asinθ

En θ = π/6

d ² y/dx ² = seg ⁴ (π/6)/3asin(π/6)

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(\frac{2}{\sqrt{3}})^4}{3a\frac{1}{2}}$

d ² y/dx ² = 32/27a

Por lo tanto probado

Pregunta 13. Si x = a(θ + senθ), y = a(1 + cosθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -(a/y ² ).

Solución:

Tenemos,

x = a(θ + senθ) y y = a(1 + cosθ)

Al diferenciar ambos lados con θ,

(dx/dθ) = a(1 + cosθ), (dy/dθ) = -asinθ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [-asinθ] × [a(1 + cosθ)]

(dy/dx) = -sinθ/(1 + cosθ)

Again differentiating both sides w.r.t x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=-[\frac{(1+cosθ)\frac{d}{dx}sinθ+sinθ\frac{d}{dx}(1+cosθ)}{(1+cosθ)^2}]\frac{dθ}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-[\frac{(1+cosθ)cosθ-sinθsinθ)}{(1+cosθ)^2}]\frac{1}{a(1+cosθ)}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=[\frac{-cosθ-cos^2θ-sin^2θ}{(1+cosθ)^2}]\frac{1}{a(1+cosθ)}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-cosθ-1}{a(1+cosθ)^3}$

(d²y/dx²) = -(1 + cosθ)/a(1 + cosθ)³

(d²y/dx²) = -1/a(1 + cosθ)²

(d²y/dx²) = -[1/a(1 + cosθ)²](a/a)

d2y/dx2 = -a/y²

Hence Proved

Pregunta 14. Si x = a(θ – senθ), y = a(1 + cosθ), hallar (d ² y/dx ² ).

Solución:

Tenemos,

x = a(θ – senθ) y y = a(1 + cosθ)

Al diferenciar ambos lados con θ,

(dx/dθ) = a(1 – cosθ), (dy/dθ) = -asinθ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [-asinθ] × [a(1 – cosθ)]

(dy/dx) = -sinθ/(1 – cosθ)

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=-[\frac{(1-cosθ)\frac{d}{dx}sinθ+sinθ\frac{d}{dx}(1-cosθ)}{( 1-cosθ)^2}]\frac{dθ}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-[\frac{(1-cosθ)cosθ-sinθsinθ)}{(1-cosθ)^2}]\frac{1}{a(1-cosθ) }$

$\frac{d^2y}{dx^2}=[\frac{-cosθ+cos^2θ+sen^2θ}{(1-cosθ)^2}]\frac{1}{a(1-cosθ) }$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1-cosθ}{a(1-cosθ)^3}$

(d ² y/dx ² ) = 1/a(1 – cosθ) ²

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{a(2sin^2\frac{θ}{2})^2}$

d ² y/dx ² = (1/4a)[cosec ⁴ (θ/2)]

Pregunta 15. Si x = a(1 – cosθ), y = a(θ + sinθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -1/a en θ = π/2.

Solución:

Tenemos,

x = a(1 – cosθ) y y = a(θ + senθ)

Al diferenciar ambos lados con θ,

(dx/dθ) = a(sinθ), (dy/dθ) = a(1 + cosθ)

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [a(1 + cosθ)] × [asinθ)]

(dy/dx) = (1 + cosθ)/senθ

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=[\frac{sinθ\frac{d}{dx}(1+cosθ)-(1+cosθ)\frac{d}{dx}sinθ}{(sinθ)^2}]\frac{dθ}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=[\frac{sinθ.sinθ-(1+cosθ)cosθ}{(sinθ)^2}]\frac{1}{asinθ}$

d ² y/dx ² = (-sen ² θ – cos θ – cos ² θ)/asen ³ θ

d ² y/dx ² = -(sen ² θ + cos θ + cos ² θ)/asen ³ θ

En θ = π/2,

d ² y/dx ² = -(1 + 0)/a

d ² y/dx ² = -(1/a)

Por lo tanto probado

Pregunta 16. Si x = a(1 + cosθ), y = a(θ + sinθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -1/a en θ = π/2.

