Comprobar si un punto está dentro, fuera o sobre la parábola

Dada una parábola con vértice (h, k) , y  , la distancia entre el foco y el vértice. La tarea es determinar si el punto (x, y) está dentro, fuera o sobre la parábola.
Ejemplos : 
 

Input: h = 100, k = 500, x = 20, y = 10, a = 4 
Output: Outside

Input: h = 0, k = 0, x = 2, y = 1, a = 4
Output: Inside

Enfoque : es muy simple, solo tenemos que resolver la ecuación para el punto (x, y):
 

(yk)^2 = 4a(xh) 
o, (yk)^2 – 4a(xh) = 0 
 

Después de resolver, si el resultado es menor que 0 , entonces el punto se encuentra dentro , de lo contrario, si es exactamente 0 , entonces el punto se encuentra en la parábola , y si el resultado es mayor que 0 , el punto se encuentra fuera de la parábola . 
Aquí estamos tomando una parábola cuyo eje de simetría es y = k , aunque el enfoque es aplicable para cualquier parábola.
A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior: 
 

// C++ Program to check if the point
// lies within the parabola or not
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
// Function to check the point
int checkpoint(int h, int k, int x, int y, int a)
{
 
    // checking the equation of
    // parabola with the given point
    int p = pow((y - k), 2) - 4 * a * (x - h);
 
    return p;
}
 
// Driver code
int main()
{
    int h = 0, k = 0, x = 2, y = 1, a = 4;
 
    if (checkpoint(h, k, x, y, a) > 0)
        cout << "Outside" << endl;
 
    else if (checkpoint(h, k, x, y, a) == 0)
        cout << "On the parabola" << endl;
 
    else
        cout << "Inside" << endl;
 
    return 0;
}

// Java Program to check if the point
// lies within the parabola or not
 
class solution
{
 
// Function to check the point
static int checkpoint(int h, int k, int x, int y, int a)
{
    // checking the equation of
    // parabola with the given point
    int p =(int) Math.pow((y - k), 2) - 4 * a * (x - h);
 
    return p;
}
 
//driver code
public static void main(String arr[])
{
 
    int h = 0, k = 0, x = 2, y = 1, a = 4;
 
    if (checkpoint(h, k, x, y, a) > 0)
    System.out.println("Outside");
 
    else if (checkpoint(h, k, x, y, a) == 0)
    System.out.println("On the parabola");
 
    else
    System.out.println("Inside");
 
}
}

# Python3 Program to check if the point
# lies within the parabola or not
 
#  Function to check the point
def checkpoint(h, k, x, y, a):
 
    # checking the equation of
    # parabola with the given point
    p = pow((y - k), 2) - 4 * a * (x - h)
 
    return p
 
# Driver code
if __name__ == "__main__" :
     
    h = 0
    k = 0
    x = 2
    y = 1
    a = 4
 
    if checkpoint(h, k, x, y, a) > 0:
        print ("Outside\n")
 
    elif checkpoint(h, k, x, y, a) == 0:
        print ("On the parabola\n")
 
    else:
        print ("Inside\n");
         
# This code is contributed by
# Surendra_Gangwar

// C# Program to check if the point
// lies within the parabola or not
using System;
 
class GFG
{
 
// Function to check the point
public static int checkpoint(int h, int k,
                             int x, int y,
                             int a)
{
    // checking the equation of
    // parabola with the given point
    int p = (int) Math.Pow((y - k), 2) -
                            4 * a * (x - h);
 
    return p;
}
 
// Driver code
public static void Main(string[] arr)
{
    int h = 0, k = 0,
        x = 2, y = 1, a = 4;
 
    if (checkpoint(h, k, x, y, a) > 0)
    {
        Console.WriteLine("Outside");
    }
 
    else if (checkpoint(h, k, x, y, a) == 0)
    {
        Console.WriteLine("On the parabola");
    }
 
    else
    {
        Console.WriteLine("Inside");
    }
}
}
 
// This code is contributed
// by Shrikant13

<?php
// PHP Program to check if
// the point lies within
// the parabola or not
 
// Function to check the point
function checkpoint($h, $k, $x,
                        $y, $a)
{
 
    // checking the equation of
    // parabola with the given point
    $p = pow(($y - $k), 2) - 4 *
              $a * ($x - $h);
 
    return $p;
}
 
// Driver code
$h = 0; $k = 0; $x = 2;
$y = 1; $a = 4;
 
if (checkpoint($h, $k, $x,
               $y, $a) > 0)
    echo "Outside";
else if (checkpoint($h, $k, $x,
                    $y, $a) == 0)
    echo "On the parabola";
else
    echo "Inside";
 
// This code is contributed
// by inder_verma
?>

<script>
 
// javascript Program to check if the point
// lies within the parabola or not
 
// Function to check the point
function checkpoint(h , k , x , y , a)
{
    // checking the equation of
    // parabola with the given point
    var p =parseInt(Math.pow((y - k), 2) - 4 * a * (x - h));
 
    return p;
}
 
//driver code
var h = 0, k = 0, x = 2, y = 1, a = 4;
 
if (checkpoint(h, k, x, y, a) > 0)
    document.write("Outside");
 
else if (checkpoint(h, k, x, y, a) == 0)
    document.write("On the parabola");
 
else
    document.write("Inside");
 
// This code is contributed by 29AjayKumar
 
</script>

Inside

Complejidad de tiempo: O(1)

Espacio Auxiliar: O(1)