Pregunta 1: En un triángulo Δ ABC, si ∠A = 55° ∠B = 40°, encuentra ∠C.
Solución:
Dado: A = 55° y B = 40°
Teorema utilizado: La suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°.
Del teorema podemos escribir que:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
55° + 40° + ∠C = 180° //Poner los valores de A y B.
95° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 95°
∠C = 85°
El ángulo ∠C es de 85°.
Pregunta 2: Si los ángulos de un triángulo están en la proporción 1:2:3, determina tres ángulos.
Solución:
Dado: Los ángulos de un triángulo están en la razón 1:2:3
Sean los ángulos x, 2x, 3x
Teorema utilizado: La suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°.
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180°/6
x = 30° //Derivando el valor de x
Derivando el valor de los otros dos ángulos del valor de x
2x = 2X (30°) = 60°
3x = 3X (30°) = 90°
Los tres ángulos son 30°, 60° y 90° respectivamente.
Pregunta 3: Los ángulos de un triángulo son (x − 40)°, (x − 20)° y (1/2 x − 10)°. Encuentra el valor de x.
Solución:
Los ángulos de un triángulo son (x − 40)°, (x − 20)° y (1/2x − 10)°
Teorema utilizado: La suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°.
(x − 40)° + (x − 20) ° + (1/2 x − 10)° = 180°
5/2 x – 70° = 180°
5/2 x = 180° + 70°
5x = 2(250)°
x = 500°/5
x = 100°
El valor de x es 100°
Pregunta 4: Los ángulos de un triángulo están dispuestos en orden ascendente de magnitud. Si la diferencia entre dos ángulos consecutivos es de 10°, encuentra los tres ángulos.
Solución:
Dado: La diferencia entre dos ángulos consecutivos es 10°.
Teorema utilizado: La suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°.
Sea el ángulo más pequeño del triángulo x°.
Por tanto, según la condición dada, los otros dos ángulos consecutivos son (x + 10)° y (x + 20)° respectivamente.
Ahora del teorema mencionado podemos escribir que:
x + (x + 10°) + (x + 20°) = 180°.
3x + 30° = 180° //Simplificando la ecuación
3x = 180° – 30°
3x = 150°
x = 150°/3
x = 50°
Por lo tanto, aquí obtenemos que el ángulo más pequeño es de 50°.
Los siguientes ángulos consecutivos son 50° + 10° = 60° y 50° + 20° = 70° respectivamente.
Por lo tanto, los tres ángulos del triángulo son 50°, 60° y 70° respectivamente.
Pregunta 5: Dos ángulos de un triángulo son iguales y el tercer ángulo es mayor que cada uno de esos ángulos en 30°. Determinar todos los ángulos del triángulo.
Solución:
Dado: (i) Dos ángulos de un triángulo son iguales
(ii) El tercer ángulo es mayor que cada uno de esos ángulos en 30°
Teorema utilizado: La suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°.
Sean los ángulos iguales x° y el otro ángulo (x+30)°.
Ahora del teorema mencionado podemos escribir que:
x + x + (x + 30°) = 180°
3x + 30° = 180°
3x = 180° – 30°
3x = 150°
x = 150°/3
x = 50°
Por lo tanto, los ángulos iguales miden 50° cada uno y el otro ángulo es (50 + 30)° = 80°.
Los ángulos del triángulo son 50°, 50° y 80° respectivamente.
Pregunta 6: Si un ángulo de un triángulo es igual a la suma de los otros dos, demuestre que el triángulo es un triángulo rectángulo.
Solución:
Dado: un ángulo de un triángulo es igual a la suma de los otros dos
Teorema utilizado: La suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°.
Sean los tres ángulos del triángulo ∠A, ∠B y ∠(A+B) respectivamente.
∠A + ∠B + ∠(A + B) = 180°
2(∠A + ∠B) = 180°
∠A + ∠B = 90° //De ahí el tercer ángulo A + B = 90° (Probado)
Pregunta 7: ABC es un triángulo en el que el ángulo ∠A = 72°. La bisectriz interna del ángulo ∠B y ∠C se encuentran en O. Encuentra la magnitud de ∠BOC.
Solución:
Dado: (i) ∠A = 72° del triángulo ABC
(ii) Las bisectrices internas del ángulo ∠B y ∠C se encuentran en el punto O.
Teoremas utilizados: La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°
En el triángulo ABC,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
72° + ∠B + ∠C = 180°
∠B + ∠C = 180° – 72° = 108°
∠B/2 + ∠C/2 = 108°/2 = 54° // Dividiendo ambos lados por 2
∠OBC+ ∠OCB = 54° –derivación (1) // Desde el triángulo podemos ver claramente esto ya que OB y OC son las bisectrices de los ángulos
Ahora en △BOC,
∠OBC+ ∠OCB + ∠BOC = 180°
∠BOC+ (∠OBC+ ∠OCB) = 180°
∠BOC+ 54° = 180° //Poner el valor de ∠OBC+ ∠OCB = 54° de la derivación(1)
∠BOC = 180° – 54° = 126° (Respuesta)
∠BOC = 126°.
Pregunta 8: Las bisectrices de los ángulos base de un triángulo no pueden encerrar un ángulo recto en ningún caso.
Solución:
Teoremas utilizados: La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°
Del triángulo △ABC,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A/2 + ∠B /2 + ∠C/2 = 180°/2 = 90° //Dividiendo ambos lados por 2
∠B/2 + ∠C/2 = 90° – ∠A/2 —-(1)
Del triángulo △BOC,
∠BOC+ ∠OBC+ ∠OCB = 180°
Como OB y OC son las bisectrices de los ángulos, ∠OBC = ∠B/2 y ∠OCB = ∠C/2.
∠BOC+ ∠B /2+ ∠C/2 = 180° //Poner los valores de ∠B /2+ ∠C/2 = 90° – ∠A/2 de la derivación anterior,
∠BOC+ 90° – ∠A/2 = 180°
∠BOC = 180° – 90° + ∠A/2 = 90° + ∠A/2
Para cualquier triángulo válido △ABC ∠A > 0, implica que ∠A/2 > 0,
Eso simplemente significa
∠BOC no es igual a 90° en ningún caso. (demostrado)
Pregunta 9: Si las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo encierran un ángulo de 135°, prueba que el triángulo es un triángulo rectángulo.
Solución:
Dado: En △BOC el ∠BOC = 135°
Teoremas utilizados: La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°
Del triángulo △ABC,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A/2 + ∠B /2+ ∠C/2 = 180°/2 = 90° //Dividiendo ambos lados por 2
∠B /2+ ∠C/2 = 90° – ∠A/2 —-(1)
Del triángulo △BOC,
∠BOC+ ∠OBC+ ∠OCB = 180°
Como OB y OC son las bisectrices de los ángulos, ∠OBC = ∠B/2 y ∠OCB = ∠C/2.
∠BOC+ ∠B/2 + ∠C/2 = 180° //Poner los valores de ∠B/2 + ∠C/2 = 90° – ∠A/2 de la derivación anterior,
∠BOC+ 90° – ∠A/2 = 180°
∠BOC = 180° – 90° + ∠A/2 = 90° + ∠A/2
Poniendo el valor ∠BOC = 135° de la condición dada,
90° + ∠A/2 = 135°
∠A/2 = 135° – 90° = 45°
∠A = 45° X 2 = 90°
Por lo tanto, △ABC es un triángulo rectángulo (demostrado)
Pregunta 10: En un triángulo △ABC, ∠ABC = ∠ACB y la bisectriz de ∠ABC y ∠ACB se intersecan en O tal que ∠BOC = 120°. Demuestra que ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
Solución:
Dado: (i)∠ABC = ∠ACB
(ii)∠BOC = 120°
Del triángulo △ABC,
∠ABC = ∠ACB
∠ABC/2 = ∠ACB/2
∠OBC = ∠OCB
Del triángulo △ABC,
∠OBC+ ∠OCB + ∠BOC = 180°
De la condición dada ∠BOC = 120°, y ∠OBC = ∠OCB
Podemos escribir eso,
∠OBC+ ∠OBC+ 120° = 180°.
2 X ∠OBC = 180° – 120° = 60°
∠ABC = 60°
Como ángulo ∠ACB = ∠ABC,
∠ACB = 60°
∠ACB + ∠ABC+ ∠BAC = 180°
60° + 60° + ∠BAC = 180°
∠BAC = 180° – 120° = 60°
Por eso,
∠A = ∠B = ∠C = 60°. (Demostrado)
Pregunta 11: ¿Puede un triángulo tener,
(i) Dos ángulos rectos.
Si el triángulo tiene dos ángulos rectos, la suma de esos ángulos se vuelve 90° + 90° = 180°, eso implica que el tamaño del tercer ángulo es 180° – 180° = 0, eso no es posible,
Respuesta: NO
(ii)Dos ángulos obtusos
El tamaño de un ángulo obtuso es mayor que 90°, por lo tanto, la suma de ambos ángulos es mayor que 180°, pero sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. Entonces no es posible.
Respuesta: NO
(iii) Dos ángulos agudos
Tener dos ángulos agudos no viola ninguna ley ya que la suma es menor a 180°
Respuesta: SI
(iv) Todos los ángulos de más de 60°
Tener todos los ángulos de más de 60° hará que la suma de todos los ángulos sea > 180°. Pero sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. Entonces no es posible.
Respuesta: NO
(v) Todos los ángulos de menos de 60°
Si todos los ángulos tienen más de 60°, la suma de todos los ángulos será < 180°. Pero sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. Entonces no es posible.
Respuesta: NO
(vi) Todos los ángulos iguales a 60°
Tener todos los ángulos iguales a 60° hará que la suma de todos los ángulos = 180°. Y sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. Entonces es posible.
Respuesta : SI
Pregunta 12: Si cada ángulo de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, Demuestra que todos los ángulos del triángulo son ángulos agudos.
Solución:
Dado: cada ángulo es menor que la suma de los otros dos
∠A + ∠B + ∠C = 180°
Dado que ,∠A < ∠B + ∠C, entonces podemos escribir,
∠A < 90°,
Se puede hacer lo mismo para ∠B y ∠C.
Por lo tanto, se demuestra que los tres ángulos son ángulos agudos.
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Artículo escrito por akashkumarsen4 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA