Clase 12 RD Sharma Solutions- Capítulo 5 Álgebra de Arrays – Ejercicio 5.5

Pregunta 1: $If\ A=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix},\ prove\ that\ A-A^T\ is\ a\ skew-symmetric\ matrix.$

Solución:

Dado:

$If\ A=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix},\ that\ A-A^T\ is\ a\ skew-symmetric\ matrix.$

Considerar,

$(A-A^T)=\left(\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}^T\right)\\ =\left(\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}\right)\\ =\begin{bmatrix}2-2&3-4\\4-3&5-5\end{bmatrix}\\ (A-A^T)=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}---(equation\ 1)\\ -(A-A^T)^T=-\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}^T\\ =-\begin{bmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\\ -(A-A^T)=\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}---(equation\ 2)$

De la ecuación (1) y (2) se puede ver que,

Una array asimétrica es una array cuadrada cuya transpuesta es igual a su negativa, es decir,

X = −X ^T

Entonces, A − A ^T es un sesgo simétrico.

Pregunta 2: $If \ A=\begin{bmatrix}3 & -4\\1 & -1\end{bmatrix},\ show\ that\ A-A^T\ is\ a\ skew-symmetric\ matrix.$

Solución:

Dado:

$If \ A=\begin{bmatrix}3 & -4\\1 & -1\end{bmatrix},\ that\ A-A^T\ is\ a\ skew-symmetric\ matrix.$

Considerar,

$(A-A^T)=\begin{bmatrix}0 & -5\\5 & 0\end{bmatrix}---(equation\ 1)\\ -(A-A^T)^T=-\begin{bmatrix}0 & -5\\5 & 0\end{bmatrix}^T\\ =-\begin{bmatrix}0 & 5\\-5 & 0\end{bmatrix}\\ -(A-A^T)=\begin{bmatrix}0 & -5\\5 & 0\end{bmatrix}---(equation\ 2)$

De la ecuación (1) y (2) se puede ver,

Una array asimétrica es una array cuadrada cuya transpuesta es igual a su negativa, es decir,

X = −X ^T

Por lo tanto, A − A ^T es una array asimétrica.

Pregunta 3: $If\ the\ matrix\ A=\begin{bmatrix}5 & 2 & x\\y & z & -3\\4 & t & -7\end{bmatrix},\ is\ a\ symmetric\ matrix\ find\ x,\ y,\ z\ and\ t$

Solución:

Dado:

$A=\begin{bmatrix}5 & 2 & x\\y & z & -3\\4 & t & -7\end{bmatrix}is\ a\ symmetric\ matix.$

Como sabemos que A = [a _ij ] _m×n es una array simétrica si a _ij = a _ji

De este modo,

x = un ₁₃ = un ₃₁ = 4

y = un ₂₁ = un ₁₂ = 2

z = un ₂₂ = un ₂₂ = z

t = un ₃₂ = un ₂₃ = −3

Por lo tanto, x = 4, y = 2, t = −3 y z pueden tener cualquier valor.

Pregunta 4: $Let\ A=\begin{bmatrix}3 & 2 & 7\\1 & 4 & 3\\-2 & 5 & 8\end{bmatrix},\ Find\ arrays\ X\ and\ Y\ such\ that\ X+Y=A,\ where\ X\ is\ a\ symmetric\ and\ y\ is\ a\ skew-symmetric\ matrix.$

Solución:

Dado:

$A=\begin{bmatrix}3 & 2 & 7\\1 & 4 & 3\\-2 & 5 & 8\end{bmatrix}then\\ A=\begin{bmatrix}3 & 1 & -2\\2 & 4 & 5\\7 & 3 & 8\end{bmatrix}\\ X=\frac{1}{2}(A+A^T)\\ =\frac{1}{2}\left(\begin{bmatrix}3 & 2 & 7\\1 & 4 & 3\\-2 & 5 & 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 1 & -2\\2 & 4 & 5\\7 & 3 & 8\end{bmatrix}\right)\\ =\frac{1}{2}\begin{bmatrix}3+3 & 2+1 & 7-2\\1+2 & 4+4 & 3+5\\-2+7 & 5+3 & 8+8\end{bmatrix}\\ =\frac{1}{2}\begin{bmatrix}6 & 3 & 5\\3 & 8 & 8\\5 & 8 & 16\end{bmatrix}\\ X=\begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{3}{2} & 4 & 4\\\frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix}\\ Now,\\ Y=\frac{1}{2}(A-A^T)\\ =\frac{1}{2}\left(\begin{bmatrix}3 & 2 & 7\\1 & 4 & 3\\-2 & 5 & 8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3 & 1 & -2\\2 & 4 & 5\\7 & 3 & 8\end{bmatrix}\right)\\ =\frac{1}{2}\begin{bmatrix}3-3 & 2-1 & 7+2\\1-2 & 4-4 & 3-5\\-2-7 & 5-3 & 8-8\end{bmatrix}\\ =\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & 1 & 9\\-1 & 0 & -2\\-9 & 2 & 0\end{bmatrix}\\ Y=\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2}\\-\frac{1}{2} & 0 & -1\\-\frac{9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix}\\ Now,\\ X^T=\begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{3}{2} & 4 & 4\\\frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix}^T =\begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{3}{2} & 4 & 4\\\frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix}=X\\ X\ is\ a\ symmetric\ martix\\ Now,\\ -Y^T=-\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2}\\-\frac{1}{2} & 0 & -1\\-\frac{9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix}^T=-\begin{bmatrix}0 & -\frac{1}{2} & -\frac{9}{2}\\\frac{1}{2} & 0 & 1\\\frac{9}{2} & -1 & 0\end{bmatrix}\\ -Y^T=\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2}\\-\frac{1}{2} & 0 & -1\\-\frac{9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix}\\ -Y^T=Y\\ Y\ is\ a\ skew\ symmetric\ matrix.\\ X+Y=\begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{3}{2} & 4 & 4\\\frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2}\\-\frac{1}{2} & 0 & -1\\-\frac{9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix}3+0 & \frac{3}{2}+\frac{1}{2} & \frac{5}{2}+\frac{9}{2}\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2} & 4+0 & 4-1\\\frac{5}{2}-\frac{9}{2} & 4+1 & 8+0\end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix}3 & 2 & 7\\1 & 4 & 3\\-2 & 5 & 8\end{bmatrix}=A\\ Hence, X+Y = A$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:

Pregunta 4:

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Pregunta 1: $If\ A=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix},\ prove\ that\ A-A^T\ is\ a\ skew-symmetric\ matrix.$

Pregunta 2: $If \ A=\begin{bmatrix}3 & -4\\1 & -1\end{bmatrix},\ show\ that\ A-A^T\ is\ a\ skew-symmetric\ matrix.$

Pregunta 3: $If\ the\ matrix\ A=\begin{bmatrix}5 & 2 & x\\y & z & -3\\4 & t & -7\end{bmatrix},\ is\ a\ symmetric\ matrix\ find\ x,\ y,\ z\ and\ t$

Pregunta 4: $Let\ A=\begin{bmatrix}3 & 2 & 7\\1 & 4 & 3\\-2 & 5 & 8\end{bmatrix},\ Find\ arrays\ X\ and\ Y\ such\ that\ X+Y=A,\ where\ X\ is\ a\ symmetric\ and\ y\ is\ a\ skew-symmetric\ matrix.$