Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Tangentes y normales – Ejercicio 16.1 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra las pendientes de la tangente y la normal a las siguientes curvas en los puntos indicados:

(i) y = √x ³ en x = 4

(ii) y = √x en x = 9

(iii) y = x ³ – x en x = 2

(iv) y = 2x ² + 3 sen x en x = 0

(v) x = a(θ – sen θ), y = a(1 + cos θ) en θ = –π/2

(vi) x = a cos ³ θ, y = a sen ³ θ en θ = π/4

(vii) x = a(θ – sen θ), y = a(1 – cos θ) en θ = π/2

(viii) y = (sen 2x + cot x + 2) ² en x = π/2

(ix) x ² + 3y + y ² = 5 en (1, 1)

(x) xy = 6 en (1, 6)

Solución:

Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

Y pendiente de la normal = –1/pendiente de la tangente = –1/(dy/dx).

(i) y = √x ³ en x = 4

Derivando y = √x ³ con respecto a x, obtenemos,

Pendiente de la tangente = 3x ^1/2 /2

En x = 4, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = 3(4) ^1/2 /2 = 3(2)/2 = 3

Y la pendiente de la normal en x = 4 es -1/3.

(ii) y = √x en x = 9

Derivando y = √x con respecto a x, obtenemos,

Pendiente de la tangente = x ^–1/2 /2

En x = 9, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = 9 ^–1/2 /2 = 1/[(3)(2)] = 1/6

Y la pendiente de la normal en x = 9 es –6.

(iii) y = x ³ – x en x = 2

Derivando y = x ³ – x con respecto a x, obtenemos,

Pendiente de la tangente = 3x ² – 1

En x = 2, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = 3(2) ² – 1 = 3(4) – 1 = 11

Y la pendiente de la normal en x = 2 es -1/11.

(iv) y = 2x ² + 3 sen x en x = 0

Derivando y = 2x ² + 3 sen x con respecto a x, obtenemos,

Pendiente de la tangente = 4x + 3 cos x

En x = 0, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = 4(0) + 3 cos 0 = 3.

Y la pendiente de lo normal en x = 0 es -1/3.

(v) x = a (θ – sen θ), y = a (1 + cos θ) en θ = –π/2

Derivando x = a (θ – sen θ) con respecto a θ, obtenemos,

=> dx/dθ = a (1 – cos θ) . . . . (1)

Derivando y = a (1 + cos θ) con respecto a θ, obtenemos,

=> dy/dθ = a (–sen θ) . . . . (2)

Dividiendo (2) por (1), obtenemos,

dy/dx = Pendiente de la tangente = –sen θ/(1 – cos θ)

En θ = –π/2, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = –sen (–π/2)/(1 – cos (–π/2))

= 1/(1–0)

= 1

Y la pendiente de la normal en θ = –π/2 es –1.

(vi) x = a cos ³ θ, y = a sen ³ θ en θ = π/4

Derivando x = a cos ³ θ con respecto a θ, obtenemos,

=> dx/dθ = a [(3cos ² θ) (–sen θ)]

= –3a cos ² θ sen θ . . . . (1)

Derivando y = a sen ³ θ con respecto a θ, obtenemos,

=> dy/dθ = a [(3sen ² θ) (cos θ)]

= 3a sen ² θ cos θ . . . . (2)

Dividiendo (2) por (1), obtenemos,

dy/dx = Pendiente de la tangente = = – tan θ

En θ = π/4, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = – tan (π/4)

= −1

Y la pendiente de la normal en θ = π/4 es 1.

(vii) x = a (θ – sen θ), y = a (1 – cos θ) en θ = π/2

Derivando x = a (θ – sen θ) con respecto a θ, obtenemos,

=> dx/dθ = a (1 – cos θ) . . . . (1)

Derivando y = a (1 – cos θ) con respecto a θ, obtenemos,

=> dy/dθ = a (sen θ) . . . . (2)

Dividiendo (2) por (1), obtenemos,

dy/dx = Pendiente de la tangente = sin θ/(1−cosθ)

= – tan θ

En θ = π/2, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = sin π/2/(1−cos π/2)

= 1/(1−0)

= 1

Y la pendiente de la normal en θ = π/2 es −1.

(viii) y = (sen 2x + cot x + 2) ² en x = π/2

Derivando y = (sin 2x + cot x + 2) ² con respecto a x, obtenemos,

Pendiente de la tangente = 2 (sen 2x + cot x + 2) (2 cos 2x – cosec ² x)

En x = π/2, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = 2 (sen 2(π/2) + cot π/2 + 2) (2 cos 2(π/2) – cosec ² (π/2))

= 2 (0 + 0 + 2) (–2 – 1)

= –12

Y la pendiente de lo normal en x = π/2 es 1/12.

(ix) x ² + 3y + y ² = 5 en (1, 1)

Derivando x ² + 3y + y ² = 5 con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 3 (dy/dx) + 2y (dy/dx) = 0

=> 2x + dy/dx (2y+3) = 0

=> Pendiente de la tangente = dy/dx = –2x/(2y+3)

En x = 1 y y = 1, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = –2(1)/[2(1)+3] = –2/5

Y la pendiente de la normal en (1, 1) es 5/2.

(x) xy = 6 en (1, 6)

Derivando xy = 6 con respecto a x, obtenemos,

=> x (dy/dx) + y = 0

=> Pendiente de la tangente = dy/dx = –y/x

En x = 1 y y = 6, la pendiente de la tangente se convierte en,

Pendiente de la tangente = –6/1 = –6

Y la pendiente de la normal en (1, 6) es 1/6.

Pregunta 2. Encuentra los valores de a y b si la pendiente de la tangente a la curva xy + ax + by = 2 en (1, 1) es 2.

Solución:

Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

Derivando xy + ax + by = 2 con respecto a x, obtenemos

=> x (dy/dx) + y + a + b (dy/dx) = 2

=> dy/dx = −(a+y)/(x+b)

Como nos dan dy/dx = 2, obtenemos,

=> −(a+y)/(x+b) = 2

Ahora en x = 1 y y = 1, obtenemos,

=> −(a+1)/(1+b) = 2

=> −a − 1 = 2 + 2b

=> a + 2b = –3 . . . . (1)

Ahora el punto (1, 1) también se encuentra en la curva, por lo que tenemos,

=> 1 × 1 + un × 1 + segundo × 1 = 2

=> 1 + un + segundo = 2

=> un + segundo = 1 . . . . (2)

Restando (1) de (2), obtenemos,

=> –b = 1+3

=> b = –4

Poniendo b = –4 en (1), obtenemos,

=> un = 1+4 = 5

Por lo tanto, el valor de a es 5 y b es -4.

Pregunta 3. Si la tangente a la curva y = x ³ + ax + b en (1, –6) es paralela a la línea x – y + 5 = 0, encuentra a y b.

Solución:

Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

Derivando y = x ³ + ax + b con respecto a x, obtenemos

=> dy/dx = 3x ² + a

Ahora en x = 1 y y = –6, obtenemos,

=> dy/dx = 3(1) ² + a

=> dy/dx = 3 + a . . . . (1)

Ahora esta curva es paralela a la línea x – y + 5 = 0.

=> y = x + 5

Por lo tanto, la pendiente de la línea es 1. Entonces, la pendiente de la curva también será 1 ya que la pendiente de las líneas paralelas es igual. Entonces, de (1), obtenemos,

=> dy/dx = 1 . . . . (2)

De (1) y (2), obtenemos,

=> un + 3 = 1

=> a = –2 . . . . (3)

Ahora en x = 1 y y = –6, nuestra curva y = x ³ + ax + b se convierte en,

=> –6 = 1 + un + segundo

=> a + b = –7

Usando (3), obtenemos,

=> b = –7 – (–2)

=> b = –5

Por lo tanto, el valor de a es -2 y b es -5.

Pregunta 4. Encuentra un punto en la curva y = x ³ – 3x donde la tangente es paralela a la cuerda que une (1, – 2) y (2, 2).

Solución:

Nos dan las coordenadas de la cuerda (1, – 2) y (2, 2).

Por lo tanto, pendiente de la cuerda = = 4

La curva dada es y = x ³ – 3x. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 3x ² – 3

Como la tangente es paralela a la cuerda, su pendiente debe ser igual a 4.

=> 3x ² – 3 = 4

=> 3×2 ⁼ 7

=> x =

Poniendo el valor de x en la curva y = x ³ – 3x, obtenemos

=> y = x (x ² – 3)

=> y =

=> y =

Por lo tanto, el punto requerido es .

Pregunta 5. Encuentre un punto en la curva y = x ³ – 2x ² – 2x en el que las líneas tangentes sean paralelas a la línea y = 2x – 3.

Solución:

La curva dada es y = x ³ – 2x ² – 2x. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 3x ² – 4x – 2 . . . . (1)

Ahora esta curva es paralela a la línea y = 2x – 3 cuya pendiente es 2. Entonces, la pendiente de la curva también será 2. Entonces, de (1), obtenemos,

=> 3x ² – 4x – 2 = 2

=> 3x ² – 6x + 2x – 4 = 0

=> 3x (x – 2) + 2 (x – 2) = 0

=> (x – 2) (3x + 2) = 0

=> x = 2 o x = –2/3

Si x = 2, obtenemos

y = (2) ³ – 2 × (2) ² – 2 × (2)

= 8 – 8 – 4

= – 4

Y si x = –2/3, obtenemos,

y = (–2/3) ³ – 2 × (–2/3) ² – 2 × (–2/3)

=

= 4/27

Por lo tanto, (2, –4) y (–2/3, 4/27) son los puntos requeridos.

Pregunta 6. Encuentra un punto en la curva y ² = 2x ³ en el que la pendiente de la tangente es 3.

Solución:

La curva dada es y ² = 2x ³ . Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> 2y dy/dx = 6x ²

=> dy/dx = 3x ² /y . . . . (1)

Dado que la pendiente de la tangente es 3, obtenemos,

=> 3x ² /y = 3

=> 3x ² = 3y

=> x2 ⁼ y

Poniendo esto en la curva y ² = 2x ³ , obtenemos,

=> (x ² ) ² = 2x ³

=> x4 ⁻ 2×3 = ⁰

=> x ³ (x – 2) = 0

=> x = 0 o x = 2

Si x = 0, obtenemos, y = 0. Poniendo estos valores en (1), obtenemos dy/dx = 0, lo cual no es posible ya que el valor dado de la pendiente es 3.

Y si x = 2, obtenemos y = 4.

Por lo tanto, el punto requerido es (2, 4).

Pregunta 7. Encuentre un punto en la curva xy + 4 = 0 en el que las tangentes estén inclinadas en un ángulo de 45 ^o con el eje x.

Solución:

La curva dada es xy + 4 = 0. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> x (dy/dx) + y = 0

=> dy/dx = −y/x . . . . (1)

Sabemos que la tangente está inclinada en un ángulo de 45 ^o con el eje x. Entonces la pendiente de la tangente es,

dy/dx = tan 45 ^o = 1.

Entonces, (1) se convierte en,

=> −y/x = 1

=> y = −x

Poniendo esto en la curva xy + 4 = 0 obtenemos,

=> x(−x) + 4 = 0

=> x2 = ⁴

=> x = ±2

Cuando x = 2, y = −2.

Y cuando x = −2, y = 2.

Por lo tanto, los puntos requeridos son (2, – 2) y (– 2, 2).

Pregunta 8. Encuentra un punto en la curva y = x ² donde la pendiente de la tangente es igual a la coordenada x del punto.

Solución:

La curva dada es y = x ² . Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 2x. . . . (1)

Se da que la pendiente de la tangente es igual a la coordenada x del punto.

Por lo tanto, dy/dx = x. . . . (2)

De (1) y (2), obtenemos,

2x = x

=> x = 0

Poniendo esto en la curva y = x ² , obtenemos,

=> y = 0 ²

=> y = 0

Por lo tanto, el punto requerido es (0, 0).

Pregunta 9. ¿En qué punto del círculo x ² + y ² – 2x – 4y + 1 = 0, la tangente es paralela al eje x.

Solución:

El círculo dado es x ² + y ² – 2x – 4y + 1 = 0. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> 2x + 2y (dy/dx) – 2 – 4 (dy/dx) = 0

=> dy/dx = (1– x)/(y– 2)

Como la tangente es paralela al eje x, su pendiente es igual a 0.

Entonces, (1– x)/(y– 2) = 0

=> x = 1

Poniendo x = 1 en el círculo x ² + y ² – 2x – 4y + 1 = 0, obtenemos,

=> 1 + y ² – 2 – 4y +1 = 0

=> y ² – 4y = 0

=> y (y – 4) = 0

=> y = 0 y y = 4

Por lo tanto, los puntos requeridos son (1, 0) y (1, 4).

Pregunta 10. ¿En qué punto de la curva y = x ² la tangente forma un ángulo de 45 ^o con el eje x?

Solución:

La curva dada es y = x ² . Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 2x. . . . (1)

Sabemos que la tangente está inclinada en un ángulo de 45 ^o con el eje x. Entonces la pendiente de la tangente es

Por lo tanto, dy/dx = tan 45 ^o = 1 . . . . (2)

De (1) y (2), obtenemos,

2x = 1

=> x = 1/2

Poniendo esto en la curva y = x ² , obtenemos,

=> y = (1/2) ²

=> y = 1/4

Por lo tanto, el punto requerido es (1/2, 1/4).