Demostrar que tan 1°.tan 2°.tan 3° ……… tan 89° = 1

julio 5, 2022 Rudeus Greyrat

El estudio de las propiedades de los triángulos y su uso para las diversas aplicaciones que a menudo incluyen longitudes (lados), alturas y ángulos de varios tipos de triángulos se conoce como trigonometría. La trigonometría involucra el estudio de funciones trigonométricas y hay 6 funciones trigonométricas o proporciones que deben estudiarse. Aprendamos sobre ellos en detalle,

razones trigonométricas

Hay seis razones (o funciones) de un ángulo que se usan en trigonometría. Los nombres de las funciones son: seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec). Las razones trigonométricas son los valores basados en la razón de los lados de un triángulo (rectángulo). Hay tres lados de un triángulo rectángulo,

Hipotenusa (AC)
Perpendicular o Altura (AB)
Base (BC)

Las razones de la trigonometría se dan como

sen: Razón del lado opuesto a ese ángulo a la hipotenusa. (AB/CA)
cos: Razón del lado junto a ese ángulo a la hipotenusa. (BC/CA)
tan: Relación del lado opuesto a ese ángulo al lado junto a ese ángulo. (AB/BC)
cosec: Inverso de sin. (AC/AB)
seg: Inversa de cos. (CA/BC)
cot: Inverso del bronceado. (BC/AB)

Razones trigonométricas de funciones complementarias

Los ángulos complementarios son ángulos tales que su suma es 90°. Por ejemplo, 15° y 75° son complementarios entre sí ya que su suma es 90°. Las razones trigonométricas de función complementaria significan que las razones están relacionadas entre sí de tal manera que están separadas 90° entre sí.

sen (90°- x) = cos x
cos (90° – x) = sen x
bronceado (90° – x) = cuna x
cuna (90° – x) = bronceado x
seg (90° – x) = cosec x
cosec (90° – x) = seg x

Nota: Los valores de ‘x’ deben estar entre 0° y 90°.

Demostrar que tan 1°.tan 2°.tan 3° ……… tan 89° = 1

Prueba:

LHS bronceado 1° × bronceado 2° × bronceado 3° ….. bronceado 87° × bronceado 88° × bronceado 89°

Por lo tanto, la ecuación se escribe de la siguiente manera,

⟹ tan 1° × tan 2° × tan 3° ….. tan(90° − 3°) × tan(90° − 2°) × tan(90° − 1°)

Ya que, tan(90°− θ) = cot(θ)

⟹ bronceado 1° × bronceado 2° × bronceado 3° ….. bronceado 45° ….. cuna 3° × cuna 2° × cuna 1°

Como sabemos tan( θ ) × cot θ = 1 y tan 45° = 1

⟹ 1×1×1…. 1

Por lo tanto, LHS = RHS = 1 (Probado)

Problemas similares

Pregunta 1: Demuestre que sen 32° × cos 58° + cos 32° × sen 58° = 1

Solución:

LHS sen 32° × cos 58° + cos 32° × sen 58°

Como sen A = cos (90-A) y cos A = sen (90 – A),

⟹ sen 32° × cos (90−32)° + cos 32° × sen (90 − 32)°

⟹ sen 32° × sen 32° + cos 32° × cos 32°

⟹ sen²32° + cos²32° [Ya que, sen²A + cos²A = 1]

⟹ 1

Por lo tanto, LHS = RHS = 1 (Probado)

Pregunta 2: ¿Cuál es el valor de la expresión tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°?

Solución:

bronceado 48° × bronceado 23° × bronceado 67° × bronceado 42° ⇢ (1)

Por lo tanto, tanA = cot(90 – A)

⟹ bronceado 48° = cuna 42°

⟹ bronceado 23° = cuna 63°

Póngalos en la ecuación (1),

⟹ cuna 42° × bronceado 42° × cuna 63° × bronceado 63° ⇢ (2)

tanA = 1/cotA

⟹ bronceado 42° = 1/cuna 42°

⟹ bronceado 63° = 1/cuna 63°

Poner en la ecuación (2),

⟹ cuna 42° × (1/cuna 42°) × cuna 63° × (1/cuna 63°)

⟹ 1 × 1

⟹ 1

Pregunta 3: Encuentra el valor de cos 20° × cos 40° × cos 60° × cos 80°

Solución:

$\space cos \space 60° = {\dfrac{1}{2}} \\\implies cos \space 20° . \space cos \space 40° . \space {\dfrac{1}{2}} .\space cos \space 80° \\[3mm]$

Multiplicando y dividiendo por 2,

$\\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{4}} \space (2 . \space cos \space 20° . \space cos \space 40° \space . \space cos \space 80°) \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{4}} \space [cos \space (20° + 80°)+ \space cos \space (20° - 80°)] \space . \space cos \space 40° \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{4}} \space [cos \space (-60°) + cos \space (100°)] \space . \space cos \space 40° \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{4}} \space [{\dfrac{1}{2}} \space + \space cos \space 100°] \space .\space cos \space 40° \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}} \space cos \space 40° \space + \space {\dfrac{1}{4}} \space (cos \space 40° \space . \space cos \space 100°) \\[3mm]$

Multiplicando y dividiendo por 2,

$\\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{2}{2}} .\space ({\dfrac{1}{8}} \space . \space cos \space 40°) \space + \space {\dfrac{1}{8}} . \space (2. \space cos \space 40° \space . \space cos \space 100°) \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}} \space cos \space 40° \space + \space {\dfrac{1}{8}} \space [cos \space 140° \space + \space cos \space (-60°)] \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}}. \space cos \space 40° \space + \space {\dfrac{1}{8}} \space . \space cos \space 140° \space + \space {\dfrac{1}{16}} \space \space [Since, \space cos \space 60° \space = \space {\dfrac{1}{2}}] \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}} \space (cos \space 40° \space + \space cos \space 140°) \space + \space {\dfrac{1}{16}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}} \space [2. \space cos \space 90°. \space cos \space (-50°)] \space + \space {\dfrac{1}{16}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{16}}\space cos \space 90° \space = \space 0]$

Pregunta 4. Encuentra el valor de sen 10° × sen 50° × sen 60° × sen 70°

Solución:

sen 10° × sen 50° × sen 60° × sen 70°

Multiplicando numerador y denominador por 2,

$\\[3mm] \\\implies {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 10°. \space 2\space . sin \space 50°. \space sin \space 70°]}{2}} \\[3mm]$

Usando la fórmula, 2sinAsinB = cos(A – B) – cos(A + B)

$\\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 10°. \space (cos(-20°) \space - \space cos \space 120°)]}{2}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 10°. \space (cos \space 20° \space - \space cos \space 120°)]}{2}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 10°. \space cos \space 20° \space - \space sin \space 10 \space . \space cos \space 120°]}{2}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 30° \space + \space sin(-10°) \space - \space 2 \space sin \space 10 \space .\space cos \space 120°]}{4}} [Since, \space cos \space 120° \space = \space {\dfrac{-1}{2}}] \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 30° \space + \space sin(-10°) \space + \space sin \space 10°]}{4}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{1}{2}} \space * \space {\dfrac{1}{4}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{16}}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anilabhadatta y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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