Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Permutaciones – Ejercicio 16.1

Pregunta 1. Calcula:

(yo) 30!/28!

(ii) (¡11! – ¡10!)/9!

(iii) MCM (6!, 7!, 8!)

Solución:

(yo) 30!/28!

Lo sabemos,

¡norte! = n(n-1)!

Por lo tanto, 30! = 30 × 29! = 30 × 29 × 28!

30!/28! = (30 × 29 × 28!)/28!

= 30 × 29 = 870

(ii) (¡11! – ¡10!)/9!

Lo sabemos,

¡norte! = n(n-1)!

Por lo tanto,

11! = 11 × 10! =11 × 10 × 9!

10! = 10 × 9!

Usando estos valores, obtenemos

(¡11! – ¡10!)/9! = (11 × 10 × 9! – 10 × 9!)/ 9!

= 9! (110 – 10)/9!

= 110 – 10

= 100

(iii) MCM (6!, 7!, 8!)

Lo sabemos,

8! = 8 × 7 × 6!

7! = 7 × 6!

6! = 6!

Asi que,

MCM de 6!, 7!, 8! = MCM [8 × 7 × 6!, 7 × 6!, 6!]

= 8 × 7 × 6!

= 8!

Pregunta 2. Demuestra que: 1/9! + 1/10! + 1/11! = 122/11!

Solución:

Dado:

1/9! + 1/10! + 1/11! = 122/11!

 IZQ: 1/9! + 1/10! + 1/11!

Usando n = n(n-1)!

1/9! + 1/10! + 1/11! = 1/9! + 1/(10×9!) + 1/(11×10×9!)

= (110 + 11 + 1)/(11 × 10 × 9!)

= 122/11!

= lado derecho

Por lo tanto, RHS = LHS

Por lo tanto, probado.

Pregunta 3. Encuentra x en cada uno de los siguientes:

(yo) 1/4! + 1/5! = x/6!

(ii) x/10! = 1/8! + 1/9!

(iii) 1/6! + 1/7! = x/8!

Solución:

(yo) 1/4! + 1/5! = x/6!

Lo sabemos

5! = 5 × 4!

6! = 6 × 5!

Así que usando estos valores

1/4! + 1/5! = x/6!

1/4! + 1/(5×4!) = x/(6×5!)

(5 + 1) / (5×4!) = x/(6×5!)

6/5! = x/(6×5!)

x = (6 × 6 × 5!)/5!

= 36

∴ x = 36.

(ii) x/10! = 1/8! + 1/9!

Lo sabemos

10! = 10 × 9!

9! = 9 × 8!

 Usando estos valores, obtenemos

x/10! = 1/8! + 1/9!

x/10! = 1/8! + 1/(9×8!)

x/10! = (9 + 1) / (9×8!)

x/10! = 10/9!

x/(10×9!) = 10/9!

x = (10 × 10 × 9!)/9!

= 10 × 10

= 100

∴ x = 100.

(iii) 1/6! + 1/7! = x/8!

Lo sabemos

8! = 8 × 7 × 6!

7! = 7 × 6!

Así que usando estos valores,

1/6! + 1/7! = x/8!

1/6! + 1/(7×6!) = x/8!

(1 + 7)/(7×6!) = x/8!

8/7! = x/8!

8/7! = x/(8×7!)

x = (8 × 8 × 7!)/7!

= 8 × 8

= 64

∴ El valor de x es 64.

Pregunta 4. Convierte los siguientes productos en factoriales:

(yo) 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10

(ii) 3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ 15 ⋅ 18

(iii) (n + 1) (n + 2) (n + 3) …(2n)

(iv) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 … (2n – 1)

Solución:

(yo) 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10

Podemos reescribir la expresión anterior como:

5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 = (1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)/(1×2×3×4)

= 10!/4!

(ii) 3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ 15 ⋅ 18

Podemos reescribir la expresión anterior como:

3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ 15 ⋅ 18 = (3×1) × (3×2) × (3×3) × (3×4) × (3×5) × (3×6)

= 3 6 (1×2×3×4×5×6)

= 3 6 (6!)

(iii) (n + 1) (n + 2) (n + 3) … (2n)

Podemos reescribir la expresión anterior como:

(n + 1) (n + 2) (n + 3) … (2n) = [(1) (2) (3) ..(n) … (n + 1) (n + 2) (n + 3 ) … (2n)] / (1) (2) (3) .. (n)

= (2n)!/n!

(iv) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 … (2n – 1)

Podemos reescribir la expresión anterior como:

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 … (2n – 1) = [(1) (3) (5) … (2n-1)] [(2) (4) (6) … (2n)] / [ (2) (4) (6) … (2n)]

Saca 2 de cada termino del denominador

= [(1) (2) (3) (4) … (2n-1) (2n)] / 2 [(1) (2) (3) … (n)]

= (2n)! / 2n!

Pregunta 5. ¿Cuáles de los siguientes son verdaderos:

(yo) (2 + 3)! = 2! + 3!

(ii) (2 × 3)! = 2! × 3!

Solución:

(yo) (2 + 3)! = 2! + 3!

 LHS:

(2 + 3)! = 5!

lado derecho,

2! + 3! = (2×1) + (3×2×1)

= 2 + 6

= 8

IZQ ≠ DERECHO

∴ La expresión dada es falsa.

(ii) (2 × 3)! = 2! × 3!

 LHS:

(2×3)! = 6!

= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 720

 lado derecho,

2! × 3! = (2×1) × (3×2×1)

= 12

IZQ ≠ DERECHO

∴ La expresión dada es falsa.

Pregunta 6. Demuestre que: n! (n + 2) = n! + (n + 1)!

Solución:

Dado:

¡norte! (n + 2) = n! + (n + 1)!

Método -1 (convertir RHS a LHS)

RHS = n! + (n + 1)!

¡norte! + (n + 1)! = n! + (n + 1) (n)!

= n!(1 + n + 1)

= n! (n + 2)

= LHS

LHS = RHS

Por lo tanto, Probado.

Método – 2 (conversión de LHS a RHS)

IZQ = n! (n + 2)

¡norte! (n + 2) = n! (1 + norte + 1) 

= n!(1)+n!(n + 1)

= n! +(n + 1)!

= lado derecho

RHS = LHS 

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 7. Si (n + 2)! = 60[(n – 1)!], encuentre n.

Solución: 

Lo sabemos,

¡norte! = n(n-1)!

Al usar esta propiedad

(n + 2)! = 60[(n – 1)!]

(n + 2)(n + 1)(n)[(n – 1)!] = 60[(n – 1)!]

(n + 2)(n + 1)(n) = 60

(n + 2)(n + 1)(n) = 5 × 4 × 3

Al comparar ambos lados, obtenemos

 norte = 3

∴ norte = 3

Pregunta 8. Si (n + 1)! = 90[(n – 1)!], encuentre n.

Solución:

Lo sabemos,

¡norte! = n(n-1)!

Al usar esta propiedad

(n + 1)! = 90[(n – 1)!]

(n + 1)(n)[(n – 1)!] = 90[(n – 1)!]

(n + 1)(n) = 90

(n + 1)(n) = 10 × 9

Al comparar ambos lados, obtenemos

norte = 9

∴ norte = 9

Pregunta 9. Si (n + 3)! = 56[(n + 1)!], encuentre n.

Solución:

Lo sabemos,

¡norte! = n(n-1)!

Al usar esta propiedad

(n + 3)! = 56[(n + 1)!]

(n + 3)(n+2)[(n + 1)!] = 56[(n + 1)!]

(n + 3)(n + 2) = 56

(n + 3)(n + 2) = 8 × 7

Al comparar ambos lados, obtenemos

norte + 2 = 7

∴ norte = 5

Pregunta 10. Si (2n)! / (3!(2n – 3)!) y n! / (2!(n – 2)!) están en la proporción 44:3, encuentre n.

Solución:

Vamos [(2n)! / (3!(2n – 3)!)] / [n! / (2!(n – 2)!) ] = 44/3 

[(2n)! × 2!(n – 2)!] / [3!(2n – 3)! × n!] = 44/3

[2n×(2n-1)×(2n-2)×(2n-3)!×2!×(n-2)!] / [3!×(2n-3)!×n×(n-1 )×(n-2)!] = 44/3

(2n×(2n-1)×2(n-1))/(3×n×(n-1)) = 44/3

4(2n-1) = 44

2n-1 = 11

2n = 12

∴ norte = 6

Pregunta 11. Demostrar que:

¡en! / (nr)! = n(n-1)(n-2) . . . (n-(r-1))

ii) n! / ((nr)!r!) + n! / ((n-r+1)!(r-1)!) = (n+1)! / (r!(n-r+1)!)

Solución:

(¡en! / (nr)! = n(n-1)(n-2) . . . (n-(r-1))

LHS:

¡norte! / (nr)! = [n×(n-1)×(n-2) . . . (n-r+2)×(n-r+1)×(nr)!] / (nr)!

= n×(n-1)×(n-2). . . (n-r+2)×(n-r+1)

= n×(n-1)×(n-2). . . (n-(r-2))×(n-(r-1))

= n(n-1)(n-2). . . (n-(r-1))

= lado derecho

LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

(ii) n! / ((nr)!r!) + n! / ((n-r+1)!(r-1)!) = (n+1)! / (r!(n-r+1)!)

LHS:

¡norte! / ((nr)!r!) + n! / ((n-r+1)!(r-1)!) = n![(n-r+1) / ((n-r+1)!r!) + r / ((n-r+ 1)!r!) ]

= n![(n-r+1+r) / (n-r+1)!r!]

= n!(n+!)/[(n-r+1)!r!]

= (n+1)! / (r!(n-r+1)!)

= lado derecho

LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

Pregunta 12. Demuestre que: i) (2n+1)! / n! = 2[1.3.5. . . (2n – 1)(2n + 1)]

Solución:

LHS:

(2n+1)! / n! = [1×2×3×4 . . . (2n-2)×(2n-1)×(2n)×(2n+1)] / norte!

Separa los términos pares e impares en el numerador

= {[2×4 ×6 . . . (2n-2)×(2n)][1×3 ×5 . . . (2n-1)×(2n+1)]} / n!

Saca el factor de dos de todos los términos pares del numerador

= {2 [1×2×3. . . (n-1)×(n)] [1×3×5. . . (2n-1)×(2n+1)]} / n!

= {2n! [1×3×5. . . (2n-1)×(2n+1)]}/n!

= 2[1×3×5. . . (2n-1)×(2n+1)]

= lado derecho

LHS = RHS

Por lo tanto, probado.                        

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gunjeetajain910 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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