Producto de divisores de un número de una lista dada de sus factores primos

Posted on by Rudeus Greyrat

Dada una array arr[] que representa una lista de factores primos de un número dado, la tarea es encontrar el producto de los divisores de ese número. 
Nota: Dado que el producto puede tener una impresión muy grande, la respuesta es mod 10 9 + 7.

Ejemplos:  

Entrada: arr[] = {2, 2, 3} 
Salida: 1728 
Explicación: 
Producto de los factores primos dados = 2 * 2 * 3 = 12. 
Los divisores de 12 son {1, 2, 3, 4, 6, 12} . 
Por lo tanto, el producto de divisores es 1728.

Entrada: arr[] = {11, 11} 
Salida: 1331 
 

Enfoque ingenuo: 
genere el número N a partir de su lista de factores primos, luego encuentre todos sus divisores en la complejidad computacional O(√N) y siga calculando su producto. Imprimir el producto final obtenido. 
Complejidad Temporal: O(N 3/2 ) 
Espacio Auxiliar: O(1)
Enfoque Eficiente: 
Para resolver el problema se deben tener en cuenta las siguientes observaciones: 
 

  1. De acuerdo con el pequeño teorema de Fermat , a (m – 1) = 1 (mod m) que se puede extender a x = a x % (m – 1) (mod m)
  2. Para un primo p elevado a la potencia a , f(p a ) = p (a * (a + 1) / 2)) .
  3. Por lo tanto, f(a * b) = f(a) (d(b)) * f(b) (d(a)) , donde d(a), d(b) denota el número de divisores en a y b respectivamente.

Siga los pasos a continuación para resolver el problema: 
 

  • Encuentre la frecuencia de cada primo en la lista dada (usando un HashMap / Dictionary ).
  • Usando la segunda observación, para cada i -ésimo primo, calcule: 

fp = power(p[i], (cnt[i] + 1) * cnt[i] / 2), donde cnt[i] denota la frecuencia de ese primo 

  • Usando la tercera observación, actualice el producto requerido: 

 ans = power(ans, (cnt[i] + 1)) * power(fp, d) % MOD, donde d es el número de divisores hasta (i – 1) th primo 

  • El número de divisores d se actualiza usando el Pequeño Teorema de Fermat:

 d = d * (cnt[i] + 1) % (MOD – 1)  

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior: 

C++

// C++ Program to implement
// the above approach
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int MOD = 1000000007;
 
// Function to calculate (a^b)% m
int power(int a, int b, int m)
{
    a %= m;
    int res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1)
            res = ((res % m) * (a % m))
                  % m;
 
        a = ((a % m) * (a % m)) % m;
 
        b >>= 1;
    }
 
    return res % m;
}
 
// Function to calculate and return
// the product of divisors
int productOfDivisors(int p[], int n)
{
 
    // Stores the frequencies of
    // prime divisors
    map<int, int> prime;
 
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        prime[p[i]]++;
    }
    int product = 1, d = 1;
 
    // Iterate over the prime
    // divisors
    for (auto itr : prime) {
 
        int val
            = power(itr.first,
                    (itr.second) * (itr.second + 1) / 2,
                    MOD);
 
        // Update the product
        product = (power(product, itr.second + 1, MOD)
                   * power(val, d, MOD))
                  % MOD;
 
        // Update the count of divisors
        d = (d * (itr.second + 1)) % (MOD - 1);
    }
 
    return product;
}
 
// Driver Code
int main()
{
 
    int arr[] = { 11, 11 };
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
 
    cout <<productOfDivisors(arr,n);
 
 
 }

Java

// Java Program to implement
// the above approach
import java.util.*;
class GFG{
 
static int MOD = 1000000007;
 
// Function to calculate (a^b)% m
static int power(int a, int b, int m)
{
    a %= m;
    int res = 1;
    while (b > 0)
    {
        if (b % 2 == 1)
            res = ((res % m) * (a % m)) % m;
 
        a = ((a % m) * (a % m)) % m;
 
        b >>= 1;
    }
    return res % m;
}
 
// Function to calculate and return
// the product of divisors
static int productOfDivisors(int p[], int n)
{
 
    // Stores the frequencies of
    // prime divisors
    HashMap<Integer,
            Integer> prime = new HashMap<Integer,
                                         Integer>();
 
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(prime.containsKey(p[i]))
            prime.put(p[i], prime.get(p[i]) + 1);
        else
            prime.put(p[i], 1);
             
    }
    int product = 1, d = 1;
 
    // Iterate over the prime
    // divisors
    for (Map.Entry<Integer,
                   Integer> itr : prime.entrySet())
    {
        int val = power(itr.getKey(),
                       (itr.getValue()) *
                       (itr.getValue() + 1) / 2, MOD);
 
        // Update the product
        product = (power(product, itr.getValue() + 1, MOD) *
                   power(val, d, MOD)) % MOD;
 
        // Update the count of divisors
        d = (d * (itr.getValue() + 1)) % (MOD - 1);
    }
    return product;
}
 
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
    int arr[] = { 11, 11 };
    int n = arr.length;
 
    System.out.println(productOfDivisors(arr,n));
}
}
 
// This code is contributed by sapnasingh4991

Python3

# Python3 program to implement
# the above approach
from collections import defaultdict
 
MOD = 1000000007
 
# Function to calculate (a^b)% m
def power(a, b, m):
 
    a %= m
    res = 1
 
    while (b > 0):
        if (b & 1):
            res = ((res % m) * (a % m)) % m
 
        a = ((a % m) * (a % m)) % m
        b >>= 1
     
    return res % m
 
# Function to calculate and return
# the product of divisors
def productOfDivisors(p, n):
 
    # Stores the frequencies of
    # prime divisors
    prime = defaultdict(int)
 
    for i in range(n):
        prime[p[i]] += 1
     
    product, d = 1, 1
 
    # Iterate over the prime
    # divisors
    for itr in prime.keys():
        val = (power(itr, (prime[itr]) *
                          (prime[itr] + 1) // 2, MOD))
 
        # Update the product
        product = (power(product,
                         prime[itr] + 1, MOD) *
                   power(val, d, MOD) % MOD)
 
        # Update the count of divisors
        d = (d * (prime[itr] + 1)) % (MOD - 1)
 
    return product
 
# Driver Code
if __name__ == "__main__":
 
    arr = [ 11, 11 ]
    n = len(arr)
     
    print(productOfDivisors(arr, n))
 
# This code is contributed by chitranayal

C#

// C# program to implement
// the above approach
using System;
using System.Collections.Generic;
 
class GFG{
 
static int MOD = 1000000007;                    
 
// Function to calculate (a^b)% m
static int power(int a, int b, int m)
{
    a %= m;
    int res = 1;
    while (b > 0)
    {
        if (b % 2 == 1)
            res = ((res % m) * (a % m)) % m;
 
        a = ((a % m) * (a % m)) % m;
        b >>= 1;
    }
    return res % m;
}
 
// Function to calculate and return
// the product of divisors
static int productOfDivisors(int []p, int n)
{
     
    // Stores the frequencies of
    // prime divisors
    Dictionary<int,
               int> prime = new Dictionary<int,
                                           int>();
 
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(prime.ContainsKey(p[i]))
            prime[p[i]] = prime[p[i]] + 1;
        else
            prime.Add(p[i], 1);
    }
    int product = 1, d = 1;
 
    // Iterate over the prime
    // divisors
    foreach(KeyValuePair<int,
                         int> itr in prime)
    {
        int val = power(itr.Key,
                       (itr.Value) *
                       (itr.Value + 1) / 2, MOD);
 
        // Update the product
        product = (power(product, itr.Value + 1, MOD) *
                   power(val, d, MOD)) % MOD;
 
        // Update the count of divisors
        d = (d * (itr.Value + 1)) % (MOD - 1);
    }
    return product;
}
 
// Driver Code
public static void Main(String[] args)
{
    int []arr = { 11, 11 };
    int n = arr.Length;
 
    Console.WriteLine(productOfDivisors(arr,n));
}
}
 
// This code is contributed by PrinciRaj1992

Javascript

<script>
 
// Javascript Program to implement
// the above approach
 
var MOD = 1000000007;
 
// Function to calculate (a^b)% m
function power(a, b, m)
{
    a %= m;
    var res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1)
            res = ((res % m) * (a % m))
                  % m;
 
        a = ((a % m) * (a % m)) % m;
 
        b >>= 1;
    }
 
    return res % m;
}
 
// Function to calculate and return
// the product of divisors
function productOfDivisors(p, n)
{
 
    // Stores the frequencies of
    // prime divisors
    var prime = new Map(); 
 
    for (var i = 0; i < n; i++) {
        if(prime.has(p[i]))
            prime.set(p[i], prime.get(p[i])+1)
        else
            prime.set(p[i],1)
    }
    var product = 1, d = 1;
 
    // Iterate over the prime
    // divisors
    prime.forEach((value, key) => {
         
 
        var val
            = power(key,
                    (value) * (value + 1) / 2,
                    MOD);
 
        // Update the product
        product = (power(product, value + 1, MOD)
                   * power(val, d, MOD))
                  % MOD;
 
        // Update the count of divisors
        d = (d * (value + 1)) % (MOD - 1);
    });
 
    return product;
}
 
// Driver Code
var arr = [11, 11];
var n = arr.length;
document.write( productOfDivisors(arr,n));
 
 
 
</script>
Producción: 

1331

 

Complejidad temporal: O(N) 
Espacio auxiliar: O(N)
 

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por debargham14 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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