Pregunta 1: Evalúa lo siguiente:
(yo) yo 457
(ii) yo 528
(iii) 1/i 58
(iv) i 37 + 1/i 67
(v) [i 41 + 1/i 257 ] 9
(vi) (i 77 + i 70 + i 87 + i 414 ) 3
(vii) yo 30 + yo 40 + yo 60
(viii) yo 49 + yo 68 + yo 89 + yo 110
Solución:
Sabemos que i = √-1
yo 2 = -1
yo 3 = -yo
yo 4 = 1
(yo) yo 457
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 457 entre 4, obtenemos
Al dividir 457 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 114 y el resto (q) como 1
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos.
yo 457 = yo 4(114) + 1
yo 457 = yo 4(114) × yo
i 457 = (1) 114 × i [Como i 4 = 1, entonces 1 114 = 1]
yo 457 = yo
(ii) yo 528
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 528 entre 4, obtenemos
Al dividir 528 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 132 y el resto (q) como 0
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos.
yo 528 = yo 4(132)
i 528 = (1) 132 [Como i 4 = 1, por lo tanto 1 132 = 1]
yo 528 = 1
(iii) 1/ i 58
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 58 entre 4, obtenemos
Al dividir 58 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 14 y el resto (q) como 2
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i4p+q obtenemos.
1/ yo 58 = 1/ yo 4(14) + 2
1/ i 58 = 1/ i 4(14) × i 2 [Como i 4 = 1, entonces 1 14 = 1]
1/ i 58 = 1/ i 2 [ya que i 2 = -1]
1/ yo 58 = 1/-1
1/ yo 58 = -1
(iv) i 37 + 1/i 67
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 37 y 67 entre 4, obtenemos
Al dividir 37 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 9 y el resto (q) como 1
Al dividir 67 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 16 y el resto (q) como 3
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos.
i 37 + 1/i 67 = i 4(9)+1 + 1/ i 4(16)+3
= yo 4(9) ×i + 1/ yo 4(16) ×i 3
= i + 1/i 3 [Como, i 4 = 1]
Multiplicando numerador y denominador por i, obtenemos
= yo + yo/yo 4
= yo + yo
37 + 1/67 = 2i
(v) [i 41 + 1/i 257 ] 9
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 41 y 257 entre 4, obtenemos
Al dividir por 4 obtenemos el cociente (p) como 10 y el resto (q) como 1
Al dividir 257 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 64 y el resto (q) como 1
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
[i 41 + 1/i 257 ] = [i 4(10)+1 + 1/ i 4(64)+1 ] 9
= [ yo 4(10) ×i + 1/ yo 4(64) ×i ] 9
= [i + 1/i] 9 [Como, i 4 = 1 y 1/i = -1]
= [yo – yo] 9
= 0
(vi) (i 77 + i 70 + i 87 + i 414 ) 3
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 77, 70, 87 y 414 entre 4, obtenemos
Al dividir 77 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 19 y el resto (q) como 1.
Al dividir 70 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 17 y el resto (q) como 2.
Al dividir 87 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 21 y el resto (q) como 3.
Al dividir 414 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 103 y el resto (q) como 2.
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
(i 77 + i 70 + i 87 + i 414 ) 3 = (i 4(17)+ 1 + i 4(21) + 2 + i 4(21) + 3 + i 4(103) + 2 ) 3
= (yo 4(17) × yo + yo 4(21) × yo 2 + yo 4(21) × yo 3 + yo 4(103) × yo 2 ) 3 [Como, yo 4 = 1 ]
= (yo + yo 2 + yo 3 + yo 2 ) 3 [Como, yo 3 = – yo, yo 2 = – 1]
= (yo + (– 1) + (– yo) + (– 1)) 3
= (– 2) 3
= – 8
(vii) yo 30 + yo 40 + yo 60
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 30, 40 y 60 entre 4, obtenemos
Al dividir 30 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 7 y el resto (q) como 2.
Al dividir 40 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 10 y el resto (q) como 0.
Al dividir 60 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 15 y el resto (q) como 0.
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
yo 30 + yo 40 + yo 60 = yo 4(7) + 2 + yo 4(10) + yo 4(15)
= yo 4(7) × yo 2 + yo 4(10) + yo 4(15)
= i 2 + 1 10 + 1 15 [Como, i 4 = 1 y i 2 = -1]
= – 1 + 1 + 1
= 1
(viii) yo 49 + yo 68 + yo 89 + yo 110
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 49, 68, 89 y 110 entre 4, obtenemos
Al dividir 49 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 12 y el resto (q) como 1.
Al dividir 68 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 17 y el resto (q) como 0.
Al dividir 89 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 22 y el resto (q) como 1.
Al dividir 110 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 27 y el resto (q) como 2.
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
yo 49 + yo 68 + yo 89 + yo 110 = yo 4(12) + 1 + yo 4(17) + yo 4(22) + 1 + yo 4(27) + 2
= yo 4(12) × yo + yo 4(17) + yo 4(22) × yo + yo 4(27) × yo 2
= yo + 1 + yo – 1 [Como, i4 = 1]
= 2i
Pregunta 2: ¿Demuestra que 1 + i 10 + i 20 + i 30 es un número real?
Solución:
Dado: 1 + i 10 + i 20 + i 30
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 10, 20 y 30 entre 4, obtenemos
Al dividir 10 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 2 y el resto (q) como 2.
Al dividir 20 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 5 y el resto (q) como 0.
Al dividir 30 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 7 y el resto (q) como 2.
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
1 + yo 10 + yo 20 + yo 30 = 1 + yo 4(2) + 2 + yo 4(5) + yo 4(7) + 2
= 1 + yo 4(2) × yo 2 + yo 4(5) + yo 4(7) × yo 2
= 1 – 1 + 1 – 1 [Como, yo 4 = 1, yo 2 = – 1]
= 0
Por lo tanto, 1 + i 10 + i 20 + i 30 = 0, y 0 es un número real.
Pregunta 3: Encuentra los valores de las siguientes expresiones:
(i) yo 49 + yo 68 + yo 89 + yo 110
(ii) yo 30 + yo 80 + yo 120
(iii) yo + yo 2 + yo 3 + yo 4
(iv) yo 5 + yo 10 + yo 15
(v) [i 592 + i 590 + i 588 + i 586 + i 584 ]/[i 582 + i 580 + i 578 + i 576 + i 574 ]
(vi) 1 + yo 2 + yo 4 + yo 6 + yo 8 + … + yo 20
(vii) (1 + i) 6 + (1 – i) 3
Solución:
(i) yo 49 + yo 68 + yo 89 + yo 110
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 49, 68, 89 y 110 entre 4, obtenemos
Al dividir 49 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 12 y el resto (q) como 1.
Al dividir 68 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 17 y el resto (q) como 0
Al dividir 89 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 22 y el resto (q) como 1.
Al dividir 110 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 27 y el resto (q) como 2.
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
yo 49 + yo 68 + yo 89 + yo 110 = yo 4(12) + 1 + yo 4(17) + yo 4(22) + 1 + yo 4(27) + 2
= yo 4(12) × yo + yo 4(17) + yo 4(22) × yo + yo 4(27) × yo 2
= yo + 1 + yo – 1 [Como, i4 = 1]
= 2i
Por lo tanto, i 49 + i 68 + i 89 + i 110 = 2i
(ii) yo 30 + yo 80 + yo 120
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 30, 80 y 120 entre 4, obtenemos
Al dividir 30 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 7 y el resto (q) como 2.
Al dividir 80 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 20 y el resto (q) como 0.
Al dividir 120 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 30 y el resto (q) como 0.
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
i 30 + i 80 + i 120 = i4(7) + 2 + i4(20) + i4(30)
= yo 4(7) × yo 2 + yo 4(20) + yo 4(30)
= – 1 + 1 + 1 [Como, yo 4 = 1, yo 2 = – 1]
= 1
Por lo tanto, i 30 + i 80 + i 120 = 1
(iii) yo + yo 2 + yo 3 + yo 4
yo + yo 2 + yo 3 + yo 4 = yo + yo 2 + yo 2+1 + yo 4
= yo + yo 2 + yo 2 ×i + i4
= yo – 1 + (– 1) × yo + 1 [Como yo 4 = 1, yo 2 = – 1]
= yo – 1 – yo + 1
= 0
Por lo tanto, yo + yo 2 + yo 3 + yo 4 = 0
(iv) yo 5 + yo 10 + yo 15
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, dividimos 5, 10 y 10 por 4, obtenemos
Al dividir 5 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 1 y el resto (q) como 1.
Al dividir 10 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 2 y el resto (q) como 1.
Al dividir 15 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 3 y el resto (q) como 3.
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
yo 5 + yo 10 + yo 15 = yo 4(1) + 1 + yo 4(2) + 2 + yo 4(3) + 3
= yo 4 ×i + yo 4(2) ×i 2 + yo 4(3) ×i 3
= i 4 ×i + i 4(2) ×i 2 + i 4(3) ×i 2 ×i [Como, i 4 = 1, i 2 = – 1]
= 1×i + 1 × (– 1) + 1 × (– 1)×i
= yo – 1 – yo
= – 1
Por lo tanto, i 5 + i 10 + i 15 = -1
(v) [i 592 + i 590 + i 588 + i 586 + i 584 ] / [i 582 + i 580 + i 578 + i 576 + i 574 ]
[i 592 + i 590 + i 588 + i 586 + i 584 ] / [i 582 + i 580 + i 578 + i 576 + i 574 ]
= [i 10 (i 582 + i 580 + i 578 + i 576 + i 574 ) / (i 582 + i 580 + i 578 + i 576 + i 574 )] [Tomando i 10 como común del numerador]
= yo 10
Para encontrar i n ,
Como n es mayor que 4, entonces
Al dividir 10 entre 4 obtenemos el cociente (p) como 2 y el resto (q) como 2.
Por lo tanto, sustituyendo el valor de p y q en la ecuación i n = i 4p+q obtenemos,
= yo 4(2)+2
= yo 4(2) × yo 2
= -1 [Como, yo 4 = 1, yo 2 = -1]
= -1
Por lo tanto, [i 592 + i 590 + i 588 + i 586 + i 584 ] / [i 582 + i 580 + i 578 + i 576 + i 574 ] = -1
(vi) 1 + yo 2 + yo 4 + yo 6 + yo 8 + … + yo 20
Cuando n es mayor que 4, entonces dividimos n por 4,
Aquí dividiremos todos los valores mayores que 4, es decir, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20.
1 + yo 2 + yo 4 + yo 6 + yo 8 + … + yo 20 = 1 + yo 2 + yo 4 + yo 4+2 + yo 4+4 + … + yo 4(5)
= 1 + (– 1) + 1 + (– 1) + 1 + … + 1 [Como, i4 = 1, i2 = -1]
= 1
Por lo tanto, 1 + i 2 + i 4 + i 6 + i 8 + … + i 20 = 1
(vii) (1 + i) 6 + (1 – i) 3
(1 + i) 6 + (1 – i) 3 = [(1 + i) 2 ] 3 + (1 – i) 2 (1 – i)
= [1 + i 2 + 2i] 3 + (1 + i 2 – 2i)(1 – i) [Usando la fórmula (a+b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ]
= [1 – 1 + 2i] 3 + (1 – 1 – 2i)(1 – i)
= (2i) 3 + (– 2i)(1 – i)
= 8i 3 + (– 2i) + 2i 2
= – 8i – 2i – 2 [Como, i 3 = – i, i 2 = – 1]
= – 10i – 2
= – 2 – 10i
Por lo tanto (1 + i) 6 + (1 – i) 3 = – 2 – 10i
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA