Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 1 Números reales – Ejercicio 1.4

Pregunta 1. Encuentra el MCM y el HCF de los siguientes pares de enteros y verifica que LCM × HCF = Producto de los enteros: 

(i) 26 y 91

Solución:

Como sabemos, LCM es el «mínimo común múltiplo» y HCF es el «máximo común divisor». Aquí tenemos que 
Verificar que LCM x HCF = Producto de los enteros. 

Los números enteros dados en las preguntas son: 26 y 91 
Primero, encontraremos los factores primos de 26 y 91. 
26 = 2 × 13 
91 = 7 × 13 
⇒ MCM (26, 91) = 2 × 7 × 13 = 182 

HCF (26, 91) = 13 

De acuerdo a la pregunta necesitamos verificar la condición: 
LCM × HCF = 182 × 13= 2366 
Producto de los enteros = 26 × 91 = 2366 
⇒ LCM × HCF = producto de los enteros 

(ii) 510 y 92

Solución:

Como sabemos, LCM es el «mínimo común múltiplo» y HCF es el «máximo común divisor». Aquí tenemos que 
Verificar que LCM x HCF = Producto de los enteros. 

Los enteros dados en cuestión son: 510 y 92 
Encontraremos los factores primos de 510 y 92 para encontrar MCM y HCF. 
510 = 2 × 3 × 5 × 17 
92 = 2 × 2 × 23 
⇒ MCM (510, 92) = 2 × 2 × 3 × 5 × 23 × 17 = 23460 

HCF (510, 92) = 2 

De acuerdo con la pregunta, necesitamos verificar la condición: 

MCM × HCF = 23460 x 2 = 46920 
Producto de los enteros = 510 x 92 = 46920 
⇒ MCM × HCF = producto de los enteros.

(iii) 336 y 54

Solución: 

Como sabemos, LCM es el «mínimo común múltiplo» y HCF es el «máximo común divisor». Aquí tenemos que 
Verificar que LCM x HCF = Producto de los enteros. 

Los enteros dados en cuestión son: 336 y 54 
Encontraremos los factores primos de 336 y 54 para encontrar MCM y HCF. 
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 
54 = 2 × 3 × 3 × 3 
⇒MCM (336, 54) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024 

FCH (336, 54) = 2 × 3 = 6 

De acuerdo con la pregunta, necesitamos verificar la condición: 

LCM × HCF = 3024 × 6 = 18144 
Producto de los enteros = 336 × 54 = 18144 
⇒ LCM × HCF = producto de los enteros 

Pregunta 2. Encuentra el MCM y el HCF de los siguientes enteros aplicando el método de descomposición en factores primos:

(i) 12, 15 y 21

Solución: 

Encontraremos los factores primos de los enteros dados: 12, 15 y 21 El 
factor primo nos ayudará a encontrar MCM y HCF 
12 = 2 × 2 × 3 
15 = 3 × 5 
21 = 3 × 7 
Ahora para MCM encontraremos común múltiplos de cada término. 
MCM de 12, 15 y 21 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 
Entonces MCM (12, 15, 21) = 420 
Y, para HCF encontraremos los factores comunes más altos de cada término. 
HCF (12, 15 y 21) = 3

 (ii) 17, 23 y 29

Solución: 

Encontraremos los factores primos de los enteros dados: 17, 23 y 29 El 
factor primo nos ayudará a encontrar MCM y HCF 
17 = 1 × 17 
23 = 1 × 23 
29 = 1 × 29 
Ahora para MCM encontraremos múltiplos comunes de cada término. 
MCM de 17, 23 y 29 = 1 × 17 × 23 × 29 
Entonces MCM (17, 23, 29) = 11339 

Y, para HCF, encontraremos los factores comunes más altos de cada término. 
HCF (17, 23 y 29) = 1

(iii) 8, 9 y 25

Solución: 

Encontraremos los factores primos de los enteros dados: 8, 9 y 25 El 
factor primo nos ayudará a encontrar MCM y HCF 
8 = 2 × 2 × 2 
9 = 3 × 3 
25 = 5 × 5 
Ahora para MCM encontraremos múltiplos comunes de cada término. 
MCM de 8, 9 y 25 = 23 × 32 × 52 
Entonces MCM (8, 9, 25) = 1800 

Y, para HCF, encontraremos los factores comunes más altos de cada término. 
HCF (8, 9 y 25) = 1

(iv) 40, 36 y 126

Solución: 

Encontraremos los factores primos de los enteros dados: 40, 36 y 126 El 
factor primo nos ayudará a encontrar MCM y HCF 
40 = 2 × 2 × 2 × 5 
36 = 2 × 2 × 3 × 3 
126 = 2 × 3 × 3 × 7 
Ahora para MCM encontraremos múltiplos comunes de cada término. 
MCM de 40, 36 y 126 = 23 × 32 × 5 × 7 
Entonces MCM (40, 36, 126) = 2520 
Y, para HCF encontraremos los máximos comunes de cada término. 
HCF (40, 36 y 126) = 2

(v) 84, 90 y 120

Solución: 

Encontraremos los factores primos de los enteros dados: 84, 90 y 120 El 
factor primo nos ayudará a encontrar MCM y HCF 
84 = 2 × 2 × 3 × 7 
90 = 2 × 3 × 3 × 5 
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 
Ahora para MCM encontraremos múltiplos comunes de cada término. 
MCM de 84, 90 y 120 = 23 × 32 × 5 × 7 
SO LCM (84, 90, 120) = 2520 
Y, para HCF encontraremos los máximos comunes de cada término. 
HCF (84, 90 y 120) = 6

(vi) 24, 15 y 36

Solución:

Encontraremos los factores primos de los enteros dados: 24, 15 y 36 El 
factor primo nos ayudará a encontrar MCM y HCF 
24 = 2 × 2 × 2 × 3 
15 = 3 × 5 
36 = 2 × 2 × 3 × 3 
Ahora para MCM encontraremos múltiplos comunes de cada término. 
MCM de 24, 15 y 36 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 ³ x 3 ² x 5 
Así que MCM (24, 15, 36) = 360 
Y, para HCF encontraremos máximos factores comunes de cada término. 
HCF (24, 15 y 36) = 3

Pregunta 3. Dado que HCF (306, 657) = 9, encuentre MCM (306, 657)

Solución: 

Los enteros dados en las preguntas son: 306 y 657 
Como sabemos, 
MCM × HCF = Producto de los dos enteros 
Así que aquí 
⇒ MCM = Producto de los dos enteros / HCF (poniendo valores en la fórmula) 
= (306 × 657) / 9 = 22338

Pregunta 4. ¿Pueden dos números tener 16 como HCF y 380 como MCM? Dar una razon.

Solución:

Si dividimos 380 por 16 obtendremos como cociente 23 y resto como 12. 
Como sabemos, 
MCM × HCF = Producto de los dos enteros 
Ahora, el MCM no es exactamente divisible por el HCF, se puede decir que dos números no puede tener HCF y LCM como 16 y 380 respectivamente.

Pregunta 5. El HCF de dos números es 145 y su MCM es 2175. Si un número es 725, encuentra el otro.

Solución:

Aquí LCM y HCF de dos números son 145 y 2175 respectivamente. 
Uno de los números es 725 
Como sabemos, 
MCM × HCF = Primer número × Segundo número 
2175 × 145 = 725 × Segundo número (poniendo valores en fórmula) 
⇒ Segundo número = (2175 × 145)/ 725 = 435 
Luego el Segundo el numero es 435 

Pregunta 6. El HCF de dos números es 16 y su producto es 3072. Encuentra su MCM.

Solución:

Aquí tenemos, dado 
MCD de dos números = 16 
Producto de dos números = 3072 
Como sabemos, 
LCM × MCD = Producto de los dos números 
LCM × 16 = 3072 (poniendo valores en la fórmula) 
⇒ LCM = 3072/ 16 = 192 
Entonces el MCM de los dos números es 192. 

Pregunta 7. El MCM y HCF de dos números son 180 y 6 respectivamente. Si uno de los números es 30, encuentra el otro número.

Solución:

Aquí tenemos, 
LCM = 180 
HCF = 6 
Uno de los números es 30 
Como sabemos, 
LCM × HCF = primer número × segundo número 

180 × 6 = 30 × segundo número 
(poner valores en la fórmula) 
Segundo número = (180 × 6)/ 30 = 36 
Entonces el segundo número es 36.

Pregunta 8. Encuentra el número más pequeño que, cuando se aumenta en 17, es exactamente divisible por 520 y 468.

Solución:

En primer lugar, encontraremos el MCM de ambos números, que será el número más pequeño que es exactamente divisible por 520 y 468. 
Haremos una descomposición en factores primos del número dado, para encontrar el MCM: 
520 = 2 ³ × 5 × 13 
468 = 2 ² × 3 ² × 13 
LCM (520, 468) = 2 ³ × 3 ² × 5 × 13 = 4680 
Aquí 4680 es el número más pequeño que es exactamente divisible por 520 y 468. 
Ahora, obtendremos un resto de cero en cada caso. Pero necesitamos encontrar el número más pequeño que, cuando se aumenta en 17, se divide exactamente entre 520 y 468. 
Entonces, se puede encontrar restando 
4680 – 17 = 4663 
4663 debería ser el número más pequeño que, cuando se aumenta en 17, es exactamente divisible por 
520 y 468.

Pregunta 9. Encuentra el número más pequeño que deja residuos 8 y 12 cuando se divide por 28 y 32 respectivamente.

Solución:

Primero, encontremos el número más pequeño que sea exactamente divisible por 28 y 32. 
Que es simplemente el MCM de los dos números. 
Por descomposición en factores primos, obtenemos 
28 = 2 × 2 × 7 

32 = 2 ⁵ 
L.CM (28, 32) = 2 ⁵ 
× 7 = 224 

Encontramos que 224 es el número más pequeño que es divisible por 28 y 32 ambos. Entonces, obtendremos un resto de 0 en cada caso. Pero necesitamos el número más pequeño que deje restos de 8 y 12 
cuando se divide por 28 y 32 respectivamente. 
Entonces se puede encontrar restando 8 y 12 de 224 
224 – 8 – 12 = 204 
Aquí 204 debe ser el número más pequeño que dejará un resto de 8 y 12 cuando se divide por 28 y 
32. 

Pregunta 10. ¿Cuál es el número más pequeño que al dividirlo por 35, 56 y 91 deja residuos de 7 en cada caso?

Solución:

En primer lugar, encontraremos el MCM de los tres números dados, que será el número más pequeño que es exactamente divisible por los tres números dados 35, 56 y 91. 
Ahora haremos una descomposición en factores primos para obtener MCM 
35 = 5 × 7 
56 = 2 ³ × 7 
91 = 13 × 7 
Entonces MCM (35, 56 y 91) = 23 × 7 × 5 × 13 = 3640 
Aquí encontramos que 3640 es el número más pequeño que se puede dividir entre 35, 56 y 91 y da un resto de 0 en cada caso. Requerimos encontrar un número que deje un resto 7 en cada caso. 
Entonces se puede hacer sumando 7 en 3640, 
3640 + 7 = 3647 
Entonces 3647 debería ser el número más pequeño que cuando se divide por 35, 56 y 91 y da el resto 
de 7 en cada caso. 

Pregunta 11. Un patio rectangular mide 18m 72cm de largo y 13m 20 cm de ancho. Se pavimentará con baldosas cuadradas del mismo tamaño. Encuentre el menor número posible de tales fichas.

Solución:

Los datos dados en la pregunta son 
Longitud del patio = 18 m 72 cm = 1800 cm + 72 cm = 1872 cm (Sabemos que 1 m = 100 cm) 
Ancho del patio = 13 m 20 cm = 1300 cm + 20 cm = 1320 cm 

Aquí necesitamos el tamaño de la baldosa cuadrada pavimentada en el patio rectangular que será igual al HCF de la longitud y el ancho del patio rectangular. 
Ahora, encontraremos la descomposición en factores primos de 1872 y 1320 
1872 = 2 ⁴ × 3 ² × 13 
1320 = 2 ³ × 3 × 5 × 11 
Entonces el HCF (1872 y 1320) = 2 ³ × 3 = 24 
Aquí la longitud de el lado de la loseta cuadrada mide 24 cm. 
Aquí necesitamos encontrar el número de mosaicos requeridos. Entonces, el número de mosaicos requeridos = (área del patio) / (área de un mosaico cuadrado) 

Como sabemos, el área del patio = Largo × Ancho 

= 1872 cm × 1320 cm 
(poniendo valores en la fórmula) 
Área de un mosaico cuadrado = (lado del cuadrado) ² = (24 cm) ² 
El número de mosaicos necesarios = (1872 x 1320) / (24) ² = 4290 
(poniendo valores en la fórmula) 
Aquí, tenemos la menor cantidad posible de fichas requeridas: 4290. 

Pregunta 12. Encuentra el mayor número de 6 dígitos exactamente divisible por 24, 15 y 36.

Solución:

El mayor número de 6 dígitos es 999999. 
Si asumimos que 24, 15 y 36 dividen 999999 sin dejar resto. 
Luego necesitamos encontrar MCM (24, 15 y 36) porque MCM también dividirá 999999 exactamente. 
Ahora la descomposición en factores primos de 24, 15 y 36, para obtener MCM 
24 = 2 × 2 × 2 × 3 
15 = 3 × 5 
36 = 2 × 2 × 3 × 3 
Entonces MCM de 24, 15 y 36 = 360 
Si divide (999999)/ 360 = 2777 × 360 + 279 
Entonces el resto es 279. 
Ahora, para encontrar el mayor número de 6 dígitos que es divisible entre los tres, necesitamos 
restar el resto del mayor número de 6 dígitos. 
Entonces, 999999 – 279 = 999720 
Aquí 999720 es el mayor número de 6 dígitos que es exactamente divisible por 24, 15 y 36.

Pregunta 13. Determina el número más cercano a 110000 pero mayor a 100000 que es exactamente divisible por cada uno de 8, 15 y 21.

Solución:

Primero encontraremos el MCM de 8, 15 y 21. 
Por descomposición en factores primos, obtendremos MCM 
8 = 2 × 2 × 2 
15 = 3 × 5 
21 = 3 × 7 
Ahora MCM (8, 15 y 21) = 2 
³ × 3 × 5 × 7 = 840 
Si dividimos el 110000 por 840, entonces el resto será 800. 

Ahora, si restamos 800 de 110000, será divisible por cada uno de 8, 15 y 21. 
Entonces, 110000 – 800 = 109200. 
Si sumamos 40, también será divisible por cada uno de 8, 15 y 21 
Ahora tenemos 110000 + 40 = 110040 
Obtuvimos dos resultados, 109200 y 110040 ambos son mayores que 100000 pero 110040 es mayor que 110000. 
Entonces, 109200 es el número más cercano a 110000 y mayor que 100000 que es exactamente divisible por cada uno de 8, 15 y 21

Pregunta 14. Encuentra el menor número que es divisible por todos los números entre 1 y 10 (ambos inclusive).

Solución:

De acuerdo a la pregunta necesitamos encontrar el menor número que sea divisible por todos los números entre 1 y 10 
Entonces, el MCM de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 será el menor número que será divisible por todos los números entre 1 y 10. 
Por lo tanto, la descomposición en factores primos de todos estos números es, para obtener MCM: 
1 = 1 
2 = 2 
3 = 3 
4 = 2 × 2 
5 = 5 
6 = 2 × 3 
7 = 7 
8 = 2 × 2 × 2 
9 = 3 × 3 
10 = 2 × 5 
MCM será = 2 ³ × 3 ² × 5 × 7 = 2520 
Aquí tenemos 2520 como el menor número que es divisible por todos los números entre 1 y 10 (ambos inclusive)

Pregunta 15. Un campo circular tiene una circunferencia de 360 ​​km. Tres ciclistas salen juntos y pueden recorrer 48, 60 y 72 km al día, alrededor del campo. ¿Cuándo se volverán a encontrar?

Solución:

Aquí necesitamos calcular el tiempo que tardan antes de que se vuelvan a encontrar, por lo que necesitamos encontrar el tiempo individual que tarda cada ciclista en cubrir la distancia total. 
Ahora, encontraremos Número de días que un ciclista tarda en recorrer el campo circular por: 

Número de días que tarda un ciclista en recorrer el campo circular = (Distancia total del campo circular) /  
(distancia recorrida en 1 día por un ciclista) 
1er ciclista, número de días = 360 / 48 = 7,5 que serán = 180 horas [nosotros saber que,1 dia = 24 horas] 
2do ciclista, numero de dias = 360 / 60 = 6 que sera = 144 horas 
3er ciclista, numero de dias = 360 / 72 = 5 que sera 120 horas 
Ahora, el LCM (180, 144 y 120) ayudará a saber después de cuántas horas se reencuentran los tres ciclistas. 
Por factorización prima, obtenemos LCM 
180 = 2 ² x 3 ² x 5 
144 = 2 ⁴ x 3 ³ 
120 = 2 ³ x 3 x 5 
LCM (180, 144 y 120) = 2⁴ x 3 ² x 5 = 720 
Entonces, después de 720 horas los tres ciclistas se encuentran de nuevo. 
720 horas = 720 / 24 = 30 días [sabemos que, 1 día = 24 horas] 
Entonces, podemos decir que los tres ciclistas se volverán a encontrar después de 30 días. 

Pregunta 16. En una caminata matutina caminan tres personas juntas, sus pasos miden 80 cm, 85 cm y 90 cm respectivamente. ¿Cuál es la distancia mínima que cada uno debe caminar para poder cubrir la distancia en pasos completos?

Solución:

Según lo indicado en la pregunta, la distancia requerida que cada uno debe caminar sería el 
LCM de las medidas de sus pasos, que es 80 cm, 85 cm y 90 cm. 
Entonces, MCM (80, 85 y 90) con la ayuda de la descomposición en factores primos, 
80 = 2 ⁴ × 5 
85 = 17 × 5 
90 = 2 × 3 × 3 × 5 
MCM (80, 85 y 90) = 2 ⁴ × 3 ² × 5 × 17 = 12240 cm = 122m 40cm [sabemos que 1 m = 100cm] 

Obtuvimos, 122m 40cm como la distancia mínima que cada uno debe caminar para que todos puedan recorrer la misma distancia en pasos completos.