Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 33 Distribución binomial – Ejercicio 33.2

Pregunta 1. ¿Puede la media de una distribución binomial ser menor que su varianza?

Solución:

Sea np la media y npq la varianza de una distribución binomial.

Asi que,

Media – Varianza = np – npq

Media – Varianza = np (1 – q)

Media – Varianza = np.p

Media – Varianza = np ²

Como n nunca puede ser un número negativo y

p ² siempre será un número positivo, por lo que np ² > 0

Después,

Media – Varianza > 0

Media > Varianza

Por lo tanto, la media de una distribución binomial nunca puede ser menor que su varianza.

Pregunta 2. Determinar la distribución binomial cuya media es 9 y varianza 9/4.

Solución:

Nos dan la media (np) = 9 y la varianza (npq) = 9/4.

Resolviendo para el valor de q, obtendremos

q = $\frac{\frac{9}{4}}{9} = \frac{1}{4}$

Sabemos, la relación p + q = 1

Entonces, p = 1 – (1/4) = 3/4 -(1)

Ya que, np = 9

Entonces, pon el valor de p de la ecuación (1), obtenemos

n.(3/4) = 9

norte = 12

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ¹² C _r (3/4) ^r (1/4) ^12-r para r = 0,1,2,3,4,….,12

Pregunta 3. Si la media y la varianza de una distribución binomial son respectivamente 9 y 6, encuentre la distribución.

Solución:

Nos dan la media, np = 9 y la varianza npq = 6.

Resolviendo para el valor de q, obtendremos

q = 6/9 = 2/3

Sabemos, la relación p + q = 1

p = 1 – (2/3) = 1/3 -(1)

Ya que, np = 9

Entonces, pon el valor de p de la ecuación (1), obtenemos

n.(1/3) = 9

norte = 27

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ²⁷ C _r (1/3) ^r (2/3) ^27-r para r = 0,1,2,3,4,…,27

Pregunta 4. Encuentra la distribución binomial cuando la suma de su media y varianza para 5 intentos es 4.8.

Solución:

Dado n = 5 y np + npq = 4.8

np (1 + q) = 4,8

5p (1 + 1 – p) = 4,8

10p -5p ² = 4,8

50p ² – 100p + 48 = 0

Resolviendo para el valor de p obtenemos

p = 6/5 o p = 4/5

Como el valor de p no puede exceder de 1, consideraremos p = 4/5.

Por lo tanto, q = 1 – 4/5 = 1/5

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ⁵ C _r (4/5) ^r (1/5) ^5-r para r = 0,1,2,….,5

Pregunta 5. Determinar la distribución binomial cuya media es 20 y varianza 16.

Solución:

Nos dan la media, np = 20 y la varianza npq = 16.

Resolviendo para el valor de q, obtendremos

q = 16/20 = 4/5

Sabemos, la relación p + q = 1

p = 1 – 4/5 = 1/5 -(1)

Ya que, np = 20

Entonces, pon el valor de p de la ecuación (1), obtenemos

n.(1/5) = 20

n = 100

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ¹⁰⁰ C _r (1/5) ^r (4/5) ^100-r para r = 0,1,2,3,4,…,100

Pregunta 6. En una distribución binomial, la suma y el producto de la media y la varianza son 25/3 y 50/3 respectivamente. Encuentre la distribución.

Solución:

Nos dan suma, np + npq = 25/3

np(1 + q) = 25/3 -(1)

Producto, np x npq = 50/3 -(2)

Dividiendo la ecuación (2) por la ecuación (1), obtenemos

$\frac{np(npq)}{np(1+q)}$ = (50/3) × 3/25

npq = 2 (1 + q)

np(1 – p) = 2(2 – p)

np = $\frac{2(2-p)}{1-p}$ -(3)

Al sustituir el valor de la ecuación (3) en la relación np + npq = 25/3, obtenemos

$\frac{2(2-p)}{1-p} + \frac{2(2-p)}{1-p}.q$ = 25/3

$\frac{2(2-p)}{1-p} + \frac{2(2-p)}{1-p}$ . (1 – p) = 25/3

$\frac{2(2-p)}{1-p} + \frac{2(2-p)}{1-p}$ (1 + 1 – p) = 25/3

$\frac{2(2-p)}{1-p}$ (2 – p) = 25/3

6p ² + p – 1 = 0

Al resolver para el valor de p, obtendremos p = 1/3, por lo tanto q = 2/3

Ahora, poniendo valor de p y q en la relación np + npq = 25/3

n.(1/3)(1 + (2/3)) = 25/3

n = 15

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ¹⁵ C _r (1/3) ^r (2/3) ^15-r para r = 0,1,2,3,4,…,15

Pregunta 7. La media de una distribución binomial es 20 y la desviación estándar 4. Calcula los parámetros de la distribución binomial.

Solución:

Nos dan la media, np = 20 -(1)

Desviación estándar, √npq = 4

npq = 16 -(2)

Al dividir la ecuación (ii) por la ecuación (i), obtenemos

q = 4/5

Por lo tanto, p = 1 – q = 1 – 4/5 = 1/5

Ahora, como np = 20

n = 20 x 5 = 100

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ¹⁰⁰ C _r (1/5) ^r (4/5) ^100-r para r = 0,1,2,3,4,…,100

Pregunta 8. Si la probabilidad de un perno defectuoso es 0.1, encuentre (i) la media y (ii) la desviación estándar para la distribución de pernos en un total de 400 pernos.

Solución:

Nos dan n = 400 y q = 0.1, por lo tanto p = 0.9

(i) Media = np = 400 × 0,9 = 360

(ii) Desviación estándar = √npq =√(400 × 0,9 ×0,1) = 6

Pregunta 9. Encuentra la distribución binomial cuya media es 5 y varianza 10/3.

Solución:

Nos dan la media, np = 5 y la varianza npq = 10/3.

Resolviendo para el valor de q, obtendremos

q = $\frac{\frac{10}{3}}{5}$ = 2/3

Sabemos, la relación p + q = 1

p = 1 – (2/3) = 1/3

Ya que, np = 5

n.(1/3) = 5

n = 15

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ¹⁵ C _r (1/3) ^r (2/3) ^15-r para r = 0,1,2,3,4,…,15

Pregunta 10. Si en promedio 9 de cada 10 barcos llegan a salvo a los puertos, encuentre la media y la SD de los barcos que regresan a salvo de un total de 500 barcos.

Solución:

Nos dan n = 500,

p = 9/10 y por lo tanto q = 1/10

Por lo tanto, media = np = 500 × 0,9 = 450

Desviación estándar = √npq = √(450 × 0,1) = 6,71

Pregunta 11. La media y la varianza de una variable binomial con parámetros n y p son 16 y 8, respectivamente. Encuentre P(X = 0), P(X = 1) y P(X ≥ 2).

Solución:

Nos dan, media (np) = 16 y varianza (npq) = 8

q = 8/16 = 1/2

Por lo tanto, p = 1 – 1/2 = 1/2

Poniendo el valor de p en la relación, np = 16

n = 16 x 2 = 32

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P (x = r) = ³² C _r (1/2) ^r (1/2) ^32-r para r = 0,1,2,3,4,…,32

Ahora, P(X = 0) = ³² C ₀ (1/2) ³² = (1/2) ³²

De manera similar, P(X = 1) = ³² C ₁ (1/2) ¹ (1/2) ³¹ = 32 × (1/2) ³¹

Además, P(X ≥ 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

1 – (1/2) ³² – 32 × (1/2) ³²

1 – $\frac{33}{2^{32}}$

Pregunta 12. En ocho lanzamientos de un dado, 5 o 6 se considera un éxito. Encuentre el número medio de éxitos y la desviación estándar.

Solución:

Nos dan n = 8 y p = 2/6 = 1/3 por lo tanto q = 2/3

Ahora, media = np = 8 ×(1/3) = 8/3 y

Desviación estándar √npq = $\sqrt{8×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}}$ = 4/3

Pregunta 13. Encuentre el número esperado de niños en una familia con 8 hijos, suponiendo que la distribución por sexo sea igualmente probable.

Solución:

Nos dan n = 8 y la probabilidad de tener un niño o una niña es igual, entonces p = 1/2 y q = 1/2

Por lo tanto, el número esperado de niños en una familia = np = 8 × 0,5 = 4

Pregunta 14. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Un envío de 10.000 artículos se envía a su almacén. Encuentre el número esperado de artículos defectuosos y la desviación estándar.

Solución:

Nos dan n = 10,000, también p = 0.02 por lo tanto, q = 1 – 0.02 = 0.98

Ahora, el número esperado de artículos defectuosos = np = 10000 × 0.02 = 200

La desviación estándar = √npq = $\sqrt{10000×0.02×0.98}$ = √196 = 14

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por saurabh48782 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 33 Distribución binomial – Ejercicio 33.2 | Serie 1

Pregunta 1. ¿Puede la media de una distribución binomial ser menor que su varianza?

Pregunta 2. Determinar la distribución binomial cuya media es 9 y varianza 9/4.

Pregunta 3. Si la media y la varianza de una distribución binomial son respectivamente 9 y 6, encuentre la distribución.

Pregunta 4. Encuentra la distribución binomial cuando la suma de su media y varianza para 5 intentos es 4.8.

Pregunta 5. Determinar la distribución binomial cuya media es 20 y varianza 16.

Pregunta 6. En una distribución binomial, la suma y el producto de la media y la varianza son 25/3 y 50/3 respectivamente. Encuentre la distribución.

Pregunta 7. La media de una distribución binomial es 20 y la desviación estándar 4. Calcula los parámetros de la distribución binomial.

Pregunta 8. Si la probabilidad de un perno defectuoso es 0.1, encuentre (i) la media y (ii) la desviación estándar para la distribución de pernos en un total de 400 pernos.

Pregunta 9. Encuentra la distribución binomial cuya media es 5 y varianza 10/3.

Pregunta 10. Si en promedio 9 de cada 10 barcos llegan a salvo a los puertos, encuentre la media y la SD de los barcos que regresan a salvo de un total de 500 barcos.

Pregunta 11. La media y la varianza de una variable binomial con parámetros n y p son 16 y 8, respectivamente. Encuentre P(X = 0), P(X = 1) y P(X ≥ 2).

Pregunta 12. En ocho lanzamientos de un dado, 5 o 6 se considera un éxito. Encuentre el número medio de éxitos y la desviación estándar.

Pregunta 13. Encuentre el número esperado de niños en una familia con 8 hijos, suponiendo que la distribución por sexo sea igualmente probable.

Pregunta 14. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Un envío de 10.000 artículos se envía a su almacén. Encuentre el número esperado de artículos defectuosos y la desviación estándar.

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