Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas – Ejercicio 8.4

Pregunta 1: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: $x^2-4\sqrt{2x}+6=0$ .

Solución:

Dado: $x^2-4\sqrt{2x}+6=0$

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> $x^2-4\sqrt{2x} = -6$

=> $x^2 - 2\times2\sqrt{2x} + (2\sqrt{2})^2 = -6 + (2\sqrt{2})^2$

Lo sabemos:

=>

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x-2\sqrt{2})^2 = -6 + (2\sqrt{2})^2$

=> $(x-2\sqrt{2})^2 = -6 + (2)^2(\sqrt{2})^2$

=> $(x-2\sqrt{2})^2 = -6 + (4\times2)$

=> $(x-2\sqrt{2})^2 = -6 + 8$

=> $(x-2\sqrt{2})^2 = 2$

El RHS es positivo, lo que implica que las raíces existen.

=> $(x-2\sqrt{2}) = \pm \sqrt{2}$

=> x = $\sqrt{2}+2\sqrt{2}$ y x= $-\sqrt{2}+2\sqrt{2}$

=> x = $3\sqrt{2}$ y x = $\sqrt{2}$

Pregunta 2: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x ² -7x+3 = 0.

Solución:

Dado: 2x ² -7x+3 = 0

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> 2x ² -7x+3 = 0

=> $x^2 - \dfrac{7}{2}x+\dfrac{3}{2}=0$

=> $x^2 -2\times \dfrac{7}{4}\times x+(\dfrac{7}{4})^2 - (\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{3}{2} = 0$

Lo sabemos:

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x-\dfrac{7}{4})^2 -\dfrac{49}{16} + \dfrac{3}{2}=0$

=> $(x-\dfrac{7}{4})^2 - \dfrac{25}{16} = 0$

=> $(x-\dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{25}{16}$

El RHS es positivo, lo que implica que las raíces existen.

=> $(x-\dfrac{7}{4})^2 = \pm \dfrac{5}{4}$

=> $x = \dfrac{7}{4}+\dfrac{5}{4}$ y $x= \dfrac{7}{4}-\dfrac{5}{4}$

=> $x = \dfrac{12}{4}$ y $x = \dfrac{2}{4}$

=> x = 3 y $x = \dfrac{1}{2}$

Pregunta 3: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 3x ² +11x+10 = 0.

Solución:

Dado: 3x ² +11x+10 = 0

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> 3×2 ⁺ 11x+10 = 0

=> $x^2 + \dfrac{11}{3} x +\dfrac{10}{3}=0$

=> $x^2 + 2(\dfrac{11}{6})x+(\dfrac{11}{6})^2-(\dfrac{11}{6})^2+\dfrac{10}{3}=0$

Lo sabemos:

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x+\dfrac{11}{6})^2+\dfrac{10}{3}-\dfrac{121}{36}=0$

=> $(x+\dfrac{11}{6})^2 = \dfrac{1}{36}$

El RHS es positivo, lo que implica que las raíces existen.

=> $(x+\dfrac{11}{6})= \pm \dfrac{1}{6}$

=> $x = -\dfrac{11}{6}+\dfrac{1}{6}$ y $x= -\dfrac{11}{6}-\dfrac{1}{6}$

=> $x = -\dfrac{10}{6}$ y $x = -\dfrac{12}{6}$

=> $x = -\dfrac{5}{3}$ y x = -2

Pregunta 4: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x ² +x-4 =0.

Solución:

Dado: 2x ² +x-4 =0

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> 2x ² +x-4 =0

=> $x^2 - \dfrac{x}{2}-2=0$

=> $x^2 + 2\times \dfrac{1}{4}\times x+(\dfrac{1}{4})^2-(\dfrac{1}{4})^2-2=0$

Lo sabemos:

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x+\dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{33}{16}$

El RHS es positivo, lo que implica que las raíces existen.

=> $(x+\dfrac{1}{4})= \pm \dfrac{\sqrt{33}}{4}$

=> $x = \dfrac{\sqrt{33}-1}{4}$ y $x= \dfrac{-\sqrt{33}-1}{4}$

Pregunta 5: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x ² +x+4 =0.

Solución:

Dado: 2x ² +x+4 =0

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> 2x ² +x+4 =0

=> $x^2 + \dfrac{x}{2}+2=0$

=> $x^2 + 2\times \dfrac{1}{4}\times x+(\dfrac{1}{4})^2-(\dfrac{1}{4})^2+2=0$

Lo sabemos:

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x+\dfrac{1}{4})^2 = -\dfrac{31}{16}$

=> El RHS es negativo, lo que implica que las raíces no son reales.

Pregunta 6: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 4x ² +4√3+3=0.

Solución:

Dado: 4x ² +4√3+3=0

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> 4×2 ⁺ 4√3+3=0

=> $x^2 + \sqrt{3}x+\dfrac{3}{4} =0$

=> $x^2 + 2\times x \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + (\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+ \dfrac{3}{4}=0$

Lo sabemos,

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 = -\dfrac{3}{4}+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2$

=> $(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 = -\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}$

=> $(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 = 0$

El RHS es cero, lo que implica que las raíces existen y son iguales.

=> $x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Pregunta 7: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: $\sqrt{2}x^2 -3x-2\sqrt{2}=0$ .

Solución:

Dado: $\sqrt{2}x^2 -3x-2\sqrt{2}=0$

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> $\sqrt{2}x^2 -3x-2\sqrt{2}=0$

=> $x^2 -\dfrac{3}{\sqrt{2}}x-2 =0$

=> $x^2 - 2\times x \times \dfrac{3}{2\sqrt{2}} + (\dfrac{3}{2\sqrt{2}})^2 - (\dfrac{3}{2\sqrt{2}})^2-2=0$

Lo sabemos,

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}})^2 = 2 + (\dfrac{3}{2\sqrt{2}})^2$

=> $(x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}})^2 = 2+ \dfrac{9}{8}$

=> $(x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}})^2 = \dfrac{25}{8}$

El RHS es positivo, lo que implica que las raíces existen.

=> $(x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}) = \dfrac{5}{2\sqrt{2}}$

=> $x = \dfrac{5+3}{2\sqrt{2}}$ y $x = \dfrac{-5+3}{2\sqrt{2}}$

=> $x = 2\sqrt{2}$ y $x = \dfrac{-1}{\sqrt{2}}$

Pregunta 8: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: $\sqrt{3}x^2+10x+7\sqrt{3}=0$ .

Solución:

Dado: $\sqrt{3}x^2+10x+7\sqrt{3}=0$

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> $\sqrt{3}x^2+10x+7\sqrt{3}=0$

=> $x^2 +\dfrac{10}{\sqrt{3}}x+7 =0$

=> $x^2 +2\times x \times \dfrac{5}{\sqrt{3}} + (\dfrac{5}{\sqrt{3}})^2 - (\dfrac{5}{\sqrt{3}})^2+7=0$

Lo sabemos,

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x+\dfrac{5}{\sqrt{3}})^2 = -7 + (\dfrac{5}{\sqrt{3}})^2$

=> $(x+\dfrac{5}{\sqrt{3}})^2 = -7+ \dfrac{25}{3}$

=> $(x+\dfrac{5}{\sqrt{3}})^2 = \dfrac{4}{3}$

El RHS es positivo, lo que implica que las raíces existen.

=> $(x+\dfrac{5}{\sqrt{3}}) = \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

=> $x = \dfrac{-5+2}{\sqrt{3}}$ y $x = \dfrac{-5-2}{\sqrt{3}}$

=> $x = -\sqrt{3}$ y $x = \dfrac{-7}{\sqrt{3}}$

Pregunta 9: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: $x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0$ .

Solución:

Dado: $x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0$

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> $x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0$

=> $x^2-(\sqrt{2}+1)x+(\dfrac{\sqrt{2}+1}{2})^2 - (\dfrac{\sqrt{2}+1}{2})^2+\sqrt{2}=0$

Lo sabemos,

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> $(x-(\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}))^2 = \dfrac{2+1+2\sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}$

=> $(x-(\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}))^2 = \dfrac{2+1-2\sqrt{2}}{4}$

=> $(x-(\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}))^2 = (\dfrac{\sqrt{2}-1}{2})^2$

El RHS es positivo, lo que implica que las raíces existen.

=> $(x-(\dfrac{\sqrt{2}+1}{2})) = \pm (\dfrac{\sqrt{2}-1}{2})$

=> $x = \dfrac{\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1}{2}$ y $x = \dfrac{-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}+1}{2}$

=> x = √2 y x = 1

Pregunta 10: Encuentra las raíces de la siguiente ecuación cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: x ² -4ax+4a ² -b ² =0.

Solución:

Dado: x ² -4ax+4a ² -b ² =0

Tenemos que hacer que la ecuación sea un cuadrado perfecto.

=> x ² -4ax+4a ² -b ² =0

=> x ² −2×x×2a+(2a) ² −b ² =0

Lo sabemos,

=> (a−b) ² =a ² −2×a×b+b ²

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como:

=> x ² −2×2a×x+(2a) ² =b ²

=> (x-2a) ² = b ²

El RHS es positivo, lo que implica que las raíces existen.

=> (x-2a) = ±b

=> x= 2a+b y x = 2a-b

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Artículo escrito por isha412k y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: .

Pregunta 2: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x 2 -7x+3 = 0.

Pregunta 3: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 3x 2 +11x+10 = 0.

Pregunta 4: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x 2 +x-4 =0.

Pregunta 5: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x 2 +x+4 =0.

Pregunta 6: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 4x 2 +4√3​+3=0.

Pregunta 7: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: .

Pregunta 8: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: .

Pregunta 9: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: .

Pregunta 10: Encuentra las raíces de la siguiente ecuación cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: x 2 -4ax+4a 2 -b 2 =0.

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Pregunta 1: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: $x^2-4\sqrt{2x}+6=0$ .

Pregunta 2: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x ² -7x+3 = 0.

Pregunta 3: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 3x ² +11x+10 = 0.

Pregunta 4: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x ² +x-4 =0.

Pregunta 5: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: 2x ² +x+4 =0.

Pregunta 6: Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: 4x ² +4√3+3=0.

Pregunta 7: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: $\sqrt{2}x^2 -3x-2\sqrt{2}=0$ .

Pregunta 8: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: $\sqrt{3}x^2+10x+7\sqrt{3}=0$ .

Pregunta 9: Encuentra las raíces de las siguientes cuadráticas (si existen) por el método de completar el cuadrado: $x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0$ .

Pregunta 10: Encuentra las raíces de la siguiente ecuación cuadrática (si existen) por el método de completar el cuadrado: x ² -4ax+4a ² -b ² =0.