Solución:

Tenemos,

x = a(1 + cosθ) y y = a(θ + senθ)

Al diferenciar ambos lados con θ,

(dx/dθ) = a(-sinθ), (dy/dθ) = a(1 + cosθ)

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [a(1 + cosθ)] × [-asinθ)]

(dy/dx) = -(1 + cosθ)/senθ

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=-[\frac{sinθ\frac{d}{dx}(1+cosθ)-(1+cosθ)\frac{d}{dx}sinθ}{(sinθ)^2}]\frac{dθ}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-[\frac{sinθ.sinθ-(1+cosθ)cosθ}{(sinθ)^2}]\frac{1}{-asinθ}$

d ² y/dx ² = (-sen ² θ – cos θ – cos ² θ)/asen ³ θ

d ² y/dx ² = -(sen ² θ + cos θ + cos ² θ)/asen ³ θ

En θ = π/2,

d ² y/dx ² = -(1 + 0)/a

d ² y/dx ² = -(1/a)

Por lo tanto probado

Pregunta 17. Si x = cosθ, y = sen ³ θ, demuestre que y(d ² y/dx ² ) + (dy/dx) ² = 3sen ² θ(5cos ² θ – 1).

Solución:

Tenemos,

x = cosθ y y = sen ³ θ

Al diferenciar ambos lados con θ,

(dx/dθ) = -sinθ, (dy/dθ) = 3sen ² θ.cosθ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [ 3sen ² θ.cosθ] × [-senθ]

(dy/dx) = -3sinθ.cosθ

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = -3[sinθ(-sinθ) + cosθ.cosθ](dθ/dx)

d ² y/dx ² = (3sen ² θ – 3cos ² θ)/-senθ

d ² y/dx ² = -(3sen ² θ – 3cos ² θ)/senθ

LHS,

y(d ² y/dx ² ) + (dy/dx) ² = -sen ³ θ[(3sen ² θ – 3cos ² θ)/senθ] + (-3senθ.cosθ) ²

= 3sen ² θ.cos ² θ – 3sen ⁴ θ + 9sen ² θ.cos ² θ

= 12sen ² θ.cos ² θ – 3sen ⁴ θ

= 3sen ² θ(4cos ² θ – sen ² θ)

= 3sen ² θ(4cos ² θ – sen ² θ – cos ² θ + cos ² θ)

= 3sen ² θ[5cos ² θ – (sen ² θ + cos ² θ)]

= 3sen ² θ(5cos ² θ – 1)

= lado derecho

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 18. Si y = sin(sinx), prueba que (d ² y/dx ² ) + tanx.(dy/dx) + ycos ² x = 0

Solución:

Tenemos,

y = sin(senx)

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = cos(senx).cosx

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

d ² y/dx ² = -sen(senx).cosx.cosx – cos(senx).senx

d ² y/dx ² = -sen(senx).cos ² x – cos(senx).senx

d ² y/dx ² = -sen(senx).cos ² x – cos(senx).cosx.tanx

d ² y/dx ² = -y cos ² x – (dy/dx)tanx

d ² y/dx ² + ycos ² x + (dy/dx)tanx = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 19. Si x = sen t, y = sen pt, demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x.(dy/dx) + p ² y = 0

Solución:

Tenemos,

x = sen t, y y = sen pt

Al diferenciar ambos lados wrt t,

(dx/dt) = cos t, (dy/dt) = pcos pt

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = pcos pt×[1/cos t]

(dy/dx) = pcos pt/cos t

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-p^2sen pt.cos t+pcos pt.sint}{cos^2t}.\frac{dt}{dx}$

d ² y/dx ² = (-p ² sen pt.cos t + pcos pt.sen t)/cos ³ t

d ² y/dx ² = -(p ² sen pt)/cos ² t + (pcos pt.sen t)/cos ³ t

$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{p^2y}{cos^2t}+\frac{x\frac{dy}{dx}}{cos^2y}$

cos ² t(d ² y/dx ² ) = -p ² y + x(dy/dx)

(1 – sen ² x)(d ² y/dx ² ) + p ² y – x(dy/dx) = 0

(1 – y ² )(d ² y/dx ² ) + p ² y – x(dy/dx) = 0

Pregunta 20. Si y = (sin ^-1 x) ² , demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x.(dy/dx) + p ² y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = (sen ^-1 x) ² ,

Al diferenciar ambos lados wrt t,

$\frac{dy}{dx}=2sen^{-1}x.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2xsen^{-1}x}{(1-x^2)^\frac{3}{2}}+\frac{2}{1 -x^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2xsen^{-1}x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}+\frac{2}{1 -x^2}$

d ² y/dx ² = [x/(1 – x ² )](dy/dx) + 2/(1 – x ² )

(1 – x ² )d ² y/dx ² = x(dy/dx) + 2

(1 – x ² )d ² y/dx ² – x(dy/dx) – 2 = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 21. Si y = $e^{bronceado^{-1}x}$ , demuestre que (1 + x ² )y ₂ + (2x – 1)y ₁ = 0.

Solución:

Tenemos,

y = $e^{bronceado^{-1}x}$

Al diferenciar ambos lados wrt t,

y ₁ = $e^{bronceado^{-1}x}$ × [1/(1 + x ² )]

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

y ₂ = $e^{tan^{-1}x}\frac{1}{(1+x^2)^2}+e^{tan^{-1}x}\frac{-2x}{(1+x ^2)^2}$

(1 + x ² )y ₂ = $e^{bronceado^{-1}x}$ /(1 + x ² ) – 2x $e^{bronceado^{-1}x}$ /(1 + x ² )

(1 + x ² )y ₂ = (dy/dx) – 2x(dy/dx)

(1 + x ² )y ₂ – (dy/dx) + 2x(dy/dx) = 0

(1 + x ² )y ₂ + (2x – 1)(dy/dx) = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 22. Si y = 3cos(logx) + 4sin(logx), demuestre que x ² y ₂ + xy ₁ + y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = 3cos(logx) + 4sen(logx)

Al diferenciar ambos lados de x,

y ₁ = -3sen(logx) × (1/x) + 4cos(logx) × (1/x)

xy ₁ = -3sen(logx) + 4cos(logx)

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

xy ₂ + y ₁ = -3cos(logx)×(1/x) – 4sen(logx) × (1/x)

x ² y ₂ + xy ₁ = -[3cos(logx) + 4sen(logx)]

x ² y ₂ + xy ₁ = -y

x ² y ₂ + xy ₁ + y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 23. Si y = e ^2x (ax + b), demuestre que y ₂ – 4y ₁ + 4y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = e ^2x (ax + b)

Al diferenciar ambos lados con θ,

y ₁ = 2e ^2x (ax + b) + ae ^2x

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

y ₂ = 4e ^2x (ax + b) + 2ae ^2x + 2a.e ^2x

y ₂ = 4e ^2x (ax + b) + 4a.e ^2x

Tomemos LH,S,

= y ₂ – 4y ₁ + 4y

= 4e ^2x (ax + b) + 4a.e ^2x – 4[2e ^2x (ax + b) + ae ^2x ] + 4[e ^2x (ax + b)]

= 8e ^2x (ax + b) – 8e ^2x (ax + b) + 4a.e ^2x – 4a.e ^2x

= 0

= lado derecho

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 24. Si x = sen(logía/a), demuestre que (1 – x ² )y ₂ – xy ₁ – a ² y = 0.

Solución:

Tenemos,

x = sin(logía/a)

(logía/a) = sen ^-1 x

logía = asen ^-1 x

Al diferenciar ambos lados de x,

(1/y)y ₁ = a/√(1 – x ² )

y1 = ay/√(1 _–^x2 )

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

2 _años $=a[\frac{\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}-\frac{2xy}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}]$

(1 – x ² )y ₂ = a√(1 – x ² ) × y ₁ + axy/√(1 – x ² )

(1 – x ² )y ₂ = a√(1 – x ² ) × [ay/√(1 – x ² )] + x[ay/√(1 – x ² )]

(1 – x ² )y ₂ = a ² p + xy

(1 – x ² )y ₂ – a ² p – xy ₁ = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 25. Si logy = tan ^-1 x, demuestre que (1 + x ² )y ₂ + (2x – 1)y ₁ = 0.

Solución:

Tenemos,

logía = tan ^-1 x

Al diferenciar ambos lados con θ,

(1/y)y ₁ = 1/(1 + x ² )

(1 + x ² ) y ₁ = y

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

2xy ₁ + (1 + x ² ) y ₂ = y ₁

(1 + x ² )y ₂ + (2x – 1)y ₁ = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 26. Si y = tan ^-1 x, demuestre que (1 + x ² )(d ² y/dx ² ) + 2x(dy/dx) = 0.

Solución:

Tenemos,

y = bronceado ^-1 x

Al diferenciar ambos lados de x,

(dy/dx) = 1/(1 + x ² )

Nuevamente diferenciando ambos lados con x,

re ² y/dx ² = [-1/(1 + x ² ) ² ] × (2x)

re ² y/dx ² = [-2x/(1 + x ² ) ² ]

(1 + x ² )(d ² y/dx ² ) = -2x/(1 + x ² )

(1 + x ² )(d ² y/dx ² ) = -2x(dy/dx)

(1 + x ² )(d ² y/dx ² ) + 2x(dy/dx) = 0

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Derivadas de orden superior – Ejercicio 12.1 | Serie 1

Encuentre la derivada de segundo orden de la siguiente función

Pregunta 1(i). x ³ + tangente

Pregunta 1(ii). pecado(logx)

Pregunta 1(iii). registro (senx)

Pregunta 1(iv). e ^x sen5x

Pregunta 1(v). e ^6x cos3x

Pregunta 1 (vi). x ³ logx

Pregunta 1 (vii). bronceado ^-1x _

Pregunta 1 (viii). x.cosx

Pregunta 1(ix). registro(logx)

Pregunta 2. Si y = e ^-x .cosx, demuestre que d ² y/dx ² = 2e ^-x .senx.

Pregunta 3. Si y = x + tanx, demuestre que cos ² x(d ² y/dx ² ) – 2y + 2x = 0.

Pregunta 4. Si y = x ³ logx, demuestre que (d ⁴ y/dx ⁴ ) = (6/x).

Pregunta 5. Si y = log(senx), prueba que (d ³ y/dx ³ ) = 2cosx.cosec ³ x.

Pregunta 6. Si y = 2senx + 3cosx, demuestre que (d ² y/dx ² ) + y = 0.

Pregunta 7. Si y = (logx/x), demuestre que (d ² y/dx ² ) = (2logx – 3)/x ³

Pregunta 8. Si x = a secθ, y = b tanθ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -b ⁴ /a ² y ³

Pregunta 9. Si x = a(cost + tsint) y y = a(sint – tcost), demuestre que d ² y/dx ² = sec ³ t/ at 0 < t <

Pregunta 10. Si y = e ^x cosx, demuestre que d ² y/dx ² = 2e ^x cos(x + π/2).

Pregunta 11. Si x = a cosθ, y = b sinθ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -b ⁴ /a ² y ³

Pregunta 12. Si x = a(1 – cos ³ θ), y = a sen ³ θ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = 32/27a, en θ = π/6.

Pregunta 13. Si x = a(θ + senθ), y = a(1 + cosθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -(a/y ² ).

Pregunta 14. Si x = a(θ – senθ), y = a(1 + cosθ), hallar (d ² y/dx ² ).

Pregunta 15. Si x = a(1 – cosθ), y = a(θ + sinθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -1/a en θ = π/2.

Pregunta 16. Si x = a(1 + cosθ), y = a(θ + sinθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -1/a en θ = π/2.

Pregunta 17. Si x = cosθ, y = sen ³ θ, demuestre que y(d ² y/dx ² ) + (dy/dx) ² = 3sen ² θ(5cos ² θ – 1).

Pregunta 18. Si y = sin(sinx), prueba que (d ² y/dx ² ) + tanx.(dy/dx) + ycos ² x = 0

Pregunta 19. Si x = sen t, y = sen pt, demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x.(dy/dx) + p ² y = 0

Pregunta 20. Si y = (sin ^-1 x) ² , demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x.(dy/dx) + p ² y = 0.

Pregunta 21. Si y = $e^{bronceado^{-1}x}$ , demuestre que (1 + x ² )y ₂ + (2x – 1)y ₁ = 0.

Pregunta 22. Si y = 3cos(logx) + 4sin(logx), demuestre que x ² y ₂ + xy ₁ + y = 0.

Pregunta 23. Si y = e ^2x (ax + b), demuestre que y ₂ – 4y ₁ + 4y = 0.

Pregunta 24. Si x = sen(logía/a), demuestre que (1 – x ² )y ₂ – xy ₁ – a ² y = 0.

Pregunta 25. Si logy = tan ^-1 x, demuestre que (1 + x ² )y ₂ + (2x – 1)y ₁ = 0.

Pregunta 26. Si y = tan ^-1 x, demuestre que (1 + x ² )(d ² y/dx ² ) + 2x(dy/dx) = 0.

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Encuentre la derivada de segundo orden de la siguiente función

Pregunta 1(i). x 3 + tangente

Pregunta 1(ii). pecado(logx)

Pregunta 1(iii). registro (senx)

Pregunta 1(iv). e x sen5x

Pregunta 1(v). e 6x cos3x

Pregunta 1 (vi). x 3 logx

Pregunta 1 (vii). bronceado -1x _

Pregunta 1 (viii). x.cosx

Pregunta 1(ix). registro(logx)

Pregunta 2. Si y = e -x .cosx, demuestre que d 2 y/dx 2 = 2e -x .senx.

Pregunta 3. Si y = x + tanx, demuestre que cos 2 x(d 2 y/dx 2 ) – 2y + 2x = 0.

Pregunta 4. Si y = x 3 logx, demuestre que (d 4 y/dx 4 ) = (6/x).

Pregunta 5. Si y = log(senx), prueba que (d 3 y/dx 3 ) = 2cosx.cosec 3 x.

Pregunta 6. Si y = 2senx + 3cosx, demuestre que (d 2 y/dx 2 ) + y = 0.

Pregunta 7. Si y = (logx/x), demuestre que (d 2 y/dx 2 ) = (2logx – 3)/x 3

Pregunta 8. Si x = a secθ, y = b tanθ, demuestre que (d 2 y/dx 2 ) = -b 4 /a 2 y 3

Pregunta 9. Si x = a(cost + tsint) y y = a(sint – tcost), demuestre que d 2 y/dx 2 = sec 3 t/ at 0 < t <

Pregunta 10. Si y = e x cosx, demuestre que d 2 y/dx 2 = 2e x cos(x + π/2).

Pregunta 11. Si x = a cosθ, y = b sinθ, demuestre que (d 2 y/dx 2 ) = -b 4 /a 2 y 3

Pregunta 12. Si x = a(1 – cos 3 θ), y = a sen 3 θ, demuestre que (d 2 y/dx 2 ) = 32/27a, en θ = π/6.

Pregunta 13. Si x = a(θ + senθ), y = a(1 + cosθ), demuestre que (d 2 y/dx 2 ) = -(a/y 2 ).

Pregunta 14. Si x = a(θ – senθ), y = a(1 + cosθ), hallar (d 2 y/dx 2 ).

Pregunta 15. Si x = a(1 – cosθ), y = a(θ + sinθ), demuestre que (d 2 y/dx 2 ) = -1/a en θ = π/2.

Pregunta 16. Si x = a(1 + cosθ), y = a(θ + sinθ), demuestre que (d 2 y/dx 2 ) = -1/a en θ = π/2.

Pregunta 17. Si x = cosθ, y = sen 3 θ, demuestre que y(d 2 y/dx 2 ) + (dy/dx) 2 = 3sen 2 θ(5cos 2 θ – 1).

Pregunta 18. Si y = sin(sinx), prueba que (d 2 y/dx 2 ) + tanx.(dy/dx) + ycos 2 x = 0

Pregunta 19. Si x = sen t, y = sen pt, demuestre que (1 – x 2 )(d 2 y/dx 2 ) – x.(dy/dx) + p 2 y = 0

Pregunta 20. Si y = (sin -1 x) 2 , demuestre que (1 – x 2 )(d 2 y/dx 2 ) – x.(dy/dx) + p 2 y = 0.

Pregunta 21. Si y = , demuestre que (1 + x 2 )y 2 + (2x – 1)y 1 = 0.

Pregunta 22. Si y = 3cos(logx) + 4sin(logx), demuestre que x 2 y 2 + xy 1 + y = 0.

Pregunta 23. Si y = e 2x (ax + b), demuestre que y 2 – 4y 1 + 4y = 0.

Pregunta 24. Si x = sen(logía/a), demuestre que (1 – x 2 )y 2 – xy 1 – a 2 y = 0.

Pregunta 25. Si logy = tan -1 x, demuestre que (1 + x 2 )y 2 + (2x – 1)y 1 = 0.

Pregunta 26. Si y = tan -1 x, demuestre que (1 + x 2 )(d 2 y/dx 2 ) + 2x(dy/dx) = 0.

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Pregunta 1(i). x ³ + tangente

Pregunta 1(iv). e ^x sen5x

Pregunta 1(v). e ^6x cos3x

Pregunta 1 (vi). x ³ logx

Pregunta 1 (vii). bronceado ^-1x _

Pregunta 2. Si y = e ^-x .cosx, demuestre que d ² y/dx ² = 2e ^-x .senx.

Pregunta 3. Si y = x + tanx, demuestre que cos ² x(d ² y/dx ² ) – 2y + 2x = 0.

Pregunta 4. Si y = x ³ logx, demuestre que (d ⁴ y/dx ⁴ ) = (6/x).

Pregunta 5. Si y = log(senx), prueba que (d ³ y/dx ³ ) = 2cosx.cosec ³ x.

Pregunta 6. Si y = 2senx + 3cosx, demuestre que (d ² y/dx ² ) + y = 0.

Pregunta 7. Si y = (logx/x), demuestre que (d ² y/dx ² ) = (2logx – 3)/x ³

Pregunta 8. Si x = a secθ, y = b tanθ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -b ⁴ /a ² y ³

Pregunta 9. Si x = a(cost + tsint) y y = a(sint – tcost), demuestre que d ² y/dx ² = sec ³ t/ at 0 < t <

Pregunta 10. Si y = e ^x cosx, demuestre que d ² y/dx ² = 2e ^x cos(x + π/2).

Pregunta 11. Si x = a cosθ, y = b sinθ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -b ⁴ /a ² y ³

Pregunta 12. Si x = a(1 – cos ³ θ), y = a sen ³ θ, demuestre que (d ² y/dx ² ) = 32/27a, en θ = π/6.

Pregunta 13. Si x = a(θ + senθ), y = a(1 + cosθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -(a/y ² ).

Pregunta 14. Si x = a(θ – senθ), y = a(1 + cosθ), hallar (d ² y/dx ² ).

Pregunta 15. Si x = a(1 – cosθ), y = a(θ + sinθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -1/a en θ = π/2.

Pregunta 16. Si x = a(1 + cosθ), y = a(θ + sinθ), demuestre que (d ² y/dx ² ) = -1/a en θ = π/2.

Pregunta 17. Si x = cosθ, y = sen ³ θ, demuestre que y(d ² y/dx ² ) + (dy/dx) ² = 3sen ² θ(5cos ² θ – 1).

Pregunta 18. Si y = sin(sinx), prueba que (d ² y/dx ² ) + tanx.(dy/dx) + ycos ² x = 0

Pregunta 19. Si x = sen t, y = sen pt, demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x.(dy/dx) + p ² y = 0

Pregunta 20. Si y = (sin ^-1 x) ² , demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x.(dy/dx) + p ² y = 0.

Pregunta 21. Si y = $e^{bronceado^{-1}x}$ , demuestre que (1 + x ² )y ₂ + (2x – 1)y ₁ = 0.

Pregunta 22. Si y = 3cos(logx) + 4sin(logx), demuestre que x ² y ₂ + xy ₁ + y = 0.

Pregunta 23. Si y = e ^2x (ax + b), demuestre que y ₂ – 4y ₁ + 4y = 0.

Pregunta 24. Si x = sen(logía/a), demuestre que (1 – x ² )y ₂ – xy ₁ – a ² y = 0.

Pregunta 25. Si logy = tan ^-1 x, demuestre que (1 + x ² )y ₂ + (2x – 1)y ₁ = 0.

Pregunta 26. Si y = tan ^-1 x, demuestre que (1 + x ² )(d ² y/dx ² ) + 2x(dy/dx) = 0.