Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Razones trigonométricas de ángulos múltiples y submúltiplos – Ejercicio 9.2

Pruebalo:

Pregunta 1. sen 5 θ = 5 sen θ – 20 sen ³ θ + 16 sen ⁵ θ

Solución:

Tenemos,

LHS = sen 5θ

= sen (3θ + 2θ)

= sen 3θ cos 2θ + cos 3θ sen 2θ

= (3sen θ – 4sen ³ θ) (1 – 2sen ² θ) + (4cos ³ θ – 3cos θ) (2sen θ cos θ)

= 3 sen θ – 6 sen ³ θ – 4 sen ³ θ + 8 sen ⁵ θ + 8 sen θ cos ⁴ θ – 6 sen θ cos ² θ

= 3sen θ – 10sen ³ θ + 8sen ⁵ θ + 8sen θ (1 – sen ² θ) ² – 6sen θ (1–sen ² θ)

= 3 sen θ – 10 sen ³ θ + 8 sen ⁵ θ + 8 sen θ (1 + sen ⁴ θ – 2 sen ² θ) – 6 sen θ + 6 sen ³ θ

= 3 sen θ – 4 sen ³ θ + 8 sen ⁵ θ + 8 sen θ + 8 sen ⁵ θ – 16 sen ³ θ – 6 sen θ

= 5 sen θ – 20 sen ³ θ + 16 sen ⁵ θ

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 2. 4 (cos ³ 10 ^o + sen ³ 20 ^o ) = 3 (cos 10 ^o + sen 20 ^o )

Solución:

Ahora sabemos,

sen θ = cos (90–θ)

Para θ = 60 ^o , tenemos,

=> sen 60 ^o = cos 30 ^o

=> sen (3×20 ^o ) = coseno (3×10 ^o )

=> 3sen 20 ^o – 4sen ³ 20 ^o = 4cos ³ 10 ^o – 3cos 10 ^o

=> 4 cos ³ 10 ^o + 4 sen ³ 20 ^o = 3 cos 10 ^o + 3 sen 20 ^o

=> 4 (cos ³ 10 ^o + sen ³ 20 ^o ) = 3 (cos 10 ^o + sen 20 ^o )

Por lo tanto, probado.

Pregunta 3. cos ³ θ sen 3θ + sen ³ θ cos 3θ = (3 sen 4 θ)/4

Solución:

Tenemos,

LHS = cos ³ θ sen 3θ + sen ³ θ cos 3θ

= sen 3θ (cos 3θ + 3cos θ)/4 + cos 3θ (3sen θ – sen 3θ)/4

= (sen 3θ cos 3θ + 3sen 3θ cos θ + 3cos 3θ sen θ – cos 3θ sen 3θ)/4

= [3(sen 3θ cos θ + cos 3θ sen θ) ]/4

= [3sen (3θ+θ)]/4

= (3sen 4θ)/4

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 4. sen 5A = 5 cos ⁴ A sen A – 10 cos ² A sen ³ A + sen ⁵ A

Solución:

Tenemos,

IZQ = sen 5A

= pecado (3A + 2A)

= sen 3A cos 2A + cos 3A sen 2A

= (3sen A – 4sen ³ A) (2cos ² A – 1) + (4cos ³ A – 3cos A) (2sen A cos A)

= 6 sen A cos ² A – 3 sen A – 8 sen ³ A cos ² A + 4 sen ³ A + 8 sen A cos ⁴ A – 6 sen A cos ² A

= – 3 sen A – 8 sen ³ A cos ² A + 4 sen ³ A + 8 sen A cos ⁴ A

= – 3 sen A – 10 sen ³ A cos ² A + 2 sen ³ A cos ² A + 4 sen ³ A + 5 sen A cos ⁴ A + 3 sen A cos ⁴ A

= 5 sen A cos ⁴ A – 10 sen ³ A cos ² A – 3 sen A (1 – cos ⁴ A) + 2 sen ³ A (2 + cos ² A)

= 5 sen A cos ⁴ A – 10 sen ³ A cos ² A – 3 sen A (1 – cos ² A) (1 + cos ² A) + 2 sen ³ A (2 + cos ² A)

= 5 sen A cos ⁴ A – 10 sen ³ A cos ² A – 3 sen ³ A (1 + cos ² A) + 2 sen ³ A (2 + cos ² A)

= 5sen A cos ⁴ A – 10 sen ³ A cos ² A – sen ³ A (3 + 3cos ² A – 4 – 2cos ² A)

= 5 sen A cos ⁴ A – 10 sen ³ A cos ² A – sen ³ A (cos ² A – 1)

= 5 sen A cos ⁴ A – 10 sen ³ A cos ² A + sen ⁵ A

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 5. tan A tan (A + 60 ^o ) + tan A tan (A – 60 ^o ) + tan (A + 60 ^o ) tan (A – 60 ^o ) = –3

Solución:

Tenemos,

LHS = tan A tan (A + 60 ^o ) + tan A tan (A – 60 ^o ) + tan (A + 60 ^o ) tan (A – 60 ^o )

= $tanA\left[\frac{tanA+tan60^0}{1-tanAtan60^0}\right]+tanA\left[\frac{tanA-tan60^0}{1+tanAtan60^0}\right]+\left [\frac{tanA+tan60^0}{1-tanAtan60^0}\right]\left[\frac{tanA-tan60^0}{1+tanAtan60^0}\right]$

= $tanA\left[\frac{(tanA+tan60^0)(1+tanAtan60^0)}{1-tan^2Atan^260^0}\right]+tanA\left[\frac{(tanA-tan60^0)(1-tanAtan60^0)}{1-tan^2Atan^260^0}\right]+\left[\frac{tan^2A-tan^260^0}{1-tan^2tan^260^0}\right]$

= $\left[\frac{tanA(4tanA-\sqrt{3}-\sqrt{3}tan^2A+4tanA+\sqrt{3}+\sqrt{3}tan^2A)+tan^2A-3}{1-3tan^2A}\right]$

= $\frac{9tan^2A-3}{1-3tan^2A}$

= $\left[\frac{-3(1-3tan^2A)}{1-3tan^2A}\right]$

= –3

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 6. tan A + tan (60 ^o + A) – tan (60 ^o – A) = 3 tan 3A

Solución:

Tenemos,

LHS = tan A + tan (60 ^o + A) – tan (60 ^o – A)

= $tanA+\frac{tan60^o+tanA}{1-tan60^otanA}-\frac{tan60^o-tanA}{1+tan60^otanA}$

= $tanA+\frac{\sqrt{3}+tanA}{1-\sqrt{3}tanA}-\frac{\sqrt{3}-tanA}{1+\sqrt{3}tanA}$

= $tanA+\frac{8tanA}{1-3tan^2A}$

= $\frac{9tanA-3tan^3A}{1-3tan^2A}$

= $\frac{3(3tanA-tan^3A)}{1-3tan^2A}$

= 3 tan 3A

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 7. cuna A + cuna (60 ^o + A) – cuna (60 ^o – A) = 3 cuna 3A

Solución:

Tenemos,

LHS = cuna A + cuna (60 ^o + A) – cuna (60 ^o – A)

= $\frac{1}{tanA}+\frac{1-tan60^otanA}{tan60^o+tanA}-\frac{1+tan60^otanA}{tan60^o-tanA}$

= $\frac{1}{tanA}+\frac{1-\sqrt{3}tanA}{\sqrt{3}+tanA}-\frac{1+\sqrt{3}tanA}{\sqrt{3}-tanA}$

= $\frac{3-tan^2A-8tan^2A}{3tanA-tan^3A}$

= $\frac{3(1-3tan^2A)}{3tanA-tan^3A}$

= $\frac{3}{tan3A}$

= 3 cuna 3A

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 8. cuna A + cuna (60 ^o + A) + cuna (120 ^o + A) = 3 cuna 3A

Solución:

Tenemos,

LHS = cuna A + cuna (60 ^o + A) + cuna (120 ^o + A)

= cuna A + cuna (60 ^o + A) – cuna (180 – (120 ^o + A))

= cuna A + cuna (60 ^o + A) – cuna (60 ^o – A)

= $\frac{1}{tanA}+\frac{1-tan60^otanA}{tan60^o+tanA}-\frac{1+tan60^otanA}{tan60^o-tanA}$

= $\frac{1}{tanA}+\frac{1-\sqrt{3}tanA}{\sqrt{3}+tanA}-\frac{1+\sqrt{3}tanA}{\sqrt{3}-tanA}$

= $\frac{3-tan^2A-8tan^2A}{3tanA-tan^3A}$

= $\frac{3(1-3tan^2A)}{3tanA-tan^3A}$

= $\frac{3}{tan3A}$

= 3 cuna 3A

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 9. $sin^3A+sin^3(\frac{2π}{3}+A)+sin^3(\frac{4π}{3}+A)=\frac{-3}{4}sin3A$

Solución:

Tenemos,

IZQ = $sin^3A+sin^3(\frac{2π}{3}+A)+sin^3(\frac{4π}{3}+A)$

= $(\frac{3sinA-sin3A}{4})+\left[\frac{3sin(\frac{2π}{3}+A)-sin3(\frac{2π}{3}+A)}{4}\right]+\left[\frac{3sin(\frac{4π}{3}+A)-sin3(\frac{4π}{3}+A)}{4}\right]$

= $(\frac{3sinA-sin3A}{4})+\left[\frac{3sin(π-(\frac{π}{3}-A))-sin(2π+3A)}{4}\right]+\left[\frac{3sin(π+(\frac{π}{3}+A))-sin(4π+3A)}{4}\right]$

= $\frac{1}{4}\left[3sinA-sin3A+3sin(\frac{π}{3}-A)-sin3A-{3sin(\frac{π}{3}+A)-sin3A}\right]$

= $\frac{1}{4}\left[3sinA-3sin3A+3(sin(\frac{π}{3}-A)-sin(\frac{π}{3}+A))\right]$

= $\frac{1}{4}\left[3sinA-3sin3A+3(2cos\frac{\frac{π}{3}-A+\frac{π}{3}+A}{2}sin\frac{\frac{π}{3}-A-\frac{π}{3}-A}{2})\right]$

= $\frac{1}{4}\left[3sinA-3sin3A+6cos\frac{π}{3}sin(-A)\right]$

= $\frac{1}{4}\left[3sinA-3sin3A-3sinA\right]$

= $\frac{-3}{4}sin3A$

= lado derecho

Por lo tanto, probado.

Pregunta 10. |sen θ sin (60–θ) sin (60+θ)| ≤ 1/4 para todos los valores de θ.

Solución:

Tenemos,

= |sin θ sin (60–θ) sin (60+θ)|

= |sen θ (sen ² 60 – sen ² θ)|

= |sen θ (3/4 – sen ² θ)|

= |sen θ/4 (3 – 4sen ² θ)|

= |1/4 (3sen θ – 4sen ³ θ)|

= |1/4 (sen 3θ)| ≤ 1/4

Por lo tanto, probado.

Pregunta 11. |cos θ cos (60–θ) cos (60+θ)| ≤ 1/4 para todos los valores de θ .

Solución:

Tenemos,

= |cos θ cos (60–θ) cos (60+θ)|

= |cos θ (cos ² 60 – sen ² θ)|

= |cos θ (1/4 – sen ² θ)|

= |cos θ/4 (1 – 4sen ² θ)|

= |cos θ/4 (1 – 4 (1 – cos ² θ))|

= |cos θ/4 (–3 + 4cos ² θ)|

= |1/4 (4cos ³ θ – 3cos θ)|

= |1/4 (cos 3θ)| ≤ 1/4

Por lo tanto, probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pruebalo:

Pregunta 1. sen 5 θ = 5 sen θ – 20 sen 3 θ + 16 sen 5 θ

Pregunta 2. 4 (cos 3 10 o + sen 3 20 o ) = 3 (cos 10 o + sen 20 o )

Pregunta 3. cos 3 θ sen 3θ + sen 3 θ cos 3θ = (3 sen 4 θ)/4

Pregunta 4. sen 5A = 5 cos 4 A sen A – 10 cos 2 A sen 3 A + sen 5 A

Pregunta 5. tan A tan (A + 60 o ) + tan A tan (A – 60 o ) + tan (A + 60 o ) tan (A – 60 o ) = –3

Pregunta 6. tan A + tan (60 o + A) – tan (60 o – A) = 3 tan 3A

Pregunta 7. cuna A + cuna (60 o + A) – cuna (60 o – A) = 3 cuna 3A

Pregunta 8. cuna A + cuna (60 o + A) + cuna (120 o + A) = 3 cuna 3A

Pregunta 9.

Pregunta 10. |sen θ sin (60–θ) sin (60+θ)| ≤ 1/4 para todos los valores de θ.

Pregunta 11. |cos θ cos (60–θ) cos (60+θ)| ≤ 1/4 para todos los valores de θ .

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Pregunta 1. sen 5 θ = 5 sen θ – 20 sen ³ θ + 16 sen ⁵ θ

Pregunta 2. 4 (cos ³ 10 ^o + sen ³ 20 ^o ) = 3 (cos 10 ^o + sen 20 ^o )

Pregunta 3. cos ³ θ sen 3θ + sen ³ θ cos 3θ = (3 sen 4 θ)/4

Pregunta 4. sen 5A = 5 cos ⁴ A sen A – 10 cos ² A sen ³ A + sen ⁵ A

Pregunta 5. tan A tan (A + 60 ^o ) + tan A tan (A – 60 ^o ) + tan (A + 60 ^o ) tan (A – 60 ^o ) = –3

Pregunta 6. tan A + tan (60 ^o + A) – tan (60 ^o – A) = 3 tan 3A

Pregunta 7. cuna A + cuna (60 ^o + A) – cuna (60 ^o – A) = 3 cuna 3A

Pregunta 8. cuna A + cuna (60 ^o + A) + cuna (120 ^o + A) = 3 cuna 3A

Pregunta 9. $sin^3A+sin^3(\frac{2π}{3}+A)+sin^3(\frac{4π}{3}+A)=\frac{-3}{4}sin3A$