Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Progresiones geométricas – Ejercicio 20.6

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1: Inserta 6 medias geométricas entre 27 y 1/81.

Solución:

Sean las seis medias geométricas A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 .

Ahora, estos 6 términos se suman entre 27 y 1/81.

Entonces el GP se convierte en 27, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 ,1/81 con el primer término (a) = 27, el número de términos (n) = 8 y el octavo término (a 8 ) = 1/81.

Sabemos que el término n de un GP está dado por n = ar n-1 , donde r es la razón común.

=> un 8 = 1/81

=> 27(r) 8-1 = 1/81

=> r7 = 1 /(81×27)

=> r 7 = (1/3) 7

=> r = 1/3

Entonces, las medias geométricas son:

A 1 = ar = 27 (1/3) = 9

A 2 = ar 2 = 27(1/3) 2 = 3

A 3 = ar 3 = 27(1/3) 3 = 1

A 4 = ar 4 = 27(1/3) 4 = 1/3

A 5 = ar 5 = 27(1/3) 5 = 1/9

A 6 = ar 6 = 27(1/3) 6 = 1/27

Por tanto, las 6 medias geométricas entre 27 y 1/81 son 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27. 

Pregunta 2. Inserta 5 medias geométricas entre 16 y 1/4.

Solución:

Sean las cinco medias geométricas A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Ahora, estos 5 términos se suman entre 16 y 1/4.

Entonces el GP se convierte en 16, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 ,1/4 con el primer término (a) = 16, el número de términos (n) = 7 y el séptimo término (a 7 ) = 1/4.

Sabemos que el término n de un GP está dado por n = ar n-1 , donde r es la razón común.

=> un 7 = 1/4

=> 16(r 7-1 ) = 1/4

=> r6 = 1/64

=> r 6 = (1/2) 6

=> r = 1/2

Entonces, las medias geométricas son:

UN 1 = ar = 16(1/2) = 8

A 2 = ar 2 = 16(1/2) 2 = 4

A 3 = ar 3 = 16(1/2) 3 = 2

A 4 = ar 4 = 16(1/2) 4 = 1

A 5 = ar 5 = 16(1/2) 5 = 1/2

Por tanto, las 5 medias geométricas entre 16 y 1/4 son 8, 4, 2, 1, 1/2.

Pregunta 3. Inserta 5 medias geométricas entre 32/9 y 81/2.

Solución:

Sean las cinco medias geométricas A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Ahora, estos 5 términos se suman entre el 32/9 y el 81/2.

Entonces el GP se convierte en 32/9, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , 81/2 con el primer término (a) = 32/9, número de términos (n) = 7 y séptimo término ( a 7 ) = 81/2.

Sabemos que el término n de un GP está dado por n = ar n-1 , donde r es la razón común.

=> un 7 = 81/2

=> (32/9)(r 7-1 ) = 81/2

=> r6 = (81×9)/(2×32)

=> r 6 = (3/2) 6

=> r = 3/2

Entonces, las medias geométricas son:

A1 = ar = (32/9)×(3/2) = 16/3

A 2 = ar 2 = (32/9) × (3/2) 2 = 8

A 3 = ar 3 = (32/9) × (3/2) 3 = 12

A 4 = ar 4 = (32/9) × (3/2) 4 = 18

A 5 = ar 5 = (32/9) × (3/2) 5 = 27

Por tanto, las 5 medias geométricas entre 32/9 y 81/2 son 16/3, 8, 12, 18, 27.

Pregunta 4. Encuentra las medias geométricas de los siguientes pares de números:

(yo) 2 y 8

(ii) a 3 b y ab 3

(iii) -8 y -2

Solución:

Sabemos que la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt{ab} .

(yo) 2 y 8

Aquí, a = 2 y b = 8

Entonces, GM = \sqrt{2(8)}

= \sqrt{16}

= 4

(ii) a 3 b y ab 3

Aquí, a = a 3 b y b = ab 3

Entonces, GM = \sqrt{a^3b×ab^3}

= \sqrt{a^4b^4}

= un 2 segundo 2

(iii) -8 y -2

Aquí, a = –8 y b = –2

GM = \sqrt{(-8)×(-2)}

= \sqrt{16}

= 4

Pregunta 5. Si a es el GM de 2 y 1/4 encuentra a.

Solución:

Sabemos que la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt{ab}.

Según la pregunta,

un = \sqrt{2×(1/4)}

= \sqrt{1/2}

= \frac{1}{\sqrt{2}}

Por lo tanto, el valor de a es \frac{1}{\sqrt{2}} .

Pregunta 6. Encuentra los dos números cuyo AM es 25 y GM es 20.

Solución:

Conocemos la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt{ab} y la media aritmética entre dos números, a y b está dada por (a+b)/2.

Según la pregunta,

=>  \sqrt{ab} = 20 ……. (1)

Y

=> (a+b)/2 = 25

=> a+b = 50

=> b = 50–a ……. (2)

De (1) y (2), obtenemos,

=>  \sqrt{a(50-a)} = 20

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos,

=> a(50 –a) = 400

=> un 2 – 50a + 400 = 0

=> un 2 – 40a–10a+400 = 0

=> a(a– 40) – 10(a– 40) = 0

=> (a-40) (a-10) = 0

=> a = 40 o a = 10

Poniendo esto en (2) obtenemos,

Cuando a = 40, entonces b = 10 y 

Cuando a = 10, entonces b = 40.

Por lo tanto, los números son 10 y 40.

Pregunta 7. Construye una cuadrática en x tal que AM de sus raíces sea A y GM sea G.

Solución:

Supongamos que las raíces de la ecuación cuadrática son a y b.

Conocemos la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt{ab} y la media aritmética entre dos números, a y b está dada por (a+b)/2.

Según la pregunta,

AM de raíces = (a+b)/2 = A

a + b = 2A ….. (1) 

Y GM de raíces =  \sqrt{ab} = G

ab = sol 2  … (2)

Ahora, sabemos que una ecuación cuadrática en x con raíces a y b está dada por,

x2 – (a+b)x + (ab) = 0

De (1) y (2), obtenemos,

x2 – 2Ax + G2 =  0

Por lo tanto, la ecuación cuadrática requerida es x 2 – 2Ax + G 2 = 0.

Pregunta 8. La suma de dos números es 6 veces su media geométrica. Demostrar que los números están en razón (3+2\sqrt{2}):(3-2\sqrt{2})

Solución:

Sean los dos números a y b. Sabemos que la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt[]{ab}.

Según la pregunta,

=> a+b = 6\sqrt{(ab)}

=>  \frac{a+b}{2\sqrt{(ab)}} = \frac{3}{1}

Aplicando Componendo y Dividendo en ambos lados, obtenemos,

=>  \frac{a+b+2\sqrt{(ab)}}{a+b-2\sqrt{(ab)}} = \frac{3+1}{3-1}

=>  \left[\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right]^2 = \frac{2}{1}

=>  \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{2}}{1}

Aplicando nuevamente Componendo y Dividendo en ambos lados, obtenemos,

=>  \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}

=>  \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}

=>  \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

=>  \frac{a}{b} = \left[\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right]^2

=>  \frac{a}{b} = \frac{2+1+2\sqrt{2}}{2+1-2\sqrt{2}}

=>  \frac{a}{b} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}

Por lo tanto probado.

Pregunta 9. Si AM y GM de raíces de una ecuación cuadrática son 8 y 5 respectivamente, entonces obtenga la ecuación cuadrática.

Solución:

Supongamos que las raíces de la ecuación cuadrática son a y b.

Conocemos la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt{ab} y la media aritmética entre dos números, a y b está dada por (a+b)/2.

Según la pregunta,

AM de raíces = (a+b)/2 = 8

a+b = 16 ….. (1)

Y GM de raíces =  \sqrt{ab} = 5

ab = 25 .… (2)

Ahora, la ecuación cuadrática con raíces a y b está dada por,

x2 – (a+b)x + (ab) = 0

De (1) y (2), obtenemos,

x 2 – 16x + 25 = 0

Por lo tanto, la ecuación cuadrática requerida es x 2 – 16x + 25 = 0.

Pregunta 10. Si AM y GM de los dos números positivos a y b son 10 y 8 respectivamente. Encuentra los números.

Solución:

Conocemos la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt{ab} y la media aritmética entre dos números, a y b está dada por (a+b)/2.

Según la pregunta,

=>  \sqrt{ab} = 8 ……. (1)

Y,

=> (a+b)/2 = 10

=> a+b = 20

=> b = 20–a ……. (2)

De (1) y (2), obtenemos,

=>  \sqrt{a(20-a)} = 8

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos,

=> a(20–a) = 64

=> un 2 –20a+64 = 0

=> un 2 –16a–4a+64 = 0

=> a(a–16) – 4(a–16) = 0

=> (a–4) (a–16) = 0

=> a = 4 o a = 16

Poniendo a = 4 en (2), obtenemos b = 16. Y,

Poniendo a = 16 en (2), obtenemos b = 4.

Por lo tanto, los números son 4 y 16.

Pregunta 11. Demostrar que el producto de n medias geométricas entre dos cantidades es igual a la n-ésima potencia de la media geométrica de esas dos cantidades.

Solución:

Supongamos que tenemos un GP con primer término a, razón común r y número de términos n.

Tenemos que sumar estos n términos de GP entre dos cantidades tal que se mantenga el GP. Así que el número total de términos se convierte en (n+2).

Sabemos que el término n de un GP está dado por a n = ar n-1 .

Entonces, el último término del GP, es decir, (n+2) el término será, a n+2 = ar n+2-1 = ar n+1  

Sabemos que la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt{ab}.

El GM de a y ar n+1 será, G 1 =  \sqrt{a(ar^{n+1})} = \left(a^2r^{n+1}\right)^{\frac{1}{2}}   

Por lo tanto, LHS =  =  G^n_1\left(a^2r^{n+1}\right)^{\frac{n}{2}}

Ahora, RHS = Producto de n medias geométricas entre estas dos cantidades, G 2 = ar × ar 2 × . . . . × ar n

= a^nr^{1+2+....+n}

= a^nr^{\frac{n(n+1)}{2}}

= \left[a^2r^{n+1}\right]^{\frac{n}{2}}

= G^n_1

= LHS

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 12: Si el AM de dos números positivos a y b (a>b) es el doble de su media geométrica. Demostrar que a:b = (2+\sqrt{3}):(2-\sqrt{3})

Solución:

Conocemos la media geométrica entre dos números, a y b está dada por  \sqrt{ab} y la media aritmética entre dos números, a y b está dada por (a+b)/2.

Según la pregunta,

AM = 2 (GM)

=>  \frac{a+b}{2} = 2\sqrt{ab}

=>  \frac{a+b}{2\sqrt{(ab)}}  = \frac{2}{1}

Aplicando Componendo y Dividendo en ambos lados, obtenemos,

=>  \frac{a+b+2\sqrt{(ab)}}{a+b-2\sqrt{(ab)}} = \frac{2+1}{2-1}

=>  \left[\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right]^2 = \frac{3}{1}

=>  \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}= \frac{\sqrt{3}}{1}

Aplicando nuevamente Componendo y Dividendo en ambos lados, obtenemos,

=>  \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}= \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}

=>  \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}= \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}

=>  \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

=>  \frac{a}{b} = \left[\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right]^2

=>  \frac{a}{b} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{3+1-2\sqrt{3}}

=>  \frac{a}{b} = \frac{4+2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}

=>  \frac{a}{b} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}

Por lo tanto, probado.

Pregunta 13. Si se insertan un AM, A y dos medias geométricas G 1 y G 2 entre dos números positivos cualesquiera, demuestre que \frac{G^2_1}{G_2}+\frac{G^2_2}{G_1} = 2A

Solución:

Sean a y b los dos números positivos.

Ahora valor de un AM entre a y b, A = (a+b)/2.

Entonces, 2A = a+b. . . . (1) 

Si sumamos dos medias geométricas entre ayb, el GP se convierte en a,G 1 ,G 2 ,b.

Ahora sabemos que b = ar 4-1 , donde r es la razón común.

=> r 3 = \frac{b}{a}

=> r = \left[\frac{b}{a}\right]^{\frac{1}{3}}

Entonces, G 1 = ar =  a\left[\frac{b}{a}\right]^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}

G 2 = ar 2 =  a\left[\frac{b}{a}\right]^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}

Ahora, LHS = \frac{G^2_1}{G_2}+\frac{G^2_2}{G_1}

= \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}}+\frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}

= ab 0 + a 0 b

= a+b

= 2A [De (1)]

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *