Pregunta 11. Muestre que cualquier número entero impar positivo es de la forma 6q +1 o 6q + 3 o 6q + 5, donde q es un número entero.
Solución:
a = bq+r; donde 0 < r < b
Poniendo b=6 obtenemos,
⇒ a = 6q + r, 0 < r < 6
r = 0, a = 6q = 2(3q) = 2m, que es un número par. [m = 3q]
r = 1, a = 6q + 1 = 2(3q) + 1 = 2m + 1, que es un número impar. [m = 3q]
r = 2, a = 6q + 2 = 2(3q + 1) = 2m, que es un número par. [m = 3q + 1]
r = 3, a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1 = 2m + 1, que es un número impar. [m = 3q + 1]
r = 4, a = 6q + 4 = 2(3q + 2) + 1 = 2m + 1, que es un número par. [m = 3q + 2]
r = 5, a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1 = 2m + 1, que es un número impar. [m = 3q + 2]
Por lo tanto, cualquier entero positivo impar puede tener la forma 6q +1,6q + 3,6q + 5, donde q es un entero.
Pregunta 12. Demuestra que el cuadrado de cualquier entero positivo no puede ser de la forma 6m + 2 o 6m + 5 para cualquier entero m.
Solución:
a = 6q + r, donde 0 ≤ r < 6 (Tomando b=6 en el lema de división de Euclides)
a 2 = (6q + r) 2 = 36q 2 + r 2 + 12qr
a 2 = 6(6q 2 + 2qr) + r 2 0 ≤ r < 6r = 0
a 2 = 6 (6q 2 ) = 6m, donde, m = 6q 2 es un número entero.
r = 1
a 2 = 6 (6q 2 + 2q) + 1 = 6m + 1, donde m = (6q 2 + 2q) es un número entero.
r = 2,
a 2 = 6(6q 2 + 4q) + 4 = 6m + 4, donde m = (6q 2 + 4q) es un número entero.
r = 3,
un 2 = 6 (6q 2 + 6q) + 9 = 6 (6q 2 + 6q) + 6 + 3
a 2 = 6(6q 2 + 6q + 1) + 3 = 6m + 3, donde m = (6q + 6q + 1) es un número entero.
r = 4,
un 2 = 6 (6q 2 + 8q) + 16
= 6(6q 2 + 8q) + 12 + 4
⇒ a 2 = 6(6q 2 + 8q + 2) + 4 = 6m + 4, donde m = (6q 2 + 8q + 2) es un número entero.
r = 5,
un 2 = 6 (6q 2 + 10q) + 25 = 6 (6q 2 + 10q) + 24 + 1
a 2 = 6(6q 2 + 10q + 4) + 1 = 6m + 1, donde, m = (6q 2 + 10q + 4) es un número entero.
Por tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo no puede ser de la forma 6m + 2 o 6m + 5 para cualquier entero m.
Pregunta 13. Muestre que el cubo de un entero positivo de la forma 6q + r, q es un entero y r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 también es de la forma 6m + r.
Solución:
para 6q,
(6q) 3 = 216q 3 = 6(36q) 3 + 0
= 6m + 0, (donde m es un número entero = (36q) 3 )
Para 6q+1,
(6q+1) 3 = 216q 3 + 108q 2 + 18q + 1
= 6(36q 3 + 18q 2 + 3q) + 1
= 6m + 1, (donde m es un número entero = 36q 3 + 18q 2 + 3q)
Para 6q+2,
(6q+2) 3 = 216q 3 + 216q 2 + 72q + 8
= 6(36q 3 + 36q 2 + 12q + 1) +2
= 6m + 2, (donde m es un número entero = 36q 3 + 36q 2 + 12q + 1)
Para 6q+3,
(6q+3) 3 = 216q 3 + 324q 2 + 162q + 27
= 6(36q 3 + 54q 2 + 27q + 4) + 3
= 6m + 3, (donde m es un número entero = 36q 3 + 54q 2 + 27q + 4)
Para 6q+4,
(6q+4) 3 = 216q 3 + 432q 2 + 288q + 64
= 6(36q 3 + 72q 2 + 48q + 10) + 4
= 6m + 4, (donde m es un número entero = 36q 3 + 72q 2 + 48q + 10)
Para 6q+5,
(6q+5) 3 = 216q 3 + 540q 2 + 450q + 125
= 6(36q 3 + 90q 2 + 75q + 20) + 5
= 6m + 5, (donde m es un número entero = 36q 3 + 90q 2 + 75q + 20)
Por tanto, el cubo de un entero positivo de la forma 6q + r, q es un entero y r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 también es de la forma 6m + r.
Pregunta 14. Demuestre que uno y solo uno de n, n + 4, n + 8, n + 12 y n + 16 es divisible por 5, donde n es cualquier número entero positivo.
Solución:
b=5
n = 5q+r
0 < r < 5
Por lo tanto, n puede tener la forma de 5q, 5q+1, 5q+2, 5q+3, 5q+4
CASO 1:
Cuando, n = 5q
n+4 = 5q+4
n+8 = 5q+8
n+12 = 5q+12
n+16 = 5q+16
n solo es divisible por 5
CASO 2:
n = 5q+1
n+4 = 5q+5 = 5(q+1)
n+8 = 5q+9
n+12 = 5q+13
n+16 = 5q+17
n + 4 solo es divisible por 5
CASO 3:
n = 5q+2
n+4 = 5q+6
n+8 = 5q+10 = 5(q+2)
n+12 = 5q+14
n+16 = 5q+18
n + 8 solo es divisible por 5
CASO 4:
n = 5q+3
n+4 = 5q+7
n+8 = 5q+11
n+12 = 5q+15 = 5(q+3)
n+16 = 5q+19
n + 12 solo es divisible por 5
CASO 5:
n = 5q+4
n+4 = 5q+8
n+8 = 5q+12
n+12 = 5q+16
n+16 = 5q+20 = 5(q+4)
Aquí, n + 16 solo es divisible por 5
Por lo tanto, uno y solo uno de n, n + 4, n + 8, n + 12 y n + 16 es divisible por 5.
Pregunta 15. Demostrar que el cuadrado de un entero impar puede ser de la forma 6q + 1 o 6q + 3, para algún entero q.
Solución:
b=6
a = 6m + r
0 ≤ r < 6.
a = 6m, 6m + 1, 6m + 2 , 6m + 3, 6m + 4, 6m + 5
Por lo tanto, estamos eligiendo a = 6m + 1 o 6m + 3 o 6m + 5 para que sea un número entero impar.
Para a = 6m + 1,
(6m + 1) 2 = 36m 2 + 12m + 1
= 6(6m2 + 2m) + 1
= 6q + 1, donde q es un número entero y q = 6m 2 + 2m.
Para a = 6m + 3
(6m + 3) 2 = 36m 2 + 36m + 9
= 6(6m2 + 6m + 1) + 3
= 6q + 3, donde q es un número entero y q = 6m 2 + 6m + 1
Para a = 6m + 5,
(6m + 5) 2 = 36m 2 + 60m + 25
= 6(6m2 + 10m + 4) + 1
= 6q + 1, donde q es un número entero y q = 6m 2 + 10m + 4.
Por tanto, el cuadrado de un entero impar es de la forma 6q + 1 o 6q + 3, para algún entero q.
Pregunta 16. Un entero positivo es de la forma 3q + 1, siendo q un número natural. ¿Puedes escribir su cuadrado de otra forma que no sea 3m + 1, 3m o 3m + 2 para algún entero m? Justifica tu respuesta.
Solución:
No.
a = bq + r, 0 ≤ r < segundo
Aquí, a es cualquier entero positivo y b = 3,
⇒ a = 3q + r
Entonces, a puede ser de la forma 3q, 3q + 1 o 3q + 2.
Ahora, para a = 3q
(3q) 2 = 3(3q 2 ) = 3m [donde m = 3q 2 ]
a = 3q + 1
(3q + 1) 2 = 9q 2 + 6q + 1 = 3(3q 2 + 2q) + 1 = 3m + 1 [donde m = 3q 2 + 2q]
a = 3q + 2
(3q + 2) 2 = 9q 2 + 12q + 4 = 9q 2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q 2 + 4q + 1) + 1
= 3m + 1 [donde m = 3q 2 + 4q + 1]
Por lo tanto, el cuadrado de un entero positivo de la forma 3q + 1 es siempre de la forma 3m + 1 o 3m para algún entero m.
Pregunta 17. Demuestre que el cuadrado de cualquier número entero positivo no puede ser de la forma 3m + 2, donde m es un número natural.
Solución:
a = bm + r
segundo = 3
a = 3m + r
r = 0, 1, 2.
r = 0, a = 3m.
r = 1, a = 3m + 1.
r = 2, a = 3m + 2.
Cuando a = 3m
un 2 = (3m) 2 = 9m 2
a 2 = 3(3m 2 ) = 3q, donde q = 3m 2
Cuando a = 3m + 1
un 2 = (3m + 1) 2 = 9m 2 + 6m + 1
a 2 = 3(3m 2 + 2m) + 1 = 3q + 1, donde q = 3m 2 + 2m
Cuando a = 3m + 2
un 2 = (3m + 2) 2
un 2 = 9m 2 + 12m + 4
un 2 = 3(3m 2 + 4m + 1) + 1
a 2 = 3q + 1 donde q = 3m 2 + 4m + 1
Por tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo no puede ser de la forma 3q + 2, donde q es un número natural.
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Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA