Pregunta 1. Una gráfica tiene la forma de un rectángulo ABCD que tiene un semicírculo en BC como se muestra en la figura. Si AB = 60 m y BC = 28 m, encuentre el área de la parcela.
Solución:
Dado que ABCD es un rectángulo
Entonces, AB = CD = 60 m
Y, BC = AD = 28 m
Entonces, el radio del semicírculo = BC/2 = 28/2 = 14 m
Ahora encontramos el área de la parcela = Área del rectángulo ABCD + Área del semicírculo
= (lxb) + 1/2 πr 2
= (60 x 28) + 1/2 (22/7)(14) 2
= 1680 + 308
= 1988cm2
Por lo tanto, el área de la parcela es de 1988 cm 2
Pregunta 2. Un patio de recreo tiene la forma de un rectángulo, con dos semicírculos en sus lados más pequeños como diámetros, agregados a su exterior. Si los lados del rectángulo miden 36 m y 24,5 m, encuentra el área del patio de recreo. (Tome π = 22/7).
Solución:
Dado que,
Longitud del rectángulo = 36 m
Ancho del rectángulo = 24,5 m
Entonces, el radio del semicírculo = ancho/2 = 24,5/2 = 12,25 m
Ahora encontramos el área del patio de recreo = Área del rectángulo + 2 x área de los semicírculos
= lxb + 2 x 1/2 (πr 2 )
= (36 x 24,5) + (22/7) x (12,25) 2
= 882 + 471,625 = 1353,625
Por lo tanto, el área del patio de recreo es de 1353.625 m 2
Pregunta 3. Encuentra el área del círculo en el que está inscrito un cuadrado de 64 cm 2 de área. (Use π = 3.14)
Solución:
Dado que,
Área del cuadrado inscrito en el círculo = 64 cm 2
Lado 2 = 64
Entonces, Lado = 8 cm
Entonces, AB = BC = CD = DA = 8 cm
Ahora en el triángulo ABC,
Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos
CA 2 = AB 2 + BC 2
CA 2 = 82 + 82
CA 2 = 64 + 64 = 128
CA = √128 = 8√2 cm
Entonces, el ángulo B = 90 o y siendo AC el diámetro del círculo
y el radio es AC/2 = 8√2/2 = 4√2 cm
Ahora encontramos el área del círculo = πr 2 = 3.14(4√2) 2
= 100,48 cm2
Por lo tanto, el área del círculo es 100,48 cm 2
Pregunta 4. Una pieza rectangular mide 20 m de largo y 15 m de ancho. De sus cuatro esquinas se han recortado cuadrantes de 3,5 m de radio. Encuentra el área de la parte restante.
Solución:
Dado,
Longitud del rectángulo = 20 m
Ancho del rectángulo = 15 m
Radio del cuadrante = 3,5 m
Ahora encontramos el área de la parte restante = (Área del rectángulo) – 4 x (Área de un cuadrante)
= (lxb) – 4 x (1/4 x πr 2 )
= (lxb) – πr 2
= (20 x 15) – (22/7)(3,5) 2
= 300 – 38,5
= 261,5 m 2
Por lo tanto, el área de la parte restante es 261,5 m 2
Pregunta 5. En la figura, PQRS es un cuadrado de 4 cm de lado. Encuentra el área del cuadrado sombreado.
Solución:
De la figura anterior sabemos que, cada cuadrante es un sector de 90 o en
un círculo de 1 cm de radio. En otras palabras, es 1/4 de un círculo.
Entonces, su área = 1/4 x πr 2
= 1/4 x (22/7)(1) 2 = 22/28 cm 2
Y, el área del cuadrado = lado 2
Se da que el lado = 4 cm
Entonces, 4 2 = 16 cm 2
El área del círculo = πr 2 = π(1) 2 = 22/7 cm 2
Ahora encontramos el área de la región sombreada = área del cuadrado – área del círculo – 4 x área de un cuadrante
= 16 – 22/7 – (4 x 22/28)
= 16 – 22/7 – 22/7 = 16 – 44/7
= 68/7 cm2
Por lo tanto, el área de la región sombreada es 68/7 cm 2
Pregunta 6. Cuatro vacas están atadas en las cuatro esquinas de un terreno cuadrado de 50 m de lado, de modo que no puedan alcanzarse entre sí. ¿Qué área quedará sin pastorear? (Ver figura)
Solución:
Dado,
Lado de parcela cuadrada = 50 m
Radio de un cuadrante = 25 m
Ahora encontramos el área de la parcela que quedó sin pastorear = Área de la parcela – 4 x (área de un cuadrante)
= Lado 2 – 4 x (1/4 x πr 2 )
= (50) 2 – 22/7 x (25) 2
= 2500 – 1964.28
= 535,72 m 2
Por lo tanto, el área de parcela que queda sin pastorear es de 535,72 m 2
Pregunta 7. Una vaca está atada con una cuerda de 14 m de longitud en la esquina de un campo rectangular de dimensiones 20 mx 16 m, encuentre el área del campo en el que la vaca puede pastar.
Solución:
La parte punteada es el área sobre la cual la vaca puede pastar.
Entonces, de la figura anterior, el área sombreada es el área de un cuadrante
de un círculo de radio igual a la longitud de la cuerda.
De acuerdo a la pregunta se da que la longitud de la cuerda es de 14m
Entonces, el radio del círculo es de 14 cm.
Ahora encontramos el área requerida = 1/4 x πr 2
= 1/4 x 22/7 x (14) 2
= 154cm2
Por lo tanto, el área del campo en la que la vaca puede pastar es de 154 cm 2
Pregunta 8. Un ternero está atado con una cuerda de 6 m de longitud en la esquina de un césped cuadrado de 20 m de lado. Si la longitud de la cuerda aumenta en 5,5 m, encuentre el aumento en el área del césped en el que puede pastar el ternero.
Solución:
Dado,
La longitud inicial de la cuerda = 6 m
Entonces se dice que la cuerda se incrementa en 5,5 m.
Entonces, el aumento de la longitud de la cuerda = (6 + 5,5) = 11,5 m
Sabemos que la esquina del césped es un cuadrante de un círculo.
Ahora encontramos el área requerida = 1/4 x π(11.5) 2 – 1/4 x π(5.5) 2
= 1/4 x 22/7 (11,52 – 62)
= 1/4 x 22/7 (132,25 – 36)
= 1/4 x 22/7 x 96,25
= 75,625 cm2
Por lo tanto, el aumento del área de césped en el que el ternero puede pastar es de 75,625 cm 2
Pregunta 9. Un tanque de agua cuadrado tiene su lado igual a 40 m. Hay cuatro parcelas de césped semicirculares a su alrededor. Encuentre el costo de colocar césped en la parcela en Rs.1.25 por metro cuadrado (Tome π = 3.14).
Solución:
Dado,
Lado del tanque cuadrado = 40 m
Y, el diámetro de la parcela de césped semicircular = lado del tanque cuadrado = 40 m
Entonces, el radio de la parcela cubierta de hierba = 40/2 = 20 m
Ahora encontramos el área de las cuatro parcelas de césped semicirculares = 4 x 1/2 πr 2
= 4 x 1/2 (3,14)(20) 2
= 2512 m 2
Tasa de césped de la parcela = Rs 1,25 por m 2
Entonces, el costo de 2512 m 2 = (1.25 x 2512) = Rs 3140
Por lo tanto, el área de las cuatro parcelas de césped semicirculares es de 2512 m 2
y el costo de poner césped en la parcela a 1,25 por metro cuadrado es de 3140 rupias.
Pregunta 10. Un parque rectangular mide 100 m por 50 m. Está rodeada de macizos de flores semicirculares por todas partes. Encuentre el costo de nivelar los macizos de flores semicirculares en 60 paise por metro cuadrado. (Use π = 3.14).
Solución:
Dado,
Largo del parque = 100 m y ancho del parque = 50 m
El radio de los macizos de flores semicirculares = la mitad del lado correspondiente del parque rectangular
Entonces, el radio de la cama de flores más grande = 100/2 = 50 m
y radio de la cama de flores más pequeña = 50/2 = 25 m
Ahora encontramos el área total de los macizos de flores = 2[Área del macizo de flores más grande + Área del macizo de flores más pequeño]
= 2[1/2 π(50) 2 + 1/2 π(25) 2 ]
= π[(50) 2 + (25) 2 ]
= 3,14 × [2500 + 625]
= 9812,5 m 2
Entonces, la tasa de nivelación de la cama de flores = 60 paise por m 2
El costo total de nivelación = 9812.5 x 60 = 588750 paise
= 5887,50 rupias
Por lo tanto, el costo de nivelar los macizos de flores semicirculares a 60 paise por metro cuadrado es de 5887,50 rupias.
Pregunta 11. El perímetro interior de una pista de atletismo (que se muestra en la figura) es de 400 m. La longitud de cada una de las porciones rectas es de 90 my los extremos son semicírculos. Si la pista tiene 14 m de ancho en todas partes, encuentre el área de la pista. Además, encuentra la longitud de la pista de atletismo exterior.
Solución:
Consideremos el radio del semicírculo interior = r
Y la del semicírculo exterior = R
Según la pregunta
La longitud de la parte recta = 90 m
Ancho de la pista = 14 m
El perímetro interior de la pista = 400 m
Entonces, el perímetro interior de la pista = BF + FRG + GC+ CQB = 400
90 + πr + 90 + πr = 400
2 πr + 180 = 400
2 x 22/7 xr = 220
r = 35 metros
Entonces, el radio del semicírculo exterior = 35 + 14 = 49 m
Ahora encontramos el área de la pista = 2[Área del rectángulo AEFB + Área del semicírculo APD – Área del semicírculo BQC]
= 2[90 x 14 + 1/2 x 22/7 x 492 – 1/2 x 22/7 x 352]
= 2[1260 + 11x7x49 – 11x5x35]
= 2 [1260 + 3773 – 1925]
= 3×3108
= 6216 m 2
Entonces, la longitud de la pista de atletismo exterior = AE + APD + DH + HSE
= 90 + πR + 90 + πR
= 180 + 2 πR
= 180 + 2×22/7×49
= 180 + 308
= 488 metros
Por tanto, el área de la pista es de 6216 m 2 y la longitud de la pista de atletismo exterior es de 488 m.
Pregunta 12. Encuentra el área de la figura, en cm cuadrados, correcta a un lugar decimal. (Tome π = 22/7).
Solución:
El radio del semicírculo = 10/2 = 5 cm
De la figura anterior,
El área de la figura = Área del cuadrado + Área del semicírculo – Área del triángulo AED
= 10 x 10 + 1/2 πr 2 – 1/2 x 6 x 8
= 100 + 1/2 (22/7)(5) 2 – 24
= (700 + 275 – 168)/7
= (807)/7
= 115,3 cm2
Por tanto, el área de la figura, en cm cuadrados, es 115,3 cm 2
Pregunta 13. En la figura, de una región rectangular ABCD con AB = 20 cm, se corta un triángulo rectángulo AED con AE = 9 cm y DE = 12 cm. En el otro extremo, tomando como diámetro BC, se le añade un semicírculo fuera de la región. Encuentra el área de la región sombreada. (Utilice π = 22/7).
Solución:
Dado,
Longitud del rectángulo ABCD = 20 cm
AE = 9 cm y DE = 12 cm
Entonces, el radio del semicírculo = BC/ 2 o AD/2
Ahora en el triángulo AED,
Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos
AD = √(AE 2 + ED 2 ) = √(92 + 122)
= √(81 + 144)
= √(225) = 15cm
Entonces, sabemos que
El área del rectángulo = 20 x 15 = 300 cm 2
Y, el área del triángulo AED = 1/2 x 12 x 9 = 54 cm 2
Entonces, el radio del semicírculo = 15/2 = 7,5 cm
Área del semicírculo = 1/2 π(15/2) 2 = 1/2 x 3,14 x 7,52 = 88,31 cm 2
Ahora encontramos el área de la región sombreada = Área del rectángulo ABCD + Área del semicírculo – Área del triángulo AED
= 300 + 88,31 – 54
= 334,31 cm2
Por lo tanto, el área de la región sombreada es 334,31 cm 2
Pregunta 14. De cada una de las dos esquinas opuestas de un cuadrado de 8 cm de lado, se corta un cuadrante de un círculo de 1,4 cm de radio. Otro círculo de 4,2 cm de diámetro también se corta desde el centro como se muestra en la figura. Encuentra el área de la porción restante (sombreada) del cuadrado. (Utilice π = 22/7).
Solución:
Dado,
Lado del cuadrado = 8 cm
Radio del círculo = 4,2 cm
Radio del cuadrante = 1,4 cm
Ahora encontramos el área de la poción sombreada = Área del cuadrado – Área del círculo – 2 x Área del cuadrante
= lado 2 – πr 2 – 2 x 1/2 πr 2
= 8 2 – π(4.2) 2 – 2 x 1/2 π(1.4) 2
= 64 – 22/7 (4,2 x 4,2) – 22/7 (1,4 x 1,4)
= 64 – 388,08/7 – 21,56/7
= 5,48 cm2
Por lo tanto, el área de la poción sombreada es 5,48 cm 2
Pregunta 15. En la figura, ABCD es un rectángulo con AB = 14 cm y BC = 7 cm. Tomando DC, BC y AD como diámetros, se dibujan tres semicírculos como se muestra en la figura. Encuentra el área de la región sombreada.
Solución:
Dado que,
ABCD es un rectángulo con AB = 14 cm y BC = 7 cm
De la figura anterior, encontramos
El área de la región sombreada = Área del rectángulo ABCD + 2 x área del semicírculo con AD y BC como diámetros – área del semicírculo con DC como diámetro
= 14 x 7 + 2 x 1/2 π(7/2) 2 – 1/2 π(7) 2
= 98 + 22/7 x (7/2) 2 – 1/2 (22/7)(7) 2
= 98 + 77/2 – 77
= 59,5 cm2
Por lo tanto, el área de la región sombreada es 59,5 cm 2
Pregunta 16. En la figura, ABCD es un rectángulo que tiene AB = 20 cm y BC = 14 cm. Se han cortado dos sectores de 180°. Calcular:
(i) el área de la región sombreada.
(ii) la longitud del límite de la región sombreada.
Solución:
Dado que,
Longitud del rectángulo = AB = 20 cm
Ancho del rectángulo = BC = 14 cm
(i) Ahora encontramos el área de la región sombreada = Área del rectángulo – 2 x Área del semicírculo
= lxb – 2 x 1/2 πr 2
= 20 x 14 – (22/7) x 7 2
= 280 – 154
= 126 cm2
(ii) Ahora encontramos la longitud del límite de la región sombreada = 2 x AB + 2 x circunferencia de un semicírculo
= 2 x 20 + 2 x πr
= 40 + 2x (22/7)x7
= 40 + 44
= 84 centímetros
Por lo tanto, el área de la región sombreada es 126 cm 2 y la longitud del límite de la región sombreada es 84 cm
Pregunta 17. En la figura, el cuadrado ABCD se divide en cinco partes iguales, todas con la misma área. La parte central es circular y las líneas AE, GC, BF y HD se encuentran a lo largo de las diagonales AC y BD del cuadrado. Si AB = 22 cm, encuentre:
(i) la circunferencia de la parte central.
(ii) el perímetro de la parte ABEF.
Solución:
Dado que,
Lado del cuadrado = 22 cm = AB
Consideremos que el radio de la parte central sea r cm.
entonces el area del circulo = 1/5 x area del cuadrado
πr 2 = 1/5 x 22 2
22/7 xr 2 = (22 x 22)/ 5
Entonces, el radio (r) del círculo es = 154/5 = 5,55 cm
(i) Circunferencia de la parte central = 2πr = 2(22/7)(5,55) = 34,88 cm
(ii) Sea O el centro de la parte central.
Entonces, está claro que O también es el centro del cuadrado.
Ahora en el triángulo ABC,
Usando el teorema de Pitágoras
AC 2 = AB 2 + BC 2 = 222 + 222 = 2 x 222
CA = 22√2
AO = 1/2 AC = 1/2 (22√2) = 11√2 cm [Dado que las diagonales de un cuadrado se bisecan entre sí]
Y,
AE = BF = OA – OE = 11√2 – 5,55 = 15,51 – 5,55 = 9,96 cm
EF = 1/4 (Circunferencia del círculo) = 2πr/4
= 1/2 x 22/7 x 5,55 = 8,72 cm
Ahora encontramos el perímetro de la parte ABEF = AB + AE + EF + BF
= 22 + 2 x 9,96 + 8,72
= 50,64 cm
Por lo tanto, la circunferencia de la parte central es de 34,88 cm y
el perímetro de la parte ABEF es de 50,64 cm
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Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA