Pregunta 14. El 4° término de un AP es tres veces el primero y el 7° término excede el doble del tercer término en 1. Encuentra el primer término y la diferencia común.
Solución:
Supongamos que el primer término y la diferencia común del AP son a y d respectivamente.
Dado que,
4to término de un AP es tres veces el primero
un 4 = 3(a)
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
a + (4 – 1)d = 3a
3d = 2a ⇒ a = 3d/2 ———(i)
y,
El séptimo término excede el doble del tercer término en 1
un 7 = 2 (a3) + 1
a + (7 – 1)d = 2(a + (3–1)d) + 1
a + 6d = 2a + 4d + 1
a – 2d +1 = 0 ——–(ii)
Usando (i) en (ii), obtenemos
3d/2 – 2d + 1 = 0
3d – 4d + 2 = 0
re = 2
por lo tanto, poniendo d = 2 en (i), obtenemos un
un = 3
Por lo tanto, el primer término es 3 y la diferencia común es 2.
Pregunta 15. Encuentra el segundo término y el enésimo término de un AP cuyo sexto término es 12 y el octavo término es 22.
Solución:
Dado que,
un 6 = 12 y un 8 = 22
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
por lo tanto,
a 6 = a + (6-1)d = a + 5d = 12 ——–(i)
y,
a 8 = a + (8-1)d = a + 7d = 22 ———(ii)
Resolviendo (i) y (ii), obtenemos
(ii) – (yo)
a + 7d – (a + 5d) = 22 – 12
2d = 10
re = 5
ahora pon d en (i) obtenemos,
a + 5(5) = 12
a = 12 – 25
a = -13
Por lo tanto para el AP: a = -13 y d = 5
entonces, el término n está dado por an = a + (n-1)d
an = -13 + (n-1)5 = -13 + 5n – 5
an = 5n – 18
Por lo tanto, el segundo término viene dado por a 2 = 5(2) – 18 = 10 – 18 = -8
Pregunta 16. ¿Cuántos números de dos dígitos son divisibles por 3?
Solución:
El primer número de 2 dígitos divisible por 3 es 12 y el último número de 2 dígitos divisible por 3 es 99.
esto forma un AP,
12, 15, 18, 21, …., 99
Donde, a = 12 y d = 3
ahora encuentre el número de términos en este AP
99 = 12 + (n-1)3
99 = 12 + 3n – 3
90 = 3n
n = 90/3 = 30
Por lo tanto, hay 30 números de dos dígitos divisibles por 3.
Pregunta 17. Un AP consta de 60 términos. Si el primero y el último término son 7 y 125 respectivamente, encuentre el término 32.
Solución:
Dado que,
Un AP de 60 términos
y a = 7 y a60 = 125
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
a 60 = 7 + (60 – 1)d = 125
7 + 59d = 125
59d = 118
re = 2
Por lo tanto, el término 32 está dado por
32 = 7 + ( 32 -1)2 = 7 + 62 = 69
Por lo tanto un 32 = 69
Pregunta 18. La suma de los términos 4 y 8 de un AP es 24 y la suma de los términos 6 y 10 es 34. Halla el primer término y la diferencia común del AP
Solución:
Dado que,
La suma de los términos 4 y 8 de un AP es 24 y
la suma de los terminos 6 y 10 es 34
un 4 + un 8 = 24
y, Como sabemos que, para encontrar el n-ésimo término en un AP = a + (n – 1)d
[a + (4-1)d] + [a + (8-1)d] = 24
2a + 10d = 24
a + 5d = 12 ———(yo)
a6 + a10 = 34
[a + 5d] + [a + 9d] = 34
2a + 14d = 34
a + 7d = 17 ———-(ii)
Restando (i) de (ii), obtenemos
a + 7d – (a + 5d) = 17 – 12
2 días = 5
re = 5/2
Usando d en (i) obtenemos,
a + 5(5/2) = 12
a = 12 – 25/2
a = -1/2
Por tanto, el primer término es -1/2 y la diferencia común es 5/2.
Pregunta 19. El primer término de un AP es 5 y su término 100 es -292. Encuentre el término 50 de este AP
Solución:
Dado que,
a = 5 y a100 = -292
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
a100 = 5 + 99d = -292
99d = -297
d = -3
Por lo tanto, el término 50 es
a 50 = a + 49d = 5 + 49(-3) = 5 – 147 = -142
Pregunta 20. Encuentra a30 – a20 para el AP
(i) -9, -14, -19, -24 (ii) a, a+d, a+2d, a+3d, ……
Solución:
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
por lo tanto, a 30 – a 20 = (a + 29d) – (a + 19) =10d
(i) Dado AP -9, -14, -19, -24
Aquí, a = -9 y d = -14 – (-9) = = -14 + 9 = -5
por lo tanto, a30 – a20 = 10d
= 10(-5) = -50
(ii) Dado AP a, a+d, a+2d, a+3d, ……
por lo tanto, a 30 – a 20 = (a + 29d) – (a + 19d) = 10d
Pregunta 21. Escribe la expresión an – ak para el AP a, a+d, a+2d, …… Por lo tanto, encuentra la diferencia común del AP para el cual
(i) el término 11 es 5 y el término 13 es 79.
(ii) un 10 – un 5 = 200
(iii) el término 20 es 10 más que el término 18.
Solución:
Dado AP a, a+d, a+2d, …..
por lo tanto, an = a + (n-1)d = a + nd –d
Y, ak = a + (k-1)d = a + kd – d
an – ak = (a + nd – d) – (a + kd – d)
= (n – k)d
(i) Dado que el término 11 es 5 y el término 13 es 79,
donde n = 13 y k = 11,
un 13 – un 11 = (13 – 11)d = 2d
79 – 5 = 2d
d = 74/2 = 37
(ii) Dado que, a 10 – a 5 = 200
(10 – 5)d = 200
5d = 200
re = 40
(iii) Dado que, el término 20 es 10 más que el término 18.
un 20 – un 18 = 10
(20 – 18)d = 10
2d = 10
re = 5
Pregunta 22. Encuentra n si el valor dado de x es el n-ésimo término del PA dado
(i) 25, 50, 75, 100, ; x = 1000 (ii) -1, -3, -5, -7, …; x = -151
(iii) 5½, 11, 16½, 22, ….; x = 550 (iv) 1, 21/11, 31/11, 41/11, …; x = 171/11
Solución:
(i) Dado que, AP 25, 50, 75, 100, ……,1000
donde, a = 25 d = 50 – 25 = 25
término n = 1000
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
1000 = 25 + (n-1)25
1000 = 25 + 25n – 25
n = 1000/25
norte = 40
(ii) Dado que, AP -1, -3, -5, -7, …., -151
donde, a = -1 d = -3 – (-1) = -2
enésimo término = -151
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
-151 = -1 + (n-1)(-2)
-151 = -1 – 2n + 2
n = 152/2
n = 76
(iii) Dado que, AP 5½, 11, 16½, 22, …, 550
donde, a = 5½ d = 11 – (5½) = 5½ = 11/2
enésimo término = 550
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
550 = 5½ + (n-1)(11/2)
550 x 2 = 11+ 11n – 11
1100 = 11n
n = 100
(iv) Dado que, AP 1, 21/11, 31/11, 41/11, 171/11
donde, a = 1 d = 21/11 – 1 = 10/11
término n = 171/11
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
171/11 = 1 + (n-1)10/11
171 = 11 + 10n – 10
n = 170/10
n = 17
Pregunta 23. El octavo término de un AP es la mitad de su segundo término y el undécimo término excede un tercio de su cuarto término en 1. Encuentra el decimoquinto término.
Solución:
Dado que,
un 8 = 1/2 (un 2 )
un 11 = 1/3 (un 4 ) + 1
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
un 8 = 1/2 (un 2 )
a + 7d = 1/2(a + d)
2a + 14d = a + d
a + 13d = 0 ——-(yo)
Y, un 11 = 1/3(a4) + 1
a + 10d = 1/3(a + 3d) + 1
3a + 30d = a + 3d + 3
2a + 27d = 3 ——–(ii)
Resolviendo (i) y (ii), por (ii) – 2x(i)
2a + 27d – 2(a + 13d) = 3 – 0
re = 3
Poniendo d en (i) obtenemos,
a + 13(3) = 0
a = -39
Por lo tanto, el término 15 a 15 = -39 + 14(3) = -39 + 42 = 3
Pregunta 24. Encuentra la progresión aritmética cuyo tercer término es 16 y el séptimo término excede a su quinto término en 12.
Solución:
Dado que,
un 3 = 16 y un 7 = un 5 + 12
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
a + 2d = 16…… (yo)
y,
a + 6d = a + 4d + 12
2d = 12
re = 6
Usando d en (i), obtenemos
un + 2 (6) = 16
a = 16 – 12 = 4
Por lo tanto, el AP es 4, 10, 16, 22, …….
Pregunta 25. El 7° término de un AP es 32 y su 13° término es 62. Encuentra el AP
Solución:
Dado que,
un 7 = 32 y un 13 = 62
De a n – a k = (a + nd – d) – (a + kd – d) = (n – k)d
un 13 – un 7 = (13 – 7)d = 62 – 32 = 30
6d = 30
re = 5
Ahora,
un 7 = un + (7 – 1)5 = 32
un + 30 = 32
un = 2
Por lo tanto, el AP es 2, 7, 12, 17, ……
Pregunta 26. ¿Qué término del AP 3, 10, 17, …. ¿Serán 84 más que su 13° mandato?
Solución:
Dado que,
PA 3, 10, 17, ….
donde, a = 3 y d = 10 – 3 = 7
a n = a 13 + 84 (Dado)
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
3 + (n – 1)7 = 3 + (13 – 1)7 + 84
3 + 7n – 7 = 3 + 84 + 84
7n = 168 + 7
n = 175/7
norte = 25
Por lo tanto, el término 25 que es 84 más que su término 13.
Pregunta 27. Dos progresiones aritméticas tienen la misma diferencia común. La diferencia entre sus términos 100 es 100, ¿cuál es la diferencia entre sus términos 1000?
Solución:
Supongamos que los dos A.Ps sean A.P1 y A.P2
Para A.P1 el primer término es a y la diferencia común es d
y para A.P2 el primer término es b y la diferencia común es d
Dado que,
a100 – b100 = 100
(a + 99d) – (b + 99d) = 100
a-b = 100
Ahora, la diferencia entre sus términos 1000 es,
(a + 999d) – (b + 999d) = a – b = 100
Por lo tanto, la diferencia entre sus términos 1000 también es 100.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA