Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 13 Derivado como medidor de tasa – Ejercicio 13.2

Pregunta 1. El lado de una hoja cuadrada aumenta a razón de 4 cm por minuto. ¿A qué tasa aumenta el área cuando el lado mide 8 cm?

Solución:

Denote el lado de la hoja cuadrada con ‘a’, luego el área (A) de la hoja será de ² cm ² .

Se da que el lado crece a razón de 4 cm/min, es decir, $\frac{\mathrm{d}a }{\mathrm{d} t}$ = 4 cm/min

Ya que, A = a ²

^⇒ $\frac{\mathrm{d}A }{\mathrm{d} t}$ = 2a $\frac{\mathrm{d}a }{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}A }{\mathrm{d} t}$ = 2 x 8 x 4 [ Ya que, a=8 y $\frac{\mathrm{d}a }{\mathrm{d} t}$ = 4cm/min]

⇒ $\frac{\mathrm{d}A }{\mathrm{d} t}$ = 64 cm ² /min

Pregunta 2. La arista de un cubo variable crece a razón de 3 cm por segundo. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen del cubo cuando la arista mide 10 cm de largo?

Solución:

Denotemos la arista del cubo con el símbolo ‘a’ y el volumen del cubo con ‘V’.

Ahora, dado que la arista del cubo variable es creciente, es decir, $\frac{\mathrm{d}a }{\mathrm{d} t}$ = 3 cm/seg.

Ya que, V = a ³

⇒ $\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} t}$ = 3a ² $\frac{\mathrm{d}a }{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} t}$ = 3 x 10 x 10 x 3 [Ya que, a=10 y $\frac{\mathrm{d}a }{\mathrm{d} t}$ = 3 cm/seg]

⇒ $\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} t}$ = 900 cm ³ /seg

Pregunta 3. El lado de un cuadrado crece a razón de 0,2 cm/seg. Encuentre la tasa de aumento del perímetro del cuadrado.

Solución:

Sea el lado del cuadrado un cm y su perímetro (P) = 4a cm

Como se indica, el lado es creciente, es decir, $\frac{\mathrm{d}a }{\mathrm{d} t}$ = 0,2 cm/seg.

Ahora ya que, P = 4a

⇒ $\frac{\mathrm{d}P }{\mathrm{d} t}$ = 4 $\frac{\mathrm{d}a }{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}P }{\mathrm{d} t}$ = 4×0,2

⇒ $\frac{\mathrm{d}P }{\mathrm{d} t}$ = 0,8 cm/s

Pregunta 4. El radio de un círculo aumenta a razón de 0,7 cm/seg. ¿Cuál es la tasa de aumento de su circunferencia?

Solución:

Denotemos el radio del círculo por ‘r’ cm y su circunferencia esté dada por C = 2* $\pi$ *r

También dado, el radio aumenta, es decir, $\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t}$ = 0,7 cm/seg en cualquier momento t.

Tasa de aumento de su circunferencia = $\frac{\mathrm{d}C }{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}C }{\mathrm{d} t}$ = 2* $\pi*\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}C }{\mathrm{d} t}$ = 2 * 22/7 * 0,7

⇒ $\frac{\mathrm{d}C }{\mathrm{d} t}$ = 4,4 cm/s

Pregunta 5. El radio de una pompa de jabón esférica aumenta a razón de 0,2 cm/seg. Encuentre la tasa de aumento de su área superficial, cuando el radio es de 7 cm.

Solución:

Sea ‘r’ el radio del jabón esférico y su área de superficie (S) = 4 $\pi$ r ²

Además, dado que el radio aumenta, es decir, $\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t}$ = 0,2 cm/s

Por lo tanto, el aumento del área superficial en cualquier momento t viene dado por $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}$ = 4* $\pi$ *2r* $\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}$ = 8 * 22/7 * 7 * 0,2

⇒ $\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}$ = 35,2 cm ² /seg

Pregunta 6. Un globo que siempre permanece esférico, se infla bombeando 900 centímetros cúbicos de gas por segundo. Encuentre la tasa a la que aumenta el radio del globo cuando el radio es de 15 cm.

Solución:

Sea el radio del globo esférico denotado por ‘r’ y el volumen que se infla en \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = 900 cm ³ /seg

Ya que, V = $\frac{4}{3} \times \pi\times r^3$

⇒ $\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} t}$ = $\frac{4}{3} \times \pi\times 3r^2 \times \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} t}$ = $4 \times \pi\times r^2 \times \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ 900 = $4 \times \pi\times (15)^2 \times \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ 900 =900 $\pi\times \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{1}{\pi}$ cm/seg.

Pregunta 7. El radio de una burbuja de aire aumenta a razón de 0,5 cm/seg. ¿A qué tasa aumenta el volumen de la burbuja cuando el radio es de 1 cm?

Solución:

Sea ‘r’ el radio de la burbuja y V su volumen, donde V = $\frac{4}{3} \times \pi\times r^3$

Ahora, en cualquier momento t, el radio aumenta, es decir, $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ = 0,5 cm.seg.

Por lo tanto, $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 4 $\pi$ *r ² * $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 4 $\pi$ * (1) ² * 0,5

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 2 $\pi$ cm ³ /seg

Pregunta 8. Un hombre de 2 metros de altura camina a una velocidad uniforme de 5 km/h alejándose de un poste de luz de 6 metros de altura. Encuentre la tasa a la que aumenta la longitud de su sombra.

Solución:

Sea MN el poste de luz vertical de 6 metros de altura y en cualquier instante t, un hombre XY de 2 metros de altura esté parado frente al poste de luz a una distancia ‘m’ y sea ‘n’ la longitud de su sombra. Se puede ver en una figura como:

podemos notar $\triangle MNO \sim \triangle XYO$

⇒ $\frac{MN}{XY}$ = $\frac{NO}{YO}$

⇒ $\frac{6}{2}$ = $\frac{m+n}{n}$

⇒ 3n = metro + norte

⇒ metro = 2n

⇒ $\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}$ = 2 $\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{5}{2}$ km/h

Pregunta 9. Se deja caer una piedra en un lago tranquilo y las ondas se mueven en círculos a una velocidad de 4 cm/seg. En el instante en que el radio de la onda circular es de 10 cm, ¿con qué rapidez aumenta el área encerrada?

Solución:

Sea el radio de la onda circular denotado por ‘r’ y en cualquier instante t, su radio aumenta a $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ = 4 cm/seg.

Ahora, área de onda circular (A) = $\pi$ r ²

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 2 $\pi r\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 2* $\pi$ *10* 4

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 80 $\pi$ cm ² /seg

Pregunta 10. Un hombre de 160 cm de altura, se aleja de una fuente de luz situada en lo alto de un poste de 6 m de altura, a razón de 1,1 m/seg. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud de su sombra cuando está a 1 m del poste?

Solución:

Si el poste vertical de luz se denota por MN y el hombre por XY, entonces su posición con respecto a la lámpara se puede dibujar como se muestra en la figura:

podemos notar, $\triangle MNO \sim \triangle XYO$

⇒ $\frac{MN}{XY}$ = $\frac{NY}{YO}$

⇒ $\frac{6}{1.6}$ = $\frac{x+y}{y}$

⇒ $\frac{60}{16}$ = $\frac{x}{y}$ + 1

⇒ $\frac{x}{y}$ = $\frac{60-16}{16}$

⇒ $\frac{x}{y}$ = $\frac{44}{16}$

⇒ y = $\frac{16}{44}x$

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{16}{44}(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})$

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{16}{44}$ * 1.1

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = 0,4 m/s

Pregunta 11. Un hombre de 180 cm de altura camina a una velocidad de 2 m/seg. de distancia, de una fuente de luz que está a 9 m sobre el suelo. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud de su sombra cuando está a 3 m de la base de la luz?

Solución:

Sea MN el poste de luz vertical de 6 metros de altura y en cualquier instante t, un hombre XY de 2 metros de altura esté parado frente al poste de luz a una distancia ‘m’ y sea ‘n’ la longitud de su sombra. Se puede ver en una figura como:

podemos notar

$\triangle MNO$ ∼ $\triangle XYO$

⇒ $\frac{MN}{XY}$ = $\frac{NO}{YO}$

⇒ $\frac{9}{1.8}$ = $\frac{m+n}{n}$

⇒ metro = 4n

⇒ $\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}$ = 4 $\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{1}{4}$ x 2 [Ya que, $\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}$ = 2]

⇒ $\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$ = 0,5 m/s

Pregunta 12. Una escalera de 13 m de largo está apoyada contra una pared. El pie de la escalera se tira por el suelo alejándolo de la pared, a razón de 1,5 m/seg. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo θ entre la escalera y el suelo cuando el pie de la escalera está a 12 m de la pared?

Solución:

Sea y metros la altura de la pared que se apoya contra una pared y x metros la distancia del pie de la escalera desde la base de la pared.

podemos derivar tan θ = y/x ⇒ y = xtan θ

Además, usando el teorema de Pitágoras, x2 + y2 = (13)2

⇒ x ² + (x tan θ ) ² = 169

⇒ x ² (1+tan ² θ ) = 169

⇒ seg ² θ = 169/x ²

⇒ 2 seg θ . tan θ seg θ $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}$ = 169. $(\frac{-2}{x^3}) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{-338\times1.5}{12^3. 2 sec^2\theta \tan\theta}$ ………………(1)

Usando el Teorema de Pitágoras, cuando x=12, entonces y=5

Por lo tanto, sec θ = 13/12 y tan θ = 12/5

Entonces, la ecuación 1 se puede escribir como

⇒ $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{-338\times 1.5}{12^3 \times 2\times (\frac{13}{12})^2\times \frac{5}{12}}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}$ = -0,3 rad/s

Pregunta 13. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x ² + 2x. ¿En qué punto(s) de la curva las coordenadas x e y de la partícula cambian a la misma velocidad?

Solución:

Nos dan y = x ² + 2x

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = 2x $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ + 2 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = (2x+2) $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ 2x + 2 = 1 [Ya que, $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ ]

⇒ x = -1/2

Poniendo el valor de x en nuestra ecuación original, obtenemos y= -3/4

Por lo tanto, las coordenadas del punto son $\left ( \frac{-1}{2},\frac{-3}{4} \right )$

Pregunta 14. Si y = 7x – x ³ y x aumenta a razón de 4 unidades por segundo, ¿qué tan rápido cambia la pendiente de la curva cuando x = 2?

Solución:

Nos dan y = 7x – x ³

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ = 7 – ^3×2

Sea m la pendiente de la curva, entonces

⇒ m = 7 – 3x ²

⇒ $\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}$ = -6x $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}$ = -6x4x2

⇒ $\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}$ = -48

Por lo tanto, la pendiente de la curva disminuye a razón de 48 unidades/seg.

Pregunta 15. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x3. Encuentre los puntos de la curva en los que la coordenada y cambia tres veces más rápido que la coordenada x.

Solución:

Nos dan y = x ³

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = ^3×2 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

Además, el punto en la coordenada y cambia 3 veces más rápido que la coordenada x, por lo tanto

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = 3 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ 3 ⁼ $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ 3×2 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒x2 = ¹

⇒x = ±1

Sustituyendo el valor de x en y = x ³ , obtenemos y = ±1

Entonces, los puntos son (1,1) y (-1,-1).

Pregunta 16 (i) ¿Encuentre un ángulo θ que aumente el doble de rápido que su coseno?

(ii) Encuentre un ángulo θ cuya tasa de aumento dos veces sea el doble de la tasa de disminución de su coseno.

Solución:

(i) Sea x = cos∅

Derivando ambos lados con respecto a t, obtenemos

$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ = -sin∅ $\frac{\mathrm{d} \varnothing }{\mathrm{d} t}$

Según la condición dada en cuestión:

$\frac{\mathrm{d} \varnothing }{\mathrm{d} t}$ = 2 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d} t}$ = -sin∅ $(2\frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d} t})$

⇒ sen∅ = -1/2

⇒ ∅ = π + π/6 = 7π/6

(ii) Sea x = cos∅

Derivando ambos lados con respecto a t, obtenemos

$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ = -sin∅ $\frac{\mathrm{d} \varnothing }{\mathrm{d} t}$

Según la condición dada en cuestión:

$\frac{\mathrm{d} \varnothing }{\mathrm{d} t}$ = -2 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d} t}$ = -sin∅ $(-2\frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d} t})$

⇒ sen∅ = 1/2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por saurabh48782 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 13 Derivado como medidor de tasa – Ejercicio 13.2 | Serie 1

Pregunta 1. El lado de una hoja cuadrada aumenta a razón de 4 cm por minuto. ¿A qué tasa aumenta el área cuando el lado mide 8 cm?

Pregunta 2. La arista de un cubo variable crece a razón de 3 cm por segundo. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen del cubo cuando la arista mide 10 cm de largo?

Pregunta 3. El lado de un cuadrado crece a razón de 0,2 cm/seg. Encuentre la tasa de aumento del perímetro del cuadrado.

Pregunta 4. El radio de un círculo aumenta a razón de 0,7 cm/seg. ¿Cuál es la tasa de aumento de su circunferencia?

Pregunta 5. El radio de una pompa de jabón esférica aumenta a razón de 0,2 cm/seg. Encuentre la tasa de aumento de su área superficial, cuando el radio es de 7 cm.

Pregunta 6. Un globo que siempre permanece esférico, se infla bombeando 900 centímetros cúbicos de gas por segundo. Encuentre la tasa a la que aumenta el radio del globo cuando el radio es de 15 cm.

Pregunta 7. El radio de una burbuja de aire aumenta a razón de 0,5 cm/seg. ¿A qué tasa aumenta el volumen de la burbuja cuando el radio es de 1 cm?

Pregunta 8. Un hombre de 2 metros de altura camina a una velocidad uniforme de 5 km/h alejándose de un poste de luz de 6 metros de altura. Encuentre la tasa a la que aumenta la longitud de su sombra.

Pregunta 9. Se deja caer una piedra en un lago tranquilo y las ondas se mueven en círculos a una velocidad de 4 cm/seg. En el instante en que el radio de la onda circular es de 10 cm, ¿con qué rapidez aumenta el área encerrada?

Pregunta 10. Un hombre de 160 cm de altura, se aleja de una fuente de luz situada en lo alto de un poste de 6 m de altura, a razón de 1,1 m/seg. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud de su sombra cuando está a 1 m del poste?

Pregunta 11. Un hombre de 180 cm de altura camina a una velocidad de 2 m/seg. de distancia, de una fuente de luz que está a 9 m sobre el suelo. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud de su sombra cuando está a 3 m de la base de la luz?

Pregunta 12. Una escalera de 13 m de largo está apoyada contra una pared. El pie de la escalera se tira por el suelo alejándolo de la pared, a razón de 1,5 m/seg. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo θ entre la escalera y el suelo cuando el pie de la escalera está a 12 m de la pared?

Pregunta 13. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x ² + 2x. ¿En qué punto(s) de la curva las coordenadas x e y de la partícula cambian a la misma velocidad?

Pregunta 14. Si y = 7x – x ³ y x aumenta a razón de 4 unidades por segundo, ¿qué tan rápido cambia la pendiente de la curva cuando x = 2?

Pregunta 15. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x3. Encuentre los puntos de la curva en los que la coordenada y cambia tres veces más rápido que la coordenada x.

Pregunta 16 (i) ¿Encuentre un ángulo θ que aumente el doble de rápido que su coseno?

(ii) Encuentre un ángulo θ cuya tasa de aumento dos veces sea el doble de la tasa de disminución de su coseno.

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Pregunta 1. El lado de una hoja cuadrada aumenta a razón de 4 cm por minuto. ¿A qué tasa aumenta el área cuando el lado mide 8 cm?

Pregunta 2. La arista de un cubo variable crece a razón de 3 cm por segundo. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen del cubo cuando la arista mide 10 cm de largo?

Pregunta 3. El lado de un cuadrado crece a razón de 0,2 cm/seg. Encuentre la tasa de aumento del perímetro del cuadrado.

Pregunta 4. El radio de un círculo aumenta a razón de 0,7 cm/seg. ¿Cuál es la tasa de aumento de su circunferencia?

Pregunta 5. El radio de una pompa de jabón esférica aumenta a razón de 0,2 cm/seg. Encuentre la tasa de aumento de su área superficial, cuando el radio es de 7 cm.

Pregunta 6. Un globo que siempre permanece esférico, se infla bombeando 900 centímetros cúbicos de gas por segundo. Encuentre la tasa a la que aumenta el radio del globo cuando el radio es de 15 cm.

Pregunta 7. El radio de una burbuja de aire aumenta a razón de 0,5 cm/seg. ¿A qué tasa aumenta el volumen de la burbuja cuando el radio es de 1 cm?

Pregunta 8. Un hombre de 2 metros de altura camina a una velocidad uniforme de 5 km/h alejándose de un poste de luz de 6 metros de altura. Encuentre la tasa a la que aumenta la longitud de su sombra.

Pregunta 9. Se deja caer una piedra en un lago tranquilo y las ondas se mueven en círculos a una velocidad de 4 cm/seg. En el instante en que el radio de la onda circular es de 10 cm, ¿con qué rapidez aumenta el área encerrada?

Pregunta 10. Un hombre de 160 cm de altura, se aleja de una fuente de luz situada en lo alto de un poste de 6 m de altura, a razón de 1,1 m/seg. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud de su sombra cuando está a 1 m del poste?

Pregunta 11. Un hombre de 180 cm de altura camina a una velocidad de 2 m/seg. de distancia, de una fuente de luz que está a 9 m sobre el suelo. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud de su sombra cuando está a 3 m de la base de la luz?

Pregunta 12. Una escalera de 13 m de largo está apoyada contra una pared. El pie de la escalera se tira por el suelo alejándolo de la pared, a razón de 1,5 m/seg. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo θ entre la escalera y el suelo cuando el pie de la escalera está a 12 m de la pared?

Pregunta 13. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x 2 + 2x. ¿En qué punto(s) de la curva las coordenadas x e y de la partícula cambian a la misma velocidad?

Pregunta 14. Si y = 7x – x 3 y x aumenta a razón de 4 unidades por segundo, ¿qué tan rápido cambia la pendiente de la curva cuando x = 2?

Pregunta 15. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x3. Encuentre los puntos de la curva en los que la coordenada y cambia tres veces más rápido que la coordenada x.

Pregunta 16 (i) ¿Encuentre un ángulo θ que aumente el doble de rápido que su coseno?

(ii) Encuentre un ángulo θ cuya tasa de aumento dos veces sea el doble de la tasa de disminución de su coseno.

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Pregunta 13. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x ² + 2x. ¿En qué punto(s) de la curva las coordenadas x e y de la partícula cambian a la misma velocidad?

Pregunta 14. Si y = 7x – x ³ y x aumenta a razón de 4 unidades por segundo, ¿qué tan rápido cambia la pendiente de la curva cuando x = 2?