La trigonometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las proporciones y las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Usando la trigonometría podemos calcular varias medidas conectadas a un triángulo. Se definen algunas proporciones estándar para facilitar el cálculo de algunos problemas comunes relacionados con la longitud y los ángulos de los lados de un triángulo rectángulo.
razones trigonométricas
Una razón trigonométrica es la proporción de lados con cualquiera de los ángulos agudos en el triángulo rectángulo. Podemos definir una razón trigonométrica simple en términos de los lados de un triángulo rectángulo, es decir, la hipotenusa, el lado de la base y el lado perpendicular. Tenemos tres razones trigonométricas simples wiz. seno, coseno y tangente.
El seno es la función que toma como parámetro un ángulo θ, que es cualquiera de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos y se define como la relación entre la longitud del lado opuesto y la hipotenusa del triángulo rectángulo. En términos técnicos, se puede escribir como,
sin(θ) = lado opuesto/hipotenusa
El coseno es la función que toma como parámetro un ángulo θ, que es cualquiera de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos y se define como la relación entre la longitud del lado adyacente y la hipotenusa del triángulo rectángulo. En términos técnicos, se puede escribir como,
cos(θ) = lado adyacente/hipotenusa
La tangente es la función que toma en el parámetro un ángulo θ, que es cualquiera de los ángulos agudos en los triángulos rectángulos y se define como la relación entre la longitud del lado opuesto al lado adyacente del triángulo rectángulo. . En términos técnicos, se puede escribir como,
tan(θ) = lado opuesto / lado adyacente
Estas razones trigonométricas se relacionan entre sí usando algunas identidades y fórmulas trigonométricas,
tan(θ) = sen(θ) / cos(θ)
sen 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1
Cada uno de los cocientes trigonométricos tiene otros tres cocientes trigonométricos derivados que se deducen tomando el inverso de los cocientes respectivos. Las otras tres razones trigonométricas son cosecante, secante y cotangente, utilizadas matemáticamente como cosec, sec y cot. Estos están relacionados con las razones trigonométricas primarias de la siguiente manera,
cosec(θ) = 1 / sin(θ)
segundo(θ) = 1 / cos(θ)
cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)
A continuación se muestran algunas de las identidades relacionadas con las razones trigonométricas estándar y las razones trigonométricas derivadas,
bronceado 2 (θ) + 1 = segundo 2 (θ)
cuna 2 (θ) + 1 = cosec 2 (θ)
Tabla trigonométrica
La siguiente es la tabla para algunos ángulos comunes y las razones trigonométricas básicas.
Relación \ Ángulo (θ) |
0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
| pecado(θ) | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos(θ) | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| bronceado(θ) | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
| cosec(θ) | ∞ | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| segundo(θ) | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ∞ |
| cuna(θ) | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
También hay algunas otras razones trigonométricas para aplicar más allá de los triángulos rectángulos:
sen(-θ) = – sen(θ)
cos(-θ) = cos(θ)
bronceado(-θ) = – bronceado(θ)
Fórmula trigonométrica especial para la función tangente,
bronceado (A + B) = (bronceado(A) + bronceado(B))/(1 – (bronceado(A).bronceado(B)))
bronceado (A – B) = (bronceado(A) – bronceado(B))/(1 + (bronceado(A).bronceado(B)))
¿Cuál es el valor de tan(-150)°?
Se pueden usar un par de métodos para calcular el valor de tan(-150) usando varias identidades y fórmulas trigonométricas.
Método 1
Utilice varias identidades y reglas trigonométricas para calcular el valor de tan(-150)°. Aquí uso de las siguientes identidades y fórmulas,
tan(θ) = sen(θ)/cos(θ)
tan(-θ) = -tan(θ)
tan(180 + θ) = tan(θ), o
tan(180 – θ) = -tan(θ)
Solución:
bronceado (-150)
tan(-θ) = -tan(θ)
aquí, θ = 150
bronceado(-150) = – bronceado(150)
Ahora, usando las razones trigonométricas de (n180 – θ),
bronceado (-150) = – bronceado (180 – 30)
tan(180 – θ) = -tan(θ)
bronceado(-150) = -(- bronceado (30))
= bronceado(30)
= 1/√3
Por lo tanto tan(-150) ° = 1/√3
= 0,57735.
Método 2
Utilice el sistema de coordenadas cartesianas para calcular el valor de tan(-150). Aquí se hace el uso de las siguientes identidades y fórmulas,
tan(θ) = lado opuesto/lado adyacente
tan(θ) = y/x (donde x e y son las coordenadas de los puntos en el círculo unitario)
En un círculo unitario,
el radio es 1,
Entonces, toma la coordenada Y como 1,
Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas,
Encuentre el ángulo subtendido por el eje X y el ángulo (-150)
Podemos calcular el ángulo = (180 -150) = 30
Así, el triángulo formado es un triángulo 30-60-90,
Usando las propiedades del triángulo 30-60-90, podemos encontrar el resto de los lados,
El lado adyacente al ángulo es √3 veces el lado opuesto.
Y, la hipotenusa es 2 veces el lado opuesto.
Así, el lado opuesto = 1 unidad,
Lado adyacente = √3 unidades
Y la hipotenusa se convierte en = 2 unidades.
Así, por definición,
tan(θ) = lado opuesto / lado adyacente
Entonces tan(-150) = 1/√3
Método 3
Podemos convertir la función tangente en funciones seno y coseno para simplificar el cálculo de tan(-150). Aquí hacemos uso de las siguientes identidades y fórmulas,
tan(θ) = sen(θ)/cos(θ)
sin(-θ) = -sin(θ)
cos(-θ) = cos(θ)
sen(90 + θ) = cos(θ)
cos(90 + θ) = -sin(θ)
Solución:
tan(θ) = sen(θ)/cos(θ)
Aquí, θ = -150
tan(-150) = sin(-150) / cos(-150)
sin(-θ) = -sin(θ) y cos(-θ) = cos(θ)
tan(-150) = -sen(150) / cos(150)
Convierta 150 como 90 + 60,
tan(-150) = -sin(90+60) / (cos(90+60)
Ya que, sin(90 + θ) = cos(θ) y cos(90 + θ) = -sin(θ)
tan(-150) = -(cos(60)) / (-sin(60)
tan(-150) = cos(60) / sin(60)
= (1/2) / (√3/2) Ya que cos(60) = 1/2 y sin(60) = √3/2
= 1/√3
Por lo tanto,
tan(-150) = 1/√3
Método 4
Utilice algunas de las funciones tangentes para el cálculo de tan(-150). Aquí hacemos uso de las siguientes identidades y fórmulas,
tan(-θ) = -tan(θ)
tan(AB) = (tan(A) – tan(B)) / (1 + (tan(A).tan(B)))
Entonces, al usar las identidades y relaciones anteriores, podemos deducir el valor de tan(-150)
bronceado (-150)
Usando tan(-θ) = -tan(θ) ,
bronceado(-150) = -bronceado(150)
Ahora,
tan(-150) = -tan( 180 – 30)
Usando, tan(AB) = (tan(A) – tan(B)) / (1 + (tan(A).tan(B)))
Donde, A = 180 y B=30,
tan(-150) = – [tan(180) -tan(30)] / [1 + (tan(180).tan(30))]
= – [0 – 1/√3] / [1 + (0,1/√3)]
= – [-1/√3] / [1 + 0]
= 1/√3
Por lo tanto,
tan(-150) = 1/√3
Por lo tanto, a partir de los siguientes métodos, pudimos encontrar el valor de tan(-150) o tan(-5pi/6) como 1/√3, que es aproximadamente 0,57735.
Problemas similares
Pregunta 1: Si sen(A) = 4/5, ¿qué es tan(A)?
Solución:
pecado(A) = 4/5
sin(θ) = lado opuesto / hipotenusa
Entonces, aquí,
Lado opuesto = 4 unidades e hipotenusa = 5 unidades
Por el teorema de Pitágoras, podemos calcular la longitud de los lados adyacentes.
(lado de la hipotenusa) 2 = (lado opuesto) 2 + (lado adyacente) 2
Por lo tanto,
(Lado adyacente) 2 = (hipotenusa) 2 – (lado opuesto) 2
(Lado adyacente) 2 = (5) 2 – (4) 2
= 25 – 16 = 9
√(Lado adyacente) 2 = √9
(Lado adyacente) = 3
tan(θ) = lado opuesto / lado adyacente
tan(A) = 4/3
Pregunta 2: Encuentra el valor de sin(120).
Solución:
pecado(120) = pecado(90 + 30)
Por lo tanto, aplicando la relación,
sen(90 + θ) = cos(θ),
pecado(120) = pecado(90 + 30)
= cos(30)
= √3/2
Pregunta 3: Encuentra el valor de tan(120)
Solución:
tan(120) = tan(180 – 60)
Por lo tanto, aplicando la relación,
tan(180 – θ) = -tan(θ),
tan(120) = tan(180 – 60)
= -bronceado(60)
= -√3 Dado que tan(60) = √3
Por lo tanto,
tan(120) = √3