Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 14 Geometría de coordenadas – Ejercicio 14.2 | conjunto 2

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Pregunta 20. Los tres vértices de un paralelogramo son (3, 4), (3, 8) y (9, 8). Encuentra el cuarto vértice.

Solución:

Sea ABCD un paralelogramo y los vértices serán A (3, 4), B (3, 8), C (9, 8)

y las coordenadas del cuarto vértice D ser(x, y)

Ahora AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ =\sqrt{(3-3)^2+(8-4)^2}=\sqrt{0+(4)^2}\\ =\sqrt{16}=4

Del mismo modo, BC = \sqrt{(3-9)^2+(8-8)^2}\\ =\sqrt{(-6)^2+0}=\sqrt{36}=6\\ CD=\sqrt{(x-9)^2+(y-8)^2}

y DA = \sqrt{(3-x)^2+(4-y)^2}

Por lo tanto, ABCD es un ||gm

Aquí, AB = CD y BC = AD

CD = \sqrt{(x-9)^2+(y-8)^2}=4

Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos

(x – 9) 2 + (y – 8) 2 = (4) 2

x2 – 18x + 81 + y2 – 16y + 64 = 16

x2 + y2 – 18x – 16y = 16 – 81 – 64

x2 + y2 – 18x – 16y = -129 ………..(i)

Del mismo modo, AD = \sqrt{(3-x)^2+(4-y)^2}=6

Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos

(3 – x) 2 + (4 – y) 2 = 26                 

9 + x2 – 6x + 16 + y2 – 8y = 36

x2 + y2 – 6x – 8y = 36 – 9 – 16

x2 + y2 – 6x – 8y = 11 ………..(ii)

Ahora, al restar la ecuación (i) de (ii), obtenemos

12x + 8y = 140

3x + 2y = 35

2y = 35 – 3x

y = (35 – 3x)/2 ………..(iii)

Ahora sustituyendo el valor de y en la ecuación (ii)

x^2(\frac{35-3x}{2})^2-6x-8(\frac{35-3x}{2})=11\\ x+\frac{1225+9x^2-210x}{4}-6x-140+12x=11

4x 2 + 1225 + 9x 2 – 210x – 24x – 560 = 44

13x 2 – 186 + 621 = 0

13x 2 – 117x – 69x + 621 = 0

13x(x-9)-69(x-9) = 0

(x-9)(13x-69) = 0

Ya sea x – 9 = 0, entonces x = 9

 o 13x – 69 = 0, luego x69/13 que no es posible

Entonces, x = 9

Por lo tanto, el vértice será (9,4)

Pregunta 21. Encuentra un punto que sea equidistante del punto A (-5, 4) y B (-1, 6). ¿Cuántos puntos de este tipo hay? 

Solución:

Consideremos P (h, k) como el punto que equidista de los puntos A (-5, 4) y B (-1, 6).

Entonces, PA = PB

Por lo tanto, (PA) 2 = (PB) 2

Ahora por fórmula de distancia, obtenemos

(-5 – h) 2 + (4 – k) 2 = (-1 – h) 2 + (6 – k) 2

25 + h2 + 10h + 16 + k2 – 8k = 1h2 + 2h + 36 + k2 – 12k

25 + 10h + 16 – 8k = 1 + 2h + 36 – 12k

8h + 4k + 41 – 37 = 0

8h + 4k + 4 = 0

2h + k + 1 = 0 …….(i)

Punto medio de AB = ((-5 – 1)/2, (4 + 6)/2) = (-3, 5) 

En el punto (-3, 5), de eq(i)

2h + k = 2(-3) + 6

-6 + 5 = -1

2h + k + 1 = 0

Entonces, el punto medio de AB satisface la Ec. (i).

Por lo tanto, un número infinito de puntos, de hecho, todos los puntos que son solución 

de la ecuación 2h + k + 1 = 0, son equidistantes del punto A y B.

Reemplazando h, k, por x, y en la ecuación anterior, tenemos 2x + y + 1 = 0

Pregunta 22. El centro de un círculo es (2a, a – 7). Encuentra los valores de a si el círculo pasa por el punto (11, -9) y tiene un diámetro de 10√2 unidades. 

Solución:

Según la pregunta

Distancia entre el centro C (2a, a – 1) y el punto P (11, -9), que se encuentran en el círculo = Radio del círculo

Entonces, Radio del círculo =  \sqrt{(11-2a)^2+(-9-a+7)^2}       …..(i)

Dado que, longitud de diámetro = 10√2

Por lo tanto, longitud del radio = Longitud del diámetro/2

= 10√2/2 = 5√2

Ahora ponga este valor en la ecuación (i), obtenemos

5\sqrt{2}=\sqrt{(11-2a)^2+(-2-a)^2}

Cuadrando en ambos lados, obtenemos

50 = (11 – 2a) 2 + (2 + a) 2

50 = 121 + 4a 2 – 44a + 4 + a 2 + 4a

5a 2 – 40a + 75 = 0

un 2 – 8a + 15 = 0

un 2 – 5a – 3a + 15 = 0

a(a-5)-3(a-5) = 0

(un – 5)(un – 3) = 0

Entonces, a = 3, 5

Por lo tanto, los valores requeridos de a son 5 y 3.

Pregunta 23. Ayush comienza a caminar de su casa a la oficina. En lugar de ir directamente a la oficina, va primero a un banco, de ahí a la escuela de su hija y luego llega a la oficina. ¿Cuál es la distancia extra recorrida por Ayush para llegar a la oficina? (Suponga que todas las distancias recorridas son en línea recta). Si la casa está situada en (2, 4), el banco en (5, 8), la escuela en (13, 14) y la oficina en (13, 26), y las coordenadas están en kilómetros. 

Solución:

Según la figura

Distancia entre dos puntos d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Ahora, distancia entre casa y banco.

=\sqrt{(5-2)^2+(8-4)^2}\\ =5

Distancia entre el banco y el de la hija 

Escuela=\sqrt{(13-5)^2+(14-8)^2}\\ =\sqrt{(8)^2+(6)^2}\\ =100

Distancia entre la escuela de la hija y la oficina=\sqrt{(13-13)^2+(26-14)^2}\\ =\sqrt{0+(12)^2}=12

Distancia total (casa+banco+escuela+oficina) recorrida = 5 + 10 + 12 = 27 unidades

Distancia entre casa y oficinas

=\sqrt{(13-2)^2+(26-4)^2}\\ =\sqrt{(11)^2+(22)^2}=\sqrt{121+484}\\ =\sqrt{605}  = 24,59 = 24,6 km

Entonces, la distancia extra recorrida por Ayush para llegar a su oficina = 27 – 24,6 = 2,4 km. 

Por lo tanto, la distancia adicional requerida recorrida por Ayush es de 2,4 km.

Pregunta 24. Encuentra el valor de k, si el punto P (0, 2) es equidistante de (3, k) y (k, 5).

Solución:

Consideremos que P (0, 2) es equidistante de A (3, k) y B (k, 5)

PA = PB

=> PA 2 = PB 2

=\sqrt{(0-3)^2+(2-k)^2}

Por lo tanto, PA 2 = (0 – 3) 2 + (2 – k) 2

= (-3) 2 + (2 – k) 2

= k2 – 4k + 13

De manera similar, PB 2 = (k – 0) 2 + (5 – 2) 2

= k2 + (3) 2 = k2 + 9

Por lo tanto, PA = PB

PA 2 = PB 2

k2 – 4k + 13 = k2 + 9

-4k = 9 – 13

-4k = -4

k = -4/-4 = 1

Por lo tanto, K = 1.

Pregunta 25. Si (-4, 3) y (4, 3) son dos vértices de un triángulo equilátero, encuentra las coordenadas del tercer vértice, dado que el origen está en el

(yo) interiores,

(ii) el exterior del triángulo. 

Solución:

Consideremos que el tercer vértice de un triángulo equilátero sea (x, y).

Entonces, los vértices son A (-4, 3), B (4,3) y C (x, y).

Sabemos que en un triángulo equilátero el ángulo entre dos

lado adyacente es 60 y los tres lados son iguales.

Por lo tanto, AB = BC = CA

AB2 = BC2 = CA2 … ..                (i)

Ahora, tomando las dos primeras partes

AB 2 = BC 2

(4 + 4) 2 + (3 – 3) 2 = (x – 4) 2 + (y – 3) 2

64 + 0 = x 2 + 16 – 8x + y 2 + 9 – 6y

x 2 + y 2 – 8x – 6y = 39 …..(ii)

Ahora, tomando la primera y la tercera parte.

AB2 = CA2 _

(4 + 4) 2 + (3 – 3) 2 = (x – 4) 2 + (y – 3) 2

64 + 0 = x 2 + 16 – 8x + y 2 + 9 – 6y

x2 + y2 – 8x – 6y =   39

Al restar la ecuación (ii) de (iii), obtenemos 

x = 0

Ahora, pon el valor de x en la ecuación (ii), obtenemos

0 + y 2 – 0 – 6y = 39

y 2 – 6y – 39 = 0

Por lo tanto, y = \frac{6±\sqrt{(-6)^2-4(1)(-39)}}{2*1}

y=\frac{6±\sqrt{36+156}}{2}\\ y=\frac{6±\sqrt{192}}{2}\\ y=\frac{6±2\sqrt{48}}{2}=3±\sqrt{48}\\ y=3±4\sqrt{3}\\ y=3+4\sqrt{3}or\space 3-4\sqrt{3}

Entonces, los puntos del tercer vértice son

(0, 3+√3)o(3 – 4√3)

Pero se da que, el origen está en el interior del ∆ABC y la coordenada x del tercer vértice es cero.

Entonces, la coordenada y del tercer vértice debe ser negativa.

Por lo tanto, la coordenada requerida del tercer vértice,

C = (0, 3 – 4√3)

Pregunta 26. Demuestre que los puntos (-3, 2), (-5, -5), (2, -3) y (4, 4) son los vértices de un rombo. Encuentra el área de este rombo.

Solución:

Consideremos que las coordenadas de los vértices A, B, C y D de un rombo son A (-3, 2), B (-5, -5), C (2, -3) y D (4, 4)

AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ \sqrt{(-5+3)^2+(-5-2)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-7)^2}

o AB 2 = (-2) 2 + (-7) 2 = 4 + 49 = 53

Del mismo modo, BC 2 = (2 + 5) 2 + (-3 + 5) 2

= (7) 2 + (2) 2 = 49 + 4 = 53

CD 2 = (4 – 2) 2 + (4 + 3) 2

= (2) 2 + (7) 2 = 4 + 48 = 53

 y DA 2 = (-3 – 4) 2 + (2 – 4) 2

= (-7) 2 + (-2) 2 = 49 + 4 = 53

Por tanto, vemos que AB = BC = CD = DA = √53 

Ahora diagonales AC = \sqrt{(2+3)^2+(-3-2)^2}\\ =\sqrt{(5)^2+(-5)^2}=\sqrt{25+25}\\ =\sqrt{50}=\sqrt{25*2}=5\sqrt{2}\\

y diagonal BD = \sqrt{(4+5)^2+(4+5)^2}\\ =\sqrt{(9)^2+(9)^2}=\sqrt{81+81}=\sqrt{162}\\ =\sqrt{81*2}=9\sqrt{2}

Por lo tanto, los lados son iguales pero las diagonales no son iguales 

Por lo tanto, ABCD es un rombo. 

Ahora encontramos el área del rombo = Producto de diagonal/2

= (5√2 × 9√2)/2 

= 9/2 

= 45 unidades cuadradas

Pregunta 27. Encuentra las coordenadas del circuncentro del triángulo cuyos vértices son (3, 0), (-1, -6) y (4, -1). Además, encuentre su circunradio.

Solución:

Consideremos que ABC es un triángulo cuyos vértices son A (3, 0), B (-1, -6) y C (4, -1)

Sea O el circuncentro del triángulo ABC y las coordenadas sean (x, y)

Por lo tanto, OA = OB = OC

OA 2 = OB 2 = OC 2

Ahora OA = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\

OA 2 = (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2

= (x – 3) 2 + (y – 0) 2

= (x – 3) 2 + y 2

OB 2 = (x + 1) 2 + (y + 6) 2

y CO2 = (x – 4) 2 + (y + 1) 2

Por lo tanto, OA 2 = OB 2

(x – 3) 2 + y 2 = (x + 1) 2 + (y + 6) 2

x2 – 6x + 9 + y2 = x2 + 2x + 1 + y2 + 12y + 36

-6x – 2x – 12y = 1 + 36 – 9

-8x – 12y = 28

2x + 3y = -7 ……..(yo)

Por lo tanto, OB 2 = OC 2

(x + 1) 2 + (y + 6) 2 = (x – 4) 2 + (y + 1) 2

x2 + 2x + 1 + y2 + 12y + 36 = x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1

2x + 12y + 37 + 8x – 2y = 17

10x + 10y = 17 – 37 = -20

x + y = -2 ……..(ii)

Al multiplicar la ecuación (i) por 1 y (ii) por 2, obtenemos

2x + 3y = -7

2x + 2y = -4

Ahora, al sustituir y = -3, obtenemos

x + y = -2

x-3 = -2

x = -2 + 3 = 1

Radio = OA =  \sqrt{(1+1)^2+(-3+6)^2}\\ =\sqrt{(2)^2+(3)^2}=\sqrt{4+9}  = √13

Pregunta 28. Encuentra un punto en el eje x que sea equidistante de los puntos (7, 6) y (-3, 4). 

Solución:

El punto requerido está en el eje x

Su ordenada será O

Entonces, las coordenadas del punto requerido P (x, 0)

Se da que el punto P equidista de los puntos A (7, 6) y B (-3, 4)

Ahora AP=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ =\sqrt{(x-7)^2+(0-6)^2}\\ =\sqrt{(x-7)^2+(6)^2}\\ =\sqrt{(x-7)^2+36}

Por lo tanto, AP 2 = (x – 7) 2 + 36

De manera similar, BP 2 = (x + 3) 2 + (0 – 4) 2

= (x + 3) 2 + 16

Por lo tanto, AP = BP 

AP 2 = PA 2

Por lo tanto, (x – 7) 2 + 36 = (x + 3) 2 + 16

x2 – 14x + 49 + 36 = x2 + 6x + 9 + 16

x2 – 14x – x2 – 6x = 25 – 85

-20x = -60

X = -60/-20 = 3

Por lo tanto, el punto requerido será (3, 0)

Pregunta 29. (i) Demuestre que los puntos A (5, 6), B (1, 5), C (2, 1) y D (6, 2) son los vértices de un cuadrado. 

(ii) Demuestre que los puntos A (2, 3), B (-2, 2), C (-1, -2) y D (3, -1) son los vértices de un cuadrado ABCD. 

(iii) Nombre el tipo de triángulo PQR formado por el punto P(√2, √2), Q(- √2, – √2) y R (-√6, √6). 

Solución:

(i) Los puntos dados son A (5, 6), B (1, 5), C (2, 1) y D (6, 2) 

Ahora AB 2 = (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2

= (1 – 5) 2 + (5 – 6) 2

= (-4) 2 + (-1) 2 = 16 + 1 = 17

Del mismo modo, BC = (2 – 1) 2 + (1 – 5) 2

= (1) 2 + (-4) 2

= 1 + 16 = 17

CD = (6 – 2) 2 + (2 – 1) 2 + (4) 2 + (1) 2

= 16 + 1 = 17

 y DA = (5 – 6) 2 + (6 – 2) 2

= (-1) 2 + (4) 2

= 1 + 16 = 17

Diagonales CA 2 = (2 – 5) 2 + (1 – 6) 2

= (-3) 2 + (-5) 2

= 9 + 25 

=34

y BD 2 = (6 – 1) 2 + (2 – 5) 2

= (5) 2 + (-3) 2

= 25 + 9 = 34

 Concluimos que

AB = BC = CD = DA y diagonales AC = BD

Por lo tanto, ABCD es un cuadrado.

(ii) Dados los puntos A(2, 3), B(-2, 2), C(-1, -2) y D(3, -1)

AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ =\sqrt{()^2+(2-3)^2}\\ =\sqrt{(-4)^2+(-1)^2}\\ =\sqrt{16+1}=\sqrt{17}

Similarmente,

BC=\sqrt{(-1+2)^2+(-2-2)^2}\\ =\sqrt{(1)^2+(-4)^2}\\ =\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\\ CD=\sqrt{(3+1)^2+(-1+2)^2}\\ =\sqrt{(4)^2+(1)^2}\\ =\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\\ DA=\sqrt{(2-3)^2+(3+1)^2}\\ =\sqrt{(-1)^2+(4)^2}\\ =\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\\ AC=\sqrt{(-1-2)^2+(-2-3)^2}\\ =\sqrt{(-3)^2+(-5)^2}\\ =\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ BD=\sqrt{(3+2)^2+(-1-2)^2}\\ =\sqrt{(5)^2+(-3)^2}\\ =\sqrt{25+9}=\sqrt{34}

Por lo tanto, AB, BC, CD y DA son iguales y las diagonales AC y BD también son iguales

Por lo tanto, ABCD es un cuadrado.

(iii) Uso de la fórmula de la distancia

PQ=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{2}+\sqrt{2})^2}\\ =\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16}=4\\ PR=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2+(\sqrt{2}-\sqrt{6})^2} \\ =\sqrt{2+6+2\sqrt{12}+2+6-2\sqrt{12}}=\sqrt{16}=4\\ RQ=\sqrt{(-2\sqrt{2}+\sqrt{6})^2+(-2\sqrt{2}-\sqrt{6})^2}\\ =\sqrt{2+6-2\sqrt{12}+2+6+2\sqrt{12}}=\sqrt{16}=4

Como PQ = PR = RQ = 4, entonces, los puntos P, Q, R forman un triángulo equilátero.

Pregunta 30. Encuentra el punto en el eje x que es equidistante de los puntos (-2, 5) y (2, -3). 

Solución:

Consideremos que el punto P se encuentra en el eje x

Entonces, las coordenadas del punto P ser (x, 0)

Se da que P es equidistante de A (-2, 5) y B (2, -3)

AP=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ =\sqrt{(x+2)^2+(0-5)^2}

PA 2 = (x + 2) 2 + (-5) 2 

= (x + 2) 2 + 25

PA 2 = (x – 2) 2 + (0 + 3) 2 

= (x – 2) 2 + 9

AP = PA

Entonces, AP 2 = BP 2

(x + 2) 2 + 25 = (x – 2) 2 + 9

x2 + 4x + 4 + 25 = x2 – 2x + 4 + 9

x2 + 4x – x2 + 4x = 13 – 29

8x = -16

x = -16/8

x = -2

Por lo tanto, las coordenadas del punto P son (-2, 0)

Pregunta 31. Encuentra el valor de x tal que PQ = QR donde las coordenadas de P, Q y R son (6, -1), (1, 3) y (x, 8) respectivamente. 

Solución:

Dado que las coordenadas de P (6, -1), Q(1, 3) y R(x, 8) 

Además, PQ = QR

Usando la fórmula de la distancia 

re = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Encontramos la longitud de PQ y QR

PQ 2 = (1 – 6) 2 + (3 + 1) 2

= (-5) 2 + (4) 2 

= 25 + 16 = 41

QR2 = (x – 1) 2 + (8 – 3) 2 

= (x – 1) 2 + (5) 2 = (x – 1) 2 + 25

Se da que PQ = QR

Entonces PQ 2 = QR 2

41 = (x – 1) 2 + 25

(x – 1) 2 = 41 – 25 = 16 = (±4) 2

x – 1 = ±4

Si x – 1 = 4, entonces x = 1 + 4 = 5

Si x – 1 = -4 entonces x = -4 + 1 = -3

Por lo tanto, el valor de x = 5, -3

Pregunta 32. Demuestra que los puntos (0, 0), (5, 5) y (-5, 5) son los vértices de un triángulo rectángulo isósceles. 

Solución:

Consideremos que ABC es un triángulo cuyos vértices son A(0, 0), B(5, 5) y C(-5, 5)

Ahora AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2(y_2-y_1)^2}\\ AB=\sqrt{(5-0)^2(5-0)^2}\\ =\sqrt{(5)^2(5)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}

AB 2 = (√50) 2 = 50

De manera similar, BC 2 = (-5 – 5) 2 (5 – 5) 2

= (-10) 2 + (0) 2 = 100 + 0 = 100

y CA 2 = (0 + 5) 2 + (0 – 5) 2

= (5) 2 + (-5) 2 = 25 + 25 = 50

Aquí, concluimos que AB = CA

Además, AB 2 + CA 2 = 50 + 50 = 100 = BC 2

Por lo tanto, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo.

Pregunta 33. Si los puntos P (x, y) equidistan de los puntos A (5, 1) y B (1,5), demuestre que x = y.

Solución:

Consideremos que P(x, y) es equidistante de los puntos A (5, 1) y B (1,5),

Se da que PA = PB

Además, PA 2 = PB 2

Ahora PA=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ =\sqrt{(5-x)^2+(1-y)^2}\\ PB=\sqrt{(1-x)^2+(5-y)^2}\\

Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos

(5 – x) 2 + (1 – y) 2 = (1 – x) 2 + (5 – y) 2

25 + x 2 – 10x + 1 + y 2 – 2y = 1 + x 2 – 2x + 25 + y 2 – 10y

-10x – 2y + 26 = -2x – 10y + 26

-10x – 2y = -2x – 10y

-10x + 2x = -10y + 2y

-8x = -8xy

x = y

Pregunta 34. Si Q (0, 1) es equidistante de P (5, -3) y R (x, 6) encuentra los valores de x. Halla también las distancias QR y PR. 

Solución:

Dado que Q (0, 1) es equidistante de P (5, -3) y R (x, 6)

Entonces, PQ = RQ

Además, PA 2 = PB 2

Ahora PQ=\sqrt{(X_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ =\sqrt{(0-5)^2+(1-3)^2}=\sqrt{(5)^2+(4)^2}\\ =\sqrt{25+16}=\sqrt{41}

PQ 2 = 41

De manera similar, RQ 2 = (-x) 2 + (1 – 6) 2 

= (-x) 2 + (-5) 2 = x 2 + 25

Se da que PQ = RQ
Entonces, 

x2 + 25 = 41 

x2 = 41 – 25

x2 = (±4) 2 

x = ±4

Ahora QR = √x 2 + 25 = √41

Entonces, cuando x = 4, entonces 

PR=\sqrt{(5-4)^2+(-3-6)^2}\\ =\sqrt{(1)^2+(-9)^2}=\sqrt{1+18}=\sqrt{82}

o cuando x = -4, entonces

PR=\sqrt{(5+4)^2+(-3-6)^2}\\ =\sqrt{(9)^2+(-9)^2}=\sqrt{81+81}\\ \sqrt{81*2}=9\sqrt{2}

Pregunta 35. Encuentra los valores de y para los cuales la distancia entre los puntos P (2, -3) y Q (10, y) es de 10 unidades.

Solución:

Dado que la distancia entre P (2, -3) y Q (10, y) = 10

Asi que, PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ =\sqrt{(10-2)^2+(y+3)^2}\\ =\sqrt{(8)^2+(y+3)^2}=\sqrt{64+(y+3)^2}\\ \sqrt{64+(y+3)^2}=10

Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos

64 + (y + 3) 2 = 100

(y + 3) 2 = 100 – 64

(y + 3) 2 = 36

y + 3 = (±6) 2 

Entonces, cuando y + 3 = 6, entonces y = 6 – 3 = 3

O cuando y + 3 = -6, entonces y = -6 – 3 = -9

Por lo tanto, y = 3, -9

Pregunta 36. Si el punto P (k – 1, 2) es equidistante de los puntos A (3, k) y B (k, 5), encuentra los valores de k.

Solución:

Dado que el punto P (k – 1, 2) es equidistante de A (3, k) y B (k, 5)

Entonces, PA = PB

Además, PA 2 = PB 2

(k – 1 – 3) 2 + (2 – k) 2 = (k – 1 – k) 2 + (2 – 5) 2

(k – 4) 2 + (2 – k) 2 = (-1) 2 + (-3) 2

k2 – 8k + 16 + 4 – 4k + k2 = 1 + 9

2k 2 – 12k + 20 – 10 = 0

2k 2 – 12k + 10 = 0

k 2 – k – 5k + 5 = 0

k(k-1)-5(k-5) = 0

(k – 1)(k – 5) = 0

O bien k – 1 = 0, entonces k = 1

o k – 5 = 0, entonces k = 5

Por lo tanto, k = 1, 5

Pregunta 37. Si el punto A (0, 2) es equidistante del punto B (3, p) y C (p, 5), encuentra p. Además, encuentre la longitud de AB. 

Solución:

Dado que el punto A (0, 2) es equidistante de B (3, p) y C (p, 5)

Entonces, AB = AC

Además, AB 2 = AC 2

(0 – 3) 2 + (2 – p) 2 = (0 – p) 2 + (2 – 5) 2

9 + (2 – p) 2 = p 2 + 9

9 + 4 + pag 2 – 4 pag = pag 2 + 9

p 2 – 4 p + 13 – p 2 – 9 = 0

-4p – 4 = 0

-4p = -4

pag = -4/-4 = 1

p = 1

y AB = \sqrt{(0-3)^2+(2-1)^2}\\ =\sqrt{9+1}=\sqrt{10}

Pregunta 38. Nombre el cuadrilátero formado, si lo hubiere, por los siguientes puntos, y justifique sus respuestas:

(i) A (-1, -2), B (1, 0), C (-1, 2), D (-3, 0)

(ii) A (-3, 5), B (3, 1), C (0, 3), D (-1, -4)

(iii) A (4, 5), B (7, 6), C (4, 3), D (1, 2)

Solución:

(i) Los puntos dados son A (-1, -2), B (1, 0), C (-1, 2), D (-3, 0)

Ahora AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

AB 2 = (x 2 – x 1 ) 2  + (y 2 – y 1 ) 2 

= (1 + 1) 2 + (0 + 2) 2 

= (2) 2 + (2) 2 

= 4 + 4 = 8

De manera similar, BC 2 = (-1 – 1) 2 + (2 – 0) 2 

= (-2) 2 + (2) 2 

= 4 + 4 = 8

CD 2 = (-3 + 1) 2 + (0 – 2) 2 

= (-2) 2 + (-2) 2

= 4 + 4 = 8

DA 2 = (-1 + 3) 2 + (-2 + 0) 2 

= (2) 2 + (-2) 2 

= 4 + 4 = 8

CA diagonal 2 = (-1 + 1) 2 + (2 + 2) 2

= (0) 2 + (4) 2 = 0 + 16 = 16

y BD 2 = (-3 – 1) 2 + (0 – 0) 2 = (-4) 2 + (0) = 16

Por lo tanto, los lados son iguales y las diagonales también son iguales.

Por lo tanto, el cuadrilátero ABCD es un cuadrado.

(ii) Los puntos dados son A (-3, 5), B (3, 1), C (0, 3), D (-1, -4)

Ahora AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

AB 2 = (x 2 – x 1 ) 2  + (y 2 – y 1 ) 2 

= (3 + 3) 2 + (1 – 5) 2 

= (6) 2 + (-4) 2 

= 36 + 16 = 52

De manera similar, BC 2 = (0 – 3) 2 + (3 – 1) 2 

= (-3) 2 + (2) 2

= 9 + 4 = 13

CD 2 = (-1 – 0) 2 + (-4 – 3) 2 

= (-1) 2 + (-7) 2

= 1 + 49 = 50

AD 2 = (-3 + 1) 2 + (5 + 4) 2 

= (-2) 2 + (9) 2 

= 4 + 81 = 85

CA diagonal 2 = (0 + 3) 2 + (3 – 5) 2 = (3) 2 + (-2) 2 = 9 + 4 = 13

en el triangulo abc

La longitud de AB = √52, AC = √13, BC = √13 

AC+ BC = √13 + √13 = 2√13 

= √4 * 13 = √52 

CA + BC = AB    

Triángulo ABC no es posible 

Por lo tanto, ABCD no es un cuadrilátero.

(iii) Puntos A (4, 5), B (7, 6), C (4, 3), D (1, 2)

Ahora AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

AB 2 = (x 2 – x 1 ) 2  + (y 2 – y 1 ) 2 

= (7 – 4) 2 + (6 – 5) 2 

= (3) 2 + (1) 2

= 9 + 1 = 10

De manera similar, BC 2 = (4 – 7) 2 + (3 – 6) 2

= (3) 2 + (-3) 2 = 9 + 9 = 18

CD 2 = (1 – 4) 2 + (2 – 3) 2 

= (-3) 2 + (-1) 2 

= 9 + 1 = 10

AD 2 = (4 – 1) 2 + (5 – 2) 2 = (3) 2 + (3) 2 = 9 + 9 = 18

Aquí AB = CD y BC = DA

CA diagonal 2 = (4 – 4) 2 + (3 – 5) 2

= (0) 2 + (-2) 2

= 0 + 4 = 4

y BD 2 = (1 – 7) 2 + (2 – 6) 2 = (-6) 2 + (-4) 2

= 36 + 16 = 52

Por lo tanto, los lados opuestos son iguales y las diagonales no son iguales.

Entonces, ABCD es un paralelogramo.

Pregunta 39. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que une los puntos (7, 1) y (3, 5).

Solución:

Sean los puntos dados A (7, 1) y B (3, 5) y el punto medio sea M

Coordenadas del punto medio AB = ((7 + 3)/2, (1 + 5)/2) = (5, 3)

Ahora pendiente de AB(m 1 )=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5-1}{3-7}\\ =\frac{4}{-4}=-1

Pendiente de la perpendicular a AB(m 2 ) = -1/m 1 = -(-1) = -1 

Entonces, la ecuación de la recta perpendicular que pasa por múltiplos y – y 1 = m(x – x 1 )

y-3 = 1(x-5)

y-3 = x-5

x – y = -3 + 5

x – y = 2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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