Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.30 | Serie 1

Pregunta 1. ∫ (2x+1)/((x+1)(x-2)) dx

Solución:

Sea ∫ (2x+1)/((x+1)(x-2))=A/(x+1)+B/(x-2)

2x+1=A(x-2)+B(x+1))

Pon x=2

5=3B⇒B=5/3

Pon x=-1

-1=-3A ⇒ A=1/3

Asi que,

∫ (2x+1)/((x+1)(x-2)) dx

=1/3 ∫ dx/(x+1)+5/3 ∫ dx/(x-2)

=1/3 log⁡|x+1|+5/3 log⁡|x-2|+c

De este modo,

I=1/3 log⁡|x+1|+5/3 log⁡|x-2|+c

Pregunta 2. ∫ 1/(x(x-2)(x-4)) dx

Solución:

Sea ∫ 1/(x(x-2)(x-4)) dx=A/x+B/(x-2)+C/(x-4)

1=A(x-2)(x-4)+B(x)(x-4)+C×(x-2)

Pon x=0

1=8A ⇒ A=1/8

Pon x=2

1=-4B ⇒ B=-1/4

Pon x=4

1=8C ⇒ C=1/8

Asi que,

∫ 1/(x(x-2)(x-4)) dx=1/8 ∫ dx/x+(-1/4) ∫ dx/(x-2)+1/8 ∫ dx/(x-4 )

=1/8 registro⁡|x|-1/4 registro⁡|x-2|+1/8 registro⁡|x-4|+c

=1/8 log⁡|(x(x-4))/((x-2) ² )|+c

Pregunta 3. ∫(x ² +x-1)/(x ² +x-6) dx

Solución:

Sea I=∫(x ² +x-1)/(x ² +x-6) dx

=∫ [1+5/(x ² +x-6) ]dx

yo=∫ dx+∫ 5dx/((x+3)(x-2))

Sea 5/(x+3)(x-2)=A/(x+3) + B/(x-2)

5=A(x-2)+8(x+3)

Pon x=2

5=5B ⇒B=1

Pon x=-3

5=-5A ⇒ A=-1

I=∫ dx+∫ (-dx)/(x+3)+∫ dx/(x-2)@

=x-log⁡|x+3|+log⁡|x-2|+c)

Por eso,

I=x-log⁡|x+3|+log⁡|x-2|+c

Pregunta 4. ∫(3+4x-x ² )/(x+2)(x-1) dx

Solución:

Sea I=∫(3+4x-x ² )/(x+2)(x-1) dx

=∫[-1d+(5x+1)/(x+2)(x-1) ] dx

yo=-∫dx+∫(5x+1)/(x+2)(x-1) dx

Sea (5x+1)/(x+2)(x-1)=A/(x+2)+B/(x-1)

5x+1=A(x-1)+B(x+2)

Pon x=1

6=3B ⇒B=2

Pon x=-2

-9=-3A ⇒ A=3

Entonces, yo=-∫dx+3∫dx/(x+2)+2 ∫dx/(x-1)

I=-x+3log⁡|x+2|+2log⁡|x-1|+c

Pregunta 5. ∫(x ² +1)/(x ² -1) dx

Solución:

Sea I =∫(x ² +1)/(x ² -1) dx

=∫[1+2/(x ² -1) ]dx

=∫dx+∫2dx/(x+1)(x-1)

=∫dx+∫(-1)/(x+1)+1/(x-1) dx

=x-log⁡|x+1|+log⁡|x-1|+c

I=x +log⁡|(x-1)/(x+1)|+c

Pregunta 6. ∫x ² /(x-1)(x-2)(x-3) dx

Solución:

Sea I=∫x ² /(x-1)(x-2)(x-3)=A/(x-1)+B/(x-2)+C/(x-3)

x2 =A(x- ² )(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)

Pon x=1

1=2A ⇒A=1/2

Pon x=2

4=-B ⇒ B=-4

Pon x=3

9=2C ⇒ C=9/2

Por lo tanto, I=∫x ² /(x-1)(x-2)(x-3) dx=1/2∫dx/(x-1)-4j dx/(x-2)+9/2∫ dx/(x-3)

=1/2 log⁡|x-1|-4log⁡|x-2|+9/2 log⁡|x-3|+c

Por eso,

I=1/2 log⁡|x-1|-4log⁡|x-2|+9/2 log⁡|x-3|+c

Pregunta 7. ∫ 5x/(x+1)(x ² -4) dx

Solución:

5x/(x+1)(x ² -4) =5x/(x+1)(x+2)(x-2)

Sea 5x/(x+1)(x+2)(x-2)=A/(x+1)+B/(x+2)+C/(x-2)

5x=A(x+2)(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)(x+2) ————————–(i)

Sustituyendo x=-1,-2 y 2 respectivamente en la ecuación (1), obtenemos

A=5/3, B=-5/2 y C=5/6

5x/((x+1)(x+2)(x-2))=5/(3(x+1))-5/(2(x+2))+5/(6(x-2) ))

∫ 5x/(x+1)(x ² -4) dx

=5/3 ∫ 1/(x+1) dx-5/2 ∫ 1/(x+2) dx+5/6 ∫ 1/(x-2) dx

=5/3 log⁡|x+1|-5/2 log⁡|x+2|+5/6 log⁡|x-2|+c

Pregunta 8. ∫(x ² +1)/x(x ² -1) dx

Solución:

Sea I=∫(x ² +1)/x(x ² -1) dx=∫(x ² +1)/(x(x+1)(x-1)) dx

Sea (x ² +1)/x(x+1)(x-1)=A/x+B/(x+1)+C/(x-1)

x2 + ¹ =A(x+1)(x-1)+B⋅x(x-1)+Cx(x+1)

Pon x=0

1=-A ⇒ A=-1

Pon x=-1

2=2B ⇒B=1

Pon x=1

2=2C ⇒ C=1

Así, I=-∫dx/x+∫dx/(x+1)+∫dx/(x-1)

=-log⁡|x|+log⁡|x+1|+log⁡|x-1|+c

I=log⁡|(x ² -1)/x|+c

Pregunta 9. ∫(2x-3)/(x ² -1)(2x+3) dx

Solución:

Sea I=∫(2x-3)/(x ² -1)(2x+3) dx=∫(2x-3)/((x+1)(x-1)(2x+3)) dx

Sea (2x-3)/(x+1)(x-1)(2x+3)=A/(x+1)+B/(x-1)+C/(2x+3)

2x-3=A(x-1)(2x+3)+B(x+1)(2x+3)+C(x ² -1)

Pon x=-1

-5=-2A

A=5/2

Pon x=1

-1=10B ⇒B=-1/10

Pon x=-3/2

-6=5/4 C ⇒ C=-24/5

De este modo,

I =5/2 ∫ dx/(x+1)-1/10 ∫ dx/(x-1)-24/5 ∫ dx/(2x+3)

=5/2 log⁡|x+1|-1/10 log⁡|x-1|-24/5(1/2 log⁡|2x+3|)+c

Por eso,

I=5/2 log⁡|x+1|-1/10 log⁡|x-1|-12/5 log⁡|2x+3|+c

Pregunta 10. ∫ x ³ /(x-1)(x-2)(x-3) dx

Solución:

Sea I =∫ x ³ /(x-1)(x-2)(x-3) dx

=∫ [ 1+(6x ² -9x+6)/(x-1)(x-2)(x-3)] dx

Sea (6x ² -11x+6)/(x-1)(x-2)(x-3)=A/(x-1)+B/(x-2)+C/(x-3)

6x ² -11x+6=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)

Pon x=1

1=2A ⇒A=1/2

Pon x=2

8=-B ⇒ B=-8

Pon x=3

27=2C ⇒ C=27/2

Por lo tanto, I=∫dx+1/2∫dx/(x-1)-8∫dx/(x-2)+27/2∫dx/(x-3)

=x+1/2 log⁡|x-1|-8log⁡|x-2|+27/2 log⁡|x-3|+c

Por eso,

I=x+1/2 log⁡|x-1|-8log⁡|x-2|+27/2 log⁡|x-3|+c

Pregunta 11. ∫(sen⁡2x)/(1+sen⁡x)(2+sen⁡x) dx

Solución:

Sea ∫(sin⁡2x)/(1+sin⁡x)(2+sin⁡x) dx=A/(1+sin⁡x)+B/(2+sin⁡x)

sin⁡2x=A(2+sin⁡x)+B(1+sin⁡x)

2sen⁡xcos⁡x=(2A+B)+(A+B)sen⁡x

Igualando términos similares, obtenemos,

2A+B=0 ⇒ B=-2A y

A+B=2cos⁡x ⇒ -A=2cos⁡x

A=-2cos⁡x y B=+4cos⁡x

De este modo,

yo=∫-(2cos⁡x)/(1+sen⁡x)dx+∫(4cos⁡x)/(2+sen⁡x)dx

=-2log⁡|1+sen⁡x|+4log⁡|2+sen⁡x|+c

I=log⁡|((2+sen⁡x) ⁴ )/((1+sen⁡x) ² )|+c

Pregunta 12. ∫2x/(x ² +1)(x ² +3) dx

Solución:

Sea ∫2x/(x ² +1)(x ² +3) dx=(Ax+8)/(x ² +1)+(cx+D)/(x ² +3)

2x =(Ax+B)(x ² +3)+(Cx+D)(x ² +1)

=(A+C)x ³ +(B+D)x ² +(3A+C)x+(3B+D))

Igualando términos similares, obtenemos,

A+C=0,B+D=0,3A+C=2 y 3B+D=0

A=-C, B=D=0

2A=2 ⇒ A=1 y C=-1

De este modo,

I=∫xdx/(x ² +1)-∫xdx/(x ² +3)

=1/2 log⁡|x ² +1|-1/2 log⁡|x ² +3|+c

I=1/2 log⁡|(x ² +1)/(x ² +3)|+c

Pregunta 13. ∫1/(xlog⁡x(2+log⁡x)) dx

Solución:

Sea ∫1/(xlog⁡x(2+log⁡x))=A/(xlog⁡x)+B/(x(2+log⁡x))

1=A(2+log⁡x)+8log⁡x

Pon x=1

1=2A ⇒A=1/2

Pon x=10 ^-2

1=-2B ⇒ B=-1/2

I=1/2∫dx/(xlog⁡x)+(-1/2)∫dx/(x(2+log⁡x))

=1/2 log⁡|log⁡x|-1/2 log⁡|2+log⁡x|+c

I=1/2 log⁡|(log⁡x)/(2+log⁡x)|+c

Pregunta 14. ∫ (ax ² +bx+c)/((xa)(xb)(xc)) dx

Solución:

Sea (ax ² +bx+c)/((xa)(xb)(xc))=A/(xa)+B/(xb)+C/(xc)

hacha ² +bx+c=A(xb)(xc)+B(xa)(xc)+c(xa)(xb)

Pon x=a

a ³ +ba+c=(ab)(ac)A ⇒ A=(a ³ +ba+c)/((ab)(ac))

Pon x=b

ab ² +b ² +c=(ba)(bc)B ⇒ B=(ab ² +b ² +c)/((ba)(bc))

Pon x=c

ac ² +bc+c=(ca)(cb)c ⇒ c=(ac ² +bc+c)/((ca)(cb))

I=(a ³ +ba+c)/((ab)(ac))∫dx/(xa)+(ab ² +b ² +c)/((ba)(bc))∫dx/(xb) +(ac ² +bc+c)/((ca)(cb))∫dx/(xc)

Por eso,

I=(a ³ +ba+c)/((ab)(ac)) log⁡|xa|+(ab ² +b ² +c)/((ba)(bc)) log⁡|xb|+( ac ² +bc+c)/((ca)(cb)) log⁡|xc|+c

Pregunta 15. ∫ x/((x ² +1)(x-1)) dx

Solución:

Considere la integral

yo=∫ x/((x ² +1)(x-1)) dx

Ahora separemos la fracción x/((x ² +1)(x-1)) en fracciones parciales.

x/(x ² +1)(x-1)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x ² +1) ²

x/(x ² +1)(x-1)=(A(x ² +1)+(Bx+C)(x-1))/((x ² +1)(x-1))

x=A(x2 ⁺ 1)+(Bx+C)(x-1)

x=Ax ² +A+Bx ² -Bx+Cx-C

Comparando los coeficientes, tenemos,

A+B=0,

-B+C=1 y

CA=0

Resolviendo las ecuaciones, obtenemos,

A=1/2 ,

B=-1/2 y C=1/2

x/((x ² +1)(x-1))=A/(x-1)+(Bx+C)/(x ² +1)

x/((x2 + ¹ )(x-1))=1/2×1/(x-1)-1/2×(x-1)/(x2 ⁺¹ )

x/((x2 +1)(x- ^{1 ))=1/( 2} (x-1))-x/2(x2 ⁺¹ ) +1/2(x2 +1)

Por lo tanto, tenemos, I=∫x/((x ² +1)(x-1)) dx

^{=∫[1/( 2} (x-1))-x/2(x2 ⁺¹ ) +1/2(x2 +1)]dx

=∫dx/(2(x-1))-∫xdx/2(x^2+1) +∫dx/2(x^2+1)

=1/2∫dx/((x-1))-1/2∫xdx/(x ² +1) +1/2∫dx/(x ² +1)

=1/2∫dx/((x-1))-1/2×1/2∫2xdx/((x ² +1))+1/2∫dx/((x ² +1))

=1/2 log⁡|x-1|-1/4 log⁡|(x ² +1)|+1/2 tan ^-1 x+C

Pregunta 16. ∫ 1/(x-1)(x+1)(x+2) dx

Solución:

Sea I=∫1/(x-1)(x+1)(x+2)=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+2)

1=A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+c(x ² -1)

Pon x=1

1=6A ⇒ A=1/6

Pon x=-1

1=-2B ⇒ B=-1/2

Pon x=-2

1=3C ⇒ C=1/3

Asi que,

yo=1/6∫dx/(x-1)-1/2∫dx/(x+1)+1/3∫dx/(x+2)

I=1/6 log⁡|x-1|-1/2 log⁡|x+1|+1/3 log⁡|x+2|+c

Pregunta 17. ∫x ² /(x ² +4)(x ² +9) dx

Solución:

Considere la integral

yo=∫x ² /(x ² +4)(x ² +9) dx

Ahora separemos la fracción x ² /(x ² +4)(x ² +9)

a través de fracciones parciales.

Sustituye x ² = t

x2 /(x2 ^{+ 4} )( x2 ⁺ 9) =t/(t+4)(t+9)

t/(t+4)(t+9) = A/(t+4) + B/(t+9)

t/(t+4)(t+9) = (A(t+9)+B(t+4))/(t+4)(t+9)

t=A(t+9)+B(t+4)

t=En+9A+Bt+4B

Comparando los coeficientes, tenemos,

A+B=1 y 9A+4B=0

A=-4/5 y B =9/5

x2 /(x2 ^{+ 4} )(x2 ⁺ 9) =-4/(5(t+4))+9/(5(t+9))

x2 /(x2 ^{+4 )} (x2+ ⁹ ) =-4/5(x2 + ⁴ ) +9/5(x2+ ⁹ )

Así, tenemos,

yo=∫x ² /(x ² +4)(x ² +9) dx

=∫[-4/5(x ² +4) +9/5(x ² +9) ]dx

=-∫4dx/5(x2 + ^{4 ) +} ∫9dx/5(x2+9 )

=-4/5∫dx/(x ² +4) +9/5∫dx/(x ² +9)

=-4/5×1/2 bronceado ^-1 (x/2)+9/5×1/3 bronceado ^-1 ⁡(x/3)+C

=-2/5 tan ^-1 (x/2)+3/5 tan ^-1 (x/3)+C

Pregunta 18. ∫(5x ² -1)/x(x-1)(x+1) dx

Solución:

Sea ∫(5x ² -1)/x(x-1)(x+1) dx=A/x+B/(x-1)+C/(x+1)

5x ² -1=A(x ² -1)+B(x+1)x+C(x-1)x

Pon x=0

-1=-A ⇒ A=1

Pon x=+1

4=2B ⇒B=2

Pon x=-1

4=2C ⇒ C=2

Asi que,

yo=∫dx/x+∫2dx/(x-1)+∫2dx/(x+1)

=log⁡|x|+2log⁡|x-1|+2log⁡|x+1|+c

yo=log⁡|x(x ² -1) ² |+c

Pregunta 19. ∫(x²+6x-8)/(x ³ -4x)dx

Solución:

Sea I=∫(x²+6x-8) /x(x+2)(x-2) dx

Ahora,

sea ​​(x²+6x-8)/x(x+2)(x-2)=A/(x)+B/(x+2)+C/(x-2)

x²+6x-8=A(x²-4)+B(x-2)+C(x(x+2))

Pon x=0

-8=-4A

A=2

Pon x=-2

-16=8B

B=-2

Pon x=2

8=8C

c=1

De este modo,

yo=∫2dx/x-∫dx/(x+2)+∫dx/(x-2)

=2log|x|-log|x+2|+log|x-2|+c

I=log|(x²(x-2))/(x+2)²|+c

Pregunta 20. ∫(x²+1)/(2x+1)(x²-1) dx

Solución:

(x²+1)/(2x+1)(x²-1) =A/(2x+1)+Bx+C/(x²-1)

x²+1=A(x²-1)+(Bx+C)(2x+1)

=(A+2B)x²+(B+2C)*+(-A+c)

Igualando términos similares, obtenemos

A+2B=1 , B+2C=0 y -A+C=1

Al resolver obtenemos,

A=-5/3 B=4/3 C=-2/3

De este modo,

I=-5/3∫dx/(2x+1) +∫(4x/3-2/3)/(x²-1) dx

=-5/3∫dx/(2x+1)+2/3∫2x/(x²-1)dx-2/3∫dx/(x²-1)

=-5/3∫dx/(2x+1)+2/3∫(2x-1)/((x+1)(x-1)) dx

=-5/3∫dx/(2x+1)+2/3∫{(3/2)/(x+1)+(1/2)/(x-1)}dx

I=-(5/6) * registro|2x+1|+registro|x+1|+1/3registro|x-1|+c