Problema 1: Para las siguientes progresiones aritméticas escribe el primer término a y la diferencia común d:
(yo) -5, -1, 3, 7, …………
Solución:
La secuencia dada es -5, -1, 3, 7, …………
∴ El primer término es -5
Y, diferencia común = a 2 – a 1 = -1 – (-5) = 4
∴ La diferencia común es 4
(ii) 1/5, 3/5, 5/5, 7/5, ……
Solución:
La secuencia dada es 1/5, 3/5, 5/5, 7/5, ……
∴ El primer término es 1/5
Y, diferencia común = a 2 – a 1 = 3/5 – (1/5) = 2/5
∴ La diferencia común es 2/5
(iii) 0.3, 0.55, 0.80, 1.05, …………
Solución:
La secuencia dada es 0.3, 0.55, 0.80, 1.05, …………
∴ El primer término es 0.3
Y, diferencia común = a 2 – a 1 = 0,55 – (0,3) = 0,25
∴ La diferencia común es 0.25
(iv) -1.1, -3.1, -5.1, -7.1, …………..
Solución :
La secuencia dada es -1.1, -3.1, -5.1, -7.1, …………..
∴ El primer término es -1.1
Y, diferencia común = a 2 – a 1 = -3.1 – (-1.1) = -2.0
∴ La diferencia común es -2.0
Problema 2: Escribe la progresión aritmética cuando el primer término a y la diferencia común d son como sigue:
(yo) a = 4, d = -3
Solución:
Dado:
a 1 = 4 y d = -3
Por lo tanto, la progresión aritmética es: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……
⇒ 4, 4 – 3, 4 + 2(-3), 4 + 3(-3), ……
⇒ 4, 1, – 2, – 5, – 8 ……..
∴ AP será 4, 1, – 2, – 5, – 8 ……..
(ii) a = -1, d = 1/2
Solución:
Dado:
a 1 = -1, d = 1/2
Por lo tanto, la progresión aritmética es: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……
⇒ -1, -1 + 1/2, -1, 2½, -1 + 3½, …
⇒ -1, -1/2, 0, 1/2
∴ AP será -1, -1/2, 0, 1/2
(iii) a = -1.5, d = -0.5
Solución:
Dado:
a 1 = -1.5, d = -0.5
Por lo tanto, la progresión aritmética es: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……
⇒ -1,5, -1,5, -0,5, –1,5 + 2(– 0,5), –1,5 + 3(– 0,5)
⇒ – 1,5, – 2, – 2,5, – 3, …….
∴ AP será – 1.5, – 2, – 2.5, – 3, …….
Problema 3: ¿En cuál de las siguientes situaciones, la secuencia de números formada formará un AP?
(i) El costo de cavar un pozo para el primer metro es ₹ 150 y aumenta ₹ 20 por cada metro subsiguiente.
Solución:
Dado:
Costo de cavar un pozo para el primer metro = ₹ 150
Por lo tanto,
Costo del segundo medidor = 150 rupias + 20 rupias = 170 rupias
Costo del tercer metro = 170 rupias + 20 rupias = 190 rupias
Costo del cuarto metro = 190 rupias + 20 rupias = 210 rupias
Ya que se suma 20 por cada metro subsiguiente
Por lo tanto, la secuencia será (En rupias) y es AP
150, 170, 190, 210, ………..
∴ La secuencia dada está en AP y la diferencia común es 20
(ii) La cantidad de aire presente en el cilindro cuando una bomba de vacío extrae cada vez 1/4 del aire que queda en el cilindro.
Solución:
Aire eliminado por primera vez = (1 x 1/4) = 1/4
Aire restante = 1 – 1/4 = 3/4
Aire eliminado por segunda vez = (3/4 x 1/4) = 3/16
Aire restante = 3/4 – 3/16 = 9/16
Aire eliminado por tercera vez = (9/16 x 1/4) = 9/64
Aire restante = 9/16 – 9/64 = 27/64
∴La secuencia será 1, 3/4, 9/16, 27/64
Aquí, un 2 – un 1 = 3/4 – (1) = -1/4
un 3 – un 2 = 9/16 – (3/4) = -3/16
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
∴ La secuencia dada no está en AP
(iii) Divya depositó Rs 1000 a un interés compuesto a una tasa del 10% anual. La cantidad al final del primer año, segundo año, tercer año, …, y así sucesivamente.
Solución:
Dado:
Divya depositó Rs 1000 con un interés compuesto del 10 % anual
Entonces, la cantidad al final del primer año es = 1000 + 0.1(1000) = Rs 1100
Y, la cantidad al final del segundo año es = 1100 + 0.1(1100) = Rs 1210
Y, la cantidad al final del tercer año es = 1210 + 0.1(1210) = Rs 1331
Aquí, un 2 – un 1 = 1210 – 1100 = 110
un 3 – un 2 = 1331 – 1210 = 121
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
∴ La secuencia dada no está en AP
Problema 4: Encuentra la diferencia común y escribe los siguientes cuatro términos de cada una de las siguientes progresiones aritméticas:
(yo) 1, -2, -5, -8, ……..
Solución:
Dado:
Primer término = 1, Segundo término = -2
Diferencia común = -2 – (1) = -3
Ahora,
Quinto término = -8 + (-3) = -11
Sexto término = -11 + (-3) = -14
Séptimo término = -14 + (-3) = -17
Octavo término = -17 + (-3) = -20
(ii) 0, -3, -6, -9, ……
Solución:
Dado:
Primer término = 0, Segundo término = -3
Diferencia común = -3 – (0) = -3
Ahora,
Quinto término = -9 + (-3) = -12
Sexto término = -12 + (-3) = -15
Séptimo término = -15 + (-3) = -18
Octavo término = -18 + (-3) = -21
(iii) -1, 1/4, 3/2, ……..
Solución:
Dado:
Primer término = -1, Segundo término = 1/4
Diferencia común = 1/4 – (-1) = 5/4
Ahora,
Quinto término = 3/2 + (5/4) = 11/4
Sexto término = 11/4 + (5/4) = 4
Séptimo término = 4 + (5/4) = 21/4
Octavo término = 21/4 + (5/4) = 26/4
(iv) -1, – 5/6, – 2/3, ………..
Solución:
Dado:
Primer término = -1, Segundo término = -5/6
Diferencia común = -5/6 – (-1) = 1/6
Ahora,
Quinto término = -2/3 + (1/6) = -1/2
Sexto término = -1/2 + (1/6) = -1/3
Séptimo término = -1/3 + (1/6) = -1/6
Octavo término = -1/6 + (1/6) = 0
Problema 5: Demostrar que no importa cuáles sean los números reales a y b, la secuencia con n -ésimo término a + nb siempre es un AP ¿Cuál es la diferencia común?
Solución:
un norte = un + nota
Sea n= 1, 2, 3, 4, 5, ……….
un 1 = un + segundo
un 2 = un + 2b
un 3 = un + 3b
un 4 = un + 4b
un 5 = un + 5b
Ahora,
un 2 – un 1 = (un + 2b) – (un + b) = segundo
un 3 – un 2 = (un + 3b ) – (un + 2b) = segundo
un 4 – un 1 = (un + 4b) – (un + 3b) = segundo
un 5 – un 4 = (un + 5b) – (un + 4b) = segundo
Por lo tanto, demostrado
Problema 6: Averigüe cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas. Para aquellas que son progresiones aritméticas, encuentra la diferencia común
(i) 3, 6, 12, 24, ………………………………
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = 6 – (3) = 3
un 3 – un 1 = 12 – (6) = 6
un 4 – un 1 = 24 – (12) = 12
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
∴ La secuencia dada no está en AP
(ii) 0, -4, -8, -12, ………………………………………………………
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = -4 – (0) = -4
un 3 – un 2 = -8 – (-4) = -4
un 4 – un 3 = -12 – (-8) = -4
Ya que, la diferencia sucesiva de lista es la misma
∴ La secuencia dada está en AP y la diferencia común es -4
(iii) 1/2, 1/4, 1/6, 1/8
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = 1/4 – (1/2) = -1/4
un 3 – un 2 = 1/6 – (1/4) = -1/12
un 4 – un 3 = 1/8 – (1/6) = -1/24
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
∴ La secuencia dada no está en AP
(iv) 12, 2, -8, -18, ……………………………..
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = 2 – (12) = -10
un 3 – un 2 = -8 – (2) = -10
un 4 – un 3 = -18 – (-8) = -10
Ya que, la diferencia sucesiva de lista es la misma
∴ La secuencia dada está en AP
(v) 3, 3, 3, 3, …………………………………………
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = 3 – (3) = 0
un 3 – un 2 = 3 – (3) = 0
un 4 – un 3 = 3 – (3) = 0
Ya que, la diferencia sucesiva de lista es la misma
∴ La secuencia dada está en AP y la diferencia común es 0
(vi) p, p + 90, p + 180, ………………..
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = p+90 – (p) = 90
un 3 – un 2 = p+180 – (p+90) = 90
Ya que, la diferencia sucesiva de lista es la misma
∴ La secuencia dada está en AP y la diferencia común es 90
(vii) 1.0, 1.7, 2.4, ………………………….
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = 1,7 – (1,0) = 0,7
un 3 – un 2 = 2,4 – (1,7) = 0,7
Ya que, la diferencia sucesiva de lista es la misma
∴ La secuencia dada está en AP y la diferencia común es 0.7
(viii) -225, -425, -625, …………………………….
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = -425 – (-225) = -200
un 3 – un 2 = -625 – (-425) = -200
Ya que, la diferencia sucesiva de lista es la misma
∴ La secuencia dada está en AP y la diferencia común es -200
(ix) 10, 10+2 5 , 10+2 6 , 10+2 7 , ………………………………………..
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = 10+2 5 – (10) = 32
un 3 – un 2 = 10+2 6 – (10+2 5 ) = 32
un 4 – un 3 = 10+2 7 – (10+2 6 ) = 64
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
∴ La secuencia dada está en AP
(x) a+b, (a+1)+b, (a+1)+(b+1), (a+2)+(b+1), …………………………… ….
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = ((a+1) + b) – (a + b) = 1
un 3 – un 2 = ((a+1)+(b+1)) – ((a+1)+b) = 1
un 4 – un 3 = ((a+2)+(b+1)) – ((a+1)+(b+1)) = 1
Ya que, la diferencia sucesiva de lista es la misma
∴ La secuencia dada está en AP y la diferencia común es 1
(xi) 1 2 , 3 2 , 5 2 , 7 2 , ………………………………………………………
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = (3 2 – 1 2 ) = 8
un 3 – un 2 = (5 2 – 3 2 ) = 16
un 4 – un 3 = (7 2 – 5 2 ) = 24
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
∴ La secuencia dada no está en AP
(xii) 1 2 , 5 2 , 7 2 , 73, ………………………………………………………………..
Solución:
Ahora,
un 2 – un 1 = 5 2 – 1 2 = 24
un 3 – un 2 = 7 2 – 5 2 = 24
un 4 – un 3 = 73 – 7 2 = 24
Ya que, la diferencia sucesiva de lista es la misma
∴ La secuencia dada está en AP y la diferencia común es 24
Problema 7: Encuentra la diferencia común de los AP y escribe los siguientes dos términos:
(i) 51, 59, 67, 75, …….
Solución:
Dado:
Primer término = 51, Segundo término = 59
Diferencia común = 59 – 51 = 8
Ahora,
Quinto término = 75 + 8 = 83
Sexto término = 83 + 8 = 91
(ii) 75, 67, 59, 51, ………
Solución:
Dado:
Primer término = 75, Segundo término = 67
Diferencia común = 67 – 75 = -8
Ahora,
Quinto término = 51 – 8 = 43
Sexto término = 43 – 8 = 35
(iii) 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, …….
Solución:
Dado:
Primer término = 1.8, Segundo término = 2.0
Diferencia común = 2,0 – 1,8 = 0,2
Ahora,
Quinto término = 2,4 + (0,2) = 2,6
Sexto término = 2,6 + (0,2) = 2,8
(iv) 0, 1/4, 1/2, 3/4, ………..
Solución:
Dado:
Primer término = 0, Segundo término = 1/4
Diferencia común = 1/4 – 0 = 1/4
Ahora,
Quinto término = 3/4 + (1/4) = 1
Sexto término = 1 + (1/4) = 5/4
(v) 119, 136, 153, 170, ………..
Solución:
Dado:
Primer término = 119, Segundo término = 136
Diferencia común = 136 – 119 = 17
Ahora,
Quinto término = 170 + (17) = 187
Sexto término = 187 + (17) = 204
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA