Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables – Ejercicio 3.5 | conjunto 3

Pregunta 27. Para qué valor de a, el siguiente sistema de la ecuación no tiene solución:

hacha + 3y = a − 3

12x + ay = a

Solución: 

hacha + 3y = a − 3  

12x + ay = a

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = a, b1 = 3, c1 = – (a − 3) 

a2 = 12, b2 = un, c2 = – un

Para una solución única, tenemos

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

a/12 = 3/a ≠ -(a – 3)/-a

 a-3 ≠ 3

 un ≠ 6

Y,

a/12 = 3/a

un ² = 36

a = + 6 o – 6?

a ≠ 6, a = – 6

Por lo tanto, cuando a = -6, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá solución.

Pregunta 28. Encuentra el valor de a, para el cual el siguiente sistema de ecuación tiene

(i) Solución única

(ii) Sin solución

kx + 2y = 5

3x + y = 1

Solución: 

kx + 2y − 5 = 0

3x + y − 1 = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = k, b1 = 2, c1 = −5 

a2 = 3, b2 = 1, c2 = −1

(i) Para solución única, tenemos

a1/a2 ≠ b1/b2

k/3 ≠ 2

k ≠ 6

Por lo tanto, cuando k ≠ 6 el conjunto de ecuaciones dado tendrá solución única.

(ii) Para ninguna solución, tenemos

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

k/3 = 2/1 ≠ -5/-1

k/3 = 2/1 

k = 6

Por lo tanto, cuando k = 6, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá solución.

Pregunta 29. Para qué valor de c, el siguiente sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones (donde c ≠ 0 c ≠ 0):

6x + 3y = c − 3

12x + cy = c

Solución: 

6x + 3y − (c − 3) = 0  

12x + cy − c = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 6, b1 = 3, c1 = −(c − 3) 

a2 = 12, b2 = c, c2 = – c

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

6/12 = 3/c = -(c + 3)/-c

6/12 = 3/c y 3/c = -(c + 3)/-c 

c = 6 y c – 3 = 3

c = 6 y c = 6

Por lo tanto, cuando c = 6, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.

Pregunta 30. Encuentra el valor de k, para el cual el siguiente sistema de ecuación tiene

(i) Solución única

(ii) Sin solución

(iii) Infinitamente muchas soluciones

2x + ky = 1

3x − 5y = 7

Solución: 

2x + ky = 1

3x − 5y = 7

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2, b1 = k, c1 = −1 

a2 = 3, b2 = −5, c2 = −7

(i) Para solución única, tenemos

a1/a2 ≠ b1/b2

2/3 ≠ -k/-5 ≠ -10/3

Por lo tanto, cuando k ≠ -10/3 el conjunto de ecuaciones dado tendrá solución única.

(ii) Para ninguna solución, tenemos

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

2/3 = k/-5 ≠ -1/-7

2/3 = k/-5 y k/-5 ≠ -1/-7

k = -10/3 y k ≠ -5/7

k = -10/3

Por lo tanto, cuando k = -10/3, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá solución.

(iii) Para que el sistema dado tenga infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/3 = k/-5 = -1/-7

Claramente a1/a2 ≠ c1/c2

Por eso. no hay valor de k para el cual el conjunto dado de ecuaciones tenga infinitas soluciones.

Pregunta 31. Para qué valor de k, el siguiente sistema de ecuación representará las rectas coincidentes:

x + 2y + 7 = 0

2x + ky + 14 = 0

Solución: 

x + 2y + 7 = 0  

2x + ky + 14 = 0  

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0   

a2x + b2y − c2 = 0  

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 1, b1 = 2, c1 = 7 

a2 = 2, b2 = k, c2 = 14

El sistema de ecuación dado representará la coincidencia

rectas si tienen infinitas soluciones

Asi que, 

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

1/2 = 2/k = 7/14

1/2 = 2/k = 7/14

k = 4

Por lo tanto, cuando k = 4, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.

Pregunta 32. Encuentra el valor de k, para el cual el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución única:

hacha + por = c,

lx + mi = norte

Solución: 

hacha + por – c = 0

lx + mi − n = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = a, b1 = segundo, c1 = − c

a2 = l, b2 = metro, c2 = – norte

Para una solución única, tenemos

a1/a2 ≠ b1/b2

a/l ≠ b/m

soy ≠ bl

Por lo tanto, cuando am ≠ bl el conjunto de ecuaciones dado tendrá solución única.

Pregunta 33. Encuentra el valor de a y b tal que el siguiente sistema de ecuación lineal tenga infinitas soluciones:

(2a − 1)x + 3y − 5 = 0,

3x + (b − 1)y − 2 = 0

Solución: 

Dado que, 

(2a − 1)x + 3y − 5 = 0 

3x + (b − 1)y − 2 = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a2 = 3, b2 = segundo − 1, c2 = −2

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

(2a – 1)/3 = 3/(b – 1) = -5/-2

(2a – 1)/3 = 3/(b – 1) y 3/(b – 1) = -5/-2 

2(2a − 1) = 15 y 6 = 5(b − 1)

4a − 2 = 15 y 6 = 5b − 5 

4a = 17 y 5b = 11

Entonces, a = 17/4 y b = 11/5

Pregunta 34. Encuentra el valor de a y b tal que el siguiente sistema de ecuación lineal tenga infinitas soluciones:

2x − 3y = 7,

(a + b)x – (a + b – 3)y = 4a + b

Solución: 

Dado que, 

2x − 3y − 7 = 0

(a + b)x − (a + b − 3)y − (4a + b) = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2, b1 = −3, c1 = −7 

a2 = (a + b), b2 = −(a + b − 3), c2 = −(4a + b)

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/(a + b) = -3/-(a + b – 3) = -7/-(4a + b)

2/(a + b) = -3/-(a + b – 3) y -3/-(a + b – 3) = -7/-(4a + b)

2(a + b − 3) = 3(a + b) y 3(4a + b) = 7(a + b − 3)

2a + 2b − 6 = 3a + 3b y 12a + 3b = 7a + 7b − 21

a + b = −6 y 5a − 4b = −21

un = – 6 – segundo

Sustituyendo el valor de a en 5a − 4b = −21, y obtendremos,

5( -b – 6) – 4b = -21

− 5b − 30 − 4b = − 21

9b = − 9 ⇒ segundo = −1

Como a = – 6 – b

un = − 6 + 1 = − 5

Entonces, a = – 5 yb = –1.

Pregunta 35. Encuentra el valor de p y q tal que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tenga infinitas soluciones:

2x − 3y = 9,

(p + q)x + (2p − q)y = 3(p + q + 1)

Solución: 

Dado que, 

2x − 3y − 9 = 0

(p + q)x + (2p − q)y − 3(p + q + 1) = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2, b1 = 3, c1 = −9 

a2 = (p + q), b2 = (2p − q), c2 = -3(p + q + 1)

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/(p + q) = 3/(2p – q) = -9/-3(p + q + 1)

2/(p + q) = 3/(2p – q) y 3/(2p – q) = -9/-3(p + q + 1)

2(2p – q) = 3(p + q) y (p + q + 1) = 2p – q

4p – 2q = 3p + 3q y -p + 2q = -1

p = 5q yp – 2q = 1

Sustituyendo el valor de p en p – 2q = 1, tenemos

3q = 1

q = 1/3

Sustituyendo el valor de p en p = 5q tenemos

p = 5/3

Entonces, p = 5/3 y q = 1/3 .

Pregunta 36. Encuentra los valores de a y b para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones:

(i) (2a − 1)x + 3y = 5,

3x + (b − 2)y = 3

(ii) 2x − (2a + 5)y = 5,

(2b + 1)x − 9y = 15

(iii) (a − 1)x + 3y = 2,

6x + (1 − 2b)y = 6

(iv) 3x + 4y = 12,

(a + b)x + 2(a − b)y = 5a – 1

(v) 2x + 3y = 7,

(a – 1)x + (a + 1)y = 3a – 1

(vi) 2x + 3y = 7,

(a – 1)x + (a + 2)y = 3a

(vii) 2x + 3y = 7,

(a – b)x + (a + b)y = 3a + b + 2

(viii) x + 2y = 1,

(a − b)x + (a + b)y = a + b – 2

(ix) 2x + 3y = 7,

2ax + ay = 28 – por

Solución: 

(i) Dado que, 

(2a − 1)x + 3y − 5 = 0

3x + (b − 2)y − 3 = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2a − 1, b1 = 3, c1 = −5 

a2 = 3, b2 = segundo − 2, c2 = -3(p + q + 1)

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

(2a – 1)/3 = -3/(b – 2) = -5/-3

(2a – 1)/3 = -3/(b – 2) y -3/(b – 2) = -5/-3 

2a – 1 = 5 y – 9 = 5(b – 2)

a = 3 y -9 = 5b – 10  

a = 3 y b = 1/5

Entonces, a = 3 y b = 1/5.

(ii) Dado que, 

2x − (2a + 5)y = 5

(2b + 1)x − 9y = 15

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2, b1 = – (2a + 5), c1 = −5 

a2 = (2b + 1), b2 = −9, c2 = −15

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/(2b + 1) = (-2a + 5)/-9 = -5/-15

2/(2b + 1) = (-2a + 5)/-9 y (-2a + 5)/-9 = -5/-15

6 = 2b + 1 y 2a + 5

3 = b = 5/2 y a = -1 

Entonces, a = – 1 y b = 5/2.

(iii) Dado que, 

(a – 1)x + 3y = 2

6x + (1 − 2b)y = 6

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = a – 1, b1 = 3, c1 = −2 

a2 = 6, b2 = 1 − 2b, c2 = −6

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

(a – 1)/6 = 3/(1 – 2b) = 2/6

(a – 1)/6 = 3/(1 – 2b) y 3/(1 – 2b) = 2/6

a – 1 = 2 y 1 – 2b = 9

a – 1 = 2 y 1 – 2b = 9  

a = 3 y b = -4

a = 3 y b = -4

Entonces, a = 3 y b = −4.

(iv) Dado que, 

3x + 4y − 12 = 0

(a + b)x + 2(a − b)y − (5a − 1) = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 3, b1 = 4, c1 = −12 

a2 = (a + b), b2 = 2(a − b), c2 = – (5a − 1)

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

3/(a + b) = 4/2(a – b) = 12/(5a – 1)

3/(a + b) = 4/2(a – b) y 4/2(a – b) = 12/(5a – 1)

3(a – b) = 2a + 2b y 2(5a – 1) = 12(a – b)

a = 5b y -2a = -12b + 2

Al sustituir a = 5b en -2a = -12b + 2, tenemos

-2(5b) = -12b + 2

−10b = −12b + 2 ⇒ segundo = 1

Así a = 5

Entonces, a = 5 y b = 1.

(v) Dado que, 

2x + 3y − 7 = 0

(a – 1)x + (a + 1)y – (3a – 1) = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2, b1 = 3, c1 = −7 

a2 = (a − 1), b2 = (a + 1), c2 = – (3a − 1)

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/(a – b) = 3/(a + 1) = -7/(3a – 1)

2/(a – b) = 3/(a + 1) y 3/(a + 1) = -7/(3a – 1)  

2(a + 1) = 3(a – 1) y 3(3a – 1) = 7(a + 1)

2a – 3a = -3 – 2 y 9a – 3 = 7a + 7

a = 5 y a = 5

Entonces, a = 5 y b = 1.

(vi) Dado que, 

2x + 3y − 7 = 0

(a – 1)x + (a + 2)y – 3a = 0

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2, b1 = 3, c1 = −7 

a2 = (a − 1), b2 = (a + 2), c2 = −3a

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/(a – b) = 3/(a + 2) = -7/-3a

2/(a – b) = 3/(a + 2) y 3/(a + 2) = -7/-3a

2(a + 2) = 3(a – 1) y 3(3a) = 7(a + 2)

2a + 4 = 3a – 3 y 9a = 7a + 14

a = 7 y a = 7

Entonces, a = 7 y b = 1.

(vii) 2x + 3y – 7 = 0, …(1)

(a – b)x + (a + b)y – 3a – b + 2 = 0 …(2)

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2, b1 = 3, c1 = −7 

a2 = (a − b), b2 = (a + b), c2 = −(3a + b – 2)

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/(a – b) = 3/(a + b) = -7/−(3a + b – 2)

2/(a – b) = 3/(a + b) y 3/(a + b) = -7/−(3a + b – 2)

2(a + b) = 3(a – b) y 3(3a + b – 2) = 7(a + b)

2a + 2b = 3a – 3b y 9a + 3b – 6 = 7a + 7b

Entonces, a = 5 y b = 1.

(viii) x + 2y – 1 = 0 …(1)

(a − b)x + (a + b)y – a – b + 2 = 0 …(2)

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 1, b1 = 2, c1 = −1 

a2 = (a − b), b2 = (a + b), c2 = −(a + b – 2)

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

1/(a – b) = 2/(a + b) = -1/−(a + b – 2)

1/(a – b) = 2/(a + b) y 2/(a + b) = -1/−(a + b – 2)

(a + b) = 2(a – b) y 2(a + b – 2) = (a + b)

a + b = 2a – 2b y 2a + 2b – 4 = a + b

Entonces, a = 3 y b = 1.

(ix) 2x + 3y – 7 = 0 …(1)

2ax + ay – 28 + by = 0 …(2)

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = 2, b1 = 3, c1 = −7 

a2 = 2a, b2 = (a + b), c2 = −28

Para infinitas soluciones, tenemos

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/2a = 3/(a + b) = -7/−28

2/2a = 3/(a + b) y 3/(a + b) = 7/28

2(a + b) = 6a y 84 = 7(a + b)

Entonces, a = 4 y b = 8.

Pregunta 37. ¿Para qué valor(es) de λ, el par de ecuaciones lineales λx + y = λ ² y x + λy = 1 tienen

(i) no hay solución?

(ii) infinitas soluciones?

(iii) una solución única? 

Solución: 

Dado que, 

λx + y = λ2

x + λy = 1

Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:

a1x + b1y − c1 = 0  

a2x + b2y − c2 = 0

Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos

a1 = λ, b1 = 1, c1 = -λ ² 

a2 = 1, b2 = λ, c2 = -λ ² 

(i) Para ninguna solución,

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

λ = 1/λ ≠ -λ ² /-1

λ ² – 1 = 0

λ = 1, -1

Aquí tomaremos solo λ = -1 porque en λ = 1 el lineal 

ecuación tendrá infinitas soluciones.

(ii) Para infinitas soluciones,

 a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

λ = 1/λ = λ ² /1

λ(λ – 1) = 0

Cuando λ ≠ 0 entonces λ = 1

(iii) Para la solución única,

a1/a2 ≠ b1/b2

λ ≠ 1/λ