Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Tangentes y normales – Ejercicio 16.3

Pregunta 1. Encuentra el ángulo de intersección de las siguientes curvas:

(i) y ² = x y x ² = y

Solución:

La primera curva es y ² = x. . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2y (dy/dx) = 1

=> m ₁ = dy/dx = 1/2y

La segunda curva es x ² = y . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x = dy/dx

=> m ₂ = dy/dx = 2x

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> x ⁴ − x = 0

=> x (x ³ − 1) = 0

=> x = 0 o x = 1

Sabemos que el ángulo de intersección de dos curvas está dado por,

tan θ = $|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

donde m ₁ y m ₂ son las pendientes de las curvas.

Cuando x = 0, entonces y = 0.

Entonces, m ₁ = 1/2y = 1/0 = ∞

metro2 = 2x = 2(0) = ₀

Por lo tanto, tan θ = $|\frac{(∞−0)}{1+ 0×∞}|$ = ∞

=> θ = π/2

Cuando x = 1, entonces y = 1.

Entonces, m ₁ = 1/2y = 1/2

metro2 = 2x = 2(1) = ₂

Por lo tanto, tan θ = $\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2×\frac{1}{2}} = \frac{3}{4}$

=> θ = tan ⁻¹ (3/4)

(ii) y = x ² y x ² + y ² = 20

Solución:

La primera curva es y = x ² . . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> (dy/dx) = 2x

=> m ₁ = dy/dx = 2x

La segunda curva es x ² + y ² = 20 . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 2y (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = −x/y

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> y ² +y − 20 = 0

=> y ² + 5y − 4y − 20 = 0

=> (y + 5) (y − 4) = 0

=> y = −5 o y = 4

Ignorando y = − 5 cuando x se convierte en √(−5) en ese caso, lo cual no es posible.

Cuando y = 4, obtenemos x ² = 4

=> x = ±2

Sabemos que el ángulo de intersección de dos curvas está dado por,

tan θ = $|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

donde m ₁ y m ₂ son las pendientes de las curvas.

Cuando x = ±2 y y = 4, obtenemos,

m ₁ = 2x = 2(2) = 4 o ±4

m2 ₌ −x/y = −2/4 = −1/2

Entonces, tan θ = $|\frac{4+\frac{1}{2}}{1+4×(-\frac{1}{2})}| = \frac{9}{2}$

=> θ = tan ⁻¹ (9/2)

Cuando x = −2 y y = 4, obtenemos,

m ₁ = 2x = 4 o −4

m2 ₌ −x/y = 1/2 o −1/2

Entonces, tan θ = $|\frac{-4-\frac{1}{2}}{1-4×(\frac{1}{2})}| = \frac{9}{2}$

=> θ = tan ⁻¹ (9/2)

(iii) 2y ² = x ³ y y ² = 32x

Solución:

La primera curva es 2y ² = x ³ . . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 4y (dy/dx) = 3x ²

=> m ₁ = dy/dx = 3x ² /4y

La segunda curva es y ² = 32x. . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2y (dy/dx) = 32

=> m ₂ = dy/dx = 32/2y = 16/y

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> 2(32x) = ^x3

=> x3 ⁻ 64x = 0

^{= >} x(x2 − 64) = 0

=> x = 0 o x ² − 64 = 0

=> x = 0 o x = ±8

Sabemos que el ángulo de intersección de dos curvas está dado por,

tan θ = $|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

donde m ₁ y m ₂ son las pendientes de las curvas.

Cuando x = 0 entonces y = 0.

m ₁ = 3x ² /4y = ∞

metro2 ₌ 16/año = ∞

Entonces, tan θ = ∞

=> θ = π/2

Cuando x = ±8, entonces y = ±16.

m ₁ = 3x ² /4y = 3 o −3

m2 ₌ 16/y = 1 o −1

Entonces, tan θ = $|\frac{3-1}{1+3×1}| = \frac{1}{2}$

=> θ = bronceado ⁻¹ (1/2)

(iv) x ² + y ² – 4x – 1 = 0 y x ² + y ² – 2y – 9 = 0

Solución:

La primera curva es x ² + y ² – 4x – 1 = 0. . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 2y (dy/dx) – 4 = 0

=> m ₁ = dy/dx = (2–x)/y

La segunda curva es x ² + y ² – 2y – 9 = 0. . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 2y (dy/dx) – 2 (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = –x/(y–1)

La primera curva se puede escribir como,

=> (x – 2) ² + y ² – 5 = 0 . . . . (3)

Restando (2) de (1), obtenemos

=> x2 + ^y2 – 4x – 1 – x2 ^– y2 ⁺^2y + 9 = 0

=> – 4x – 1 + 2y + 9 = 0

=> 2y = 4x – 8

=> y = 2x – 4

Poniendo y = 2x – 4 en (1), obtenemos,

=> (x – 2) ² + (2x – 4) ² – 5 = 0

⇒ (x – 2) ² (1 + 4) – 5 = 0

⇒ 5(x – 2) ² – 5 = 0

⇒ (x – 2) ² = 1

⇒ x = 3 o x = 1

Entonces, cuando x = 3 entonces y = 6 – 4 = 2

m ₁ = (2–x)/y = (2–3)/2 = –1/2

m2 ₌ –x/(y–1) = –3/(2–1) = –3

Entonces, tan θ = $|\frac{\frac{-1}{2}+3}{1+\frac{-1}{2}×(-3)}|$ = 1

=> θ = π/4

Entonces, cuando x = 1 entonces y = 2 – 4 = – 2

m ₁ = (2–x)/y = (2–1)/(–2) = –1/2

m2 ₌ –x/(y–1) = –1/(–2–1) = 1/3

Entonces, tan θ = $|\frac{\frac{-1}{2}-\frac{1}{3}}{1+\frac{-1}{2}×\frac{1}{3}}|$ = 1

=> θ = π/4

(v) x ² /a ² + y ² /b ² = 1 y x ² + y ² = ab

Solución:

La primera curva es x ² /a ² + y ² /b ² = 1 . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x/a ² + (2y/b ² ) (dy/dx) = 0

=> m ₁ = dy/dx = –b ² x/a ² y

La segunda curva es x ² + y ² = ab . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 2y (dy/dx) = 0

=> m2 ₌ dy/dx = –2x/2y = –x/y

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> x ² /a ² + (ab – x ² )/b ² = 1

=> x ² segundo ² – un ² x ² = un ^{2 segundo} 2 ^– un ³ segundo

=> x2 ⁼ $\frac{a^2b(b-a)}{b^2-a^2}$

=> x = $\pm\sqrt{\frac{a^2b}{a+b}}$

De (2), obtenemos, y ² = $ab-\frac{a^2b}{a+b}$

=> y = $\pm\sqrt{\frac{ab^2}{a+b}}$

Entonces, m ₁ = –b ² x/a ² y = $\frac{-b^2\sqrt{\frac{a^2b}{a+b}}}{a^2\sqrt{\frac{ab^2}{a+b}}}$

= $\frac{-b\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}$

m2 ₌ –x/y = $\frac{-\sqrt{\frac{a^2b}{a+b}}}{\sqrt{\frac{ab^2}{a+b}}}$

= $\frac{-\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Por lo tanto, tan θ = $\frac{|\frac{-b\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}|}{|1+\frac{a}{b}|}$

=> tan θ = $\frac{|\frac{a^2-b^2}{a\sqrt{a}b}|}{|\frac{a+b}{b}|}$

=> tan θ = $\frac{a-b}{\sqrt{a}b}$

=> θ = tan ^–1 ((a–b)/√ab)

(vi) x ² + 4y ² = 8 y x ² – 2y ² = 2

Solución:

La primera curva es x ² + 4y ² = 8 . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 8y (dy/dx) = 0

=> m ₁ = dy/dx = –2x/8y = –x/4y

La segunda curva es x ² – 2y ² = 2 . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x – 4y (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = x/2y

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

6y2 = ⁶ => y2 = ±1

x2 = ² + 2 => x = ±2

Entonces, tan θ = $|\frac{1-2}{1+1×2}|=\frac{1}{3}$

=> θ = bronceado ^–1 (1/3)

(vii) x2 = 27y y ^y2⁼ 8x

Solución:

La primera curva es x ² = 27y . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x = 27 (dy/dx)

=> m ₁ = dy/dx = 2x/27

La segunda curva es y ² = 8x . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2y (dy/dx) = 8

=> m ₂ = dy/dx = 8/2y = 4/y

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> y ⁴ /64 = 27 años

=> y (y ³ − 1728) = 0

=> y = 0 o y = 12

Y x = 0 o x = 18.

Entonces, cuando x = 0 y y = 0

metro ₁ = 0 y metro ₂ = ∞

bronceado θ = $|\frac{0-∞}{1+0×∞}|$ = ∞

=> θ = π/2

Entonces, cuando x = 18 y y = 12

m ₁ = 2x/27 = 12/9 = 4/3 y m ₂ = 4/y = 1/3

tan θ = $|\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}{1+\frac{4}{3}×\frac{1}{3}}|=\frac{9}{13}$

=> θ = tan ⁻¹ (9/13)

(viii) x ² + y ² = 2x y y ² = x

Solución:

La primera curva es x ² + y ² = 2x . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 2y (dy/dx) = 2

=> m ₁ = dy/dx = (1–x)/y

La segunda curva es y ² = x . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2y (dy/dx) = 1

=> m ₂ = dy/dx = 1/2y

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> x ² – x = 0

=> x = 0 o x = 1

Y y = 0 o y = ±1.

Cuando x = 0, y = 0, m ₁ = ∞ y m ₂ = ∞

tan θ = $|\frac{∞-∞}{1+∞×∞}| = ∞$

=> θ = π/2

Cuando x = 1 y y = ±1, m ₁ = 0 y m ₂ = 1/2

tan θ = $|\frac{0-\frac{1}{2}}{1+0×\frac{1}{2}}|=\frac{1}{2}$

=> θ = bronceado ⁻¹ (1/2)

(ix) y = 4 − x ² y y = x ²

Solución:

La primera curva es y = 4 − x ² . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> dy/dx = −2x

=> m ₁ = dy/dx = −2x

La segunda curva es y = x ² . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> dy/dx = 2x

=> m ₂ = dy/dx = 2x

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> 2×2 = ⁴

=> x = ±√2

y y = 2

Entonces, m ₁ = −2x = −2√2 y m ₂ = 2x = 2√2

tan θ = $|\frac{-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{1+(-2\sqrt{2})×2\sqrt{2}}|=\frac{4\sqrt{2}}{7}$

=> θ = bronceado ⁻¹ (4√2/7)

Pregunta 2. Muestre que el siguiente conjunto de curvas se intersecan ortogonalmente:

(i) y = x ³ y 6y = 7 – x ²

Solución:

La primera curva es y = x ³ . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> dy/dx = 3x ²

=> m ₁ = dy/dx = 3x ²

La segunda curva es 6y = 7 – x ² . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 6y (dy/dx) = – 2x

=> m2 ₌ dy/dx = –2x/6y = – x/3y

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

^{= >} 6y = 7 – x2

=> 6x ³ + x ² – 7 = 0

Como x = 1 satisface esta ecuación, obtenemos x = 1 y y = 1 ³ = 1

Entonces, m ₁ = 3 y m ₂ = – 1/3

Dos curvas se cortan ortogonalmente si m ₁ m ₂ = –1

=> 3 × (–1/3) = –1

Por lo tanto probado.

(ii) x ³ – 3xy ² = – 2 y 3x ² y – y ³ = 2

Solución:

La primera curva es x ³ – 3xy ² = – 2

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 3x ² – 3y ² – 6xy (dy/dx) = 0

=> m ₁ = dy/dx = 3(x ² –y ² )/6xy

La segunda curva es 3x ² y – y ³ = 2

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 6xy + 3x ² (dy/dx) – 3y ² (dy/dx) = 0

=> m2 _{= dy/dx}⁼ –6xy/3( ^x2 –y2 )

Dos curvas se cortan ortogonalmente si m ₁ m ₂ = –1

=> $\frac{3(x^2-y^2)}{6xy}×\frac{-6xy}{3(x^2-y^2)}$ = –1

Por lo tanto probado.

(iii) x ² + 4y ² = 8 y x ² – 2y ² = 4.

Solución:

La primera curva es x ² + 4y ² = 8 . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 8y (dy/dx) = 0

=> m ₁ = dy/dx = 2x/8y = –x/4y

La segunda curva es x ² – 2y ² = 4 . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x – 4y (dy/dx) = 0

=> m2 ₌ dy/dx = 2x/4y = x/2y

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> x = 4/√3 y y = √2/√3

Entonces, m ₁ = –x/4y = –1/√2

m2 ₌ x/2y = √2

Dos curvas se cortan ortogonalmente si m ₁ m ₂ = –1

=> (–1/√2) × √2 = –1

Por lo tanto probado.

Pregunta 3. Muestre que las curvas:

(i) x ² = 4y y 4y + x ² = 8 se cortan ortogonalmente en (2, 1).

Solución:

La primera curva es x ² = 4y

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x = 4 (dy/dx)

=> m ₁ = dy/dx = 2x/4 = x/2

La segunda curva es 4y + x ² = 8

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 4 (dy/dx) + 2x = 0

=> m ₂ = dy/dx = −2x/4 =−x/2

Para x = 2 y y = 1, tenemos m ₁ = 2/2 = 1 y m ₂ = −x/2 = −1.

Dos curvas se cortan ortogonalmente si m ₁ m ₂ = –1

=> 1 × (–1) = –1

Por lo tanto, estas dos curvas se cortan ortogonalmente en (2, 1).

Por lo tanto probado.

(ii) x ² = y y x ³ + 6y = 7 se cortan ortogonalmente en (1, 1).

Solución:

La primera curva es x ² = y

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x = dy/dx

=> m ₁ = dy/dx = 2x

La segunda curva es x ³ + 6y = 7

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 3x ² + 6 (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = −3x ² /6 =−x ² /2

Para x = 1 y y = 1, tenemos m ₁ = 2(1) = 2 y m ₂ = −(1) ² /2 = −1/2.

Dos curvas se cortan ortogonalmente si m ₁ m ₂ = –1

=> 2 × (–1/2) = –1

Por lo tanto, estas dos curvas se cortan ortogonalmente en (1, 1).

Por lo tanto probado.

(iii) y ² = 8x y 2x ² + y ² = 10 se cortan ortogonalmente en (1, 2√2).

Solución:

La primera curva es y ² = 8x

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2y (dy/dx) = 8

=> m ₁ = dy/dx = 8/2y = 4/y

La segunda curva es 2x ² + y ² = 10

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 4x + 2y (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = −4x/2y =−2x/y

Para x = 1 y y = 2√2, tenemos m ₁ = 4/2√2 = √2 y m ₂ = −2/2√2 = −1/√2

Dos curvas se cortan ortogonalmente si m ₁ m ₂ = –1

=> √2 × (−1/√2) = –1

Por lo tanto, estas dos curvas se cortan ortogonalmente en (1, 2√2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 4. Muestre que las curvas 4x = y ² y 4xy = k cortan en ángulo recto, si k ² = 512.

Solución:

La primera curva es 4x = y ² . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2y (dy/dx) = 4

=> m ₁ = dy/dx = 4/2y = 2/y

La segunda curva es 4xy = k. . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> y + x (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = −y/x

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> y ³ = k

=> y = k ^1/3

Entonces, x = k ^2/3/4

Como las curvas se cortan en ángulo recto, m ₁ m ₂ = –1

=> (2/año) × (−y/x) = –1

=> 2/x = 1

=> 8/k ^2/3 = 1

=> k ^2/3 = 8

=> k2 ⁼ 512

Por lo tanto probado.

Pregunta 5. Muestre que las curvas 2x = y ² y 2xy = k cortan en ángulo recto, si k ² = 8.

Solución:

La primera curva es 2x = y ² . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2y (dy/dx) = 2

=> m ₁ = dy/dx = 2/2y = 1/y

La segunda curva es 2xy = k. . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> y + x (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = −y/x

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> y ³ = k

=> y = k ^1/3

Entonces, x = k ^2/3/2

Como las curvas se cortan en ángulo recto, m ₁ m ₂ = –1

=> (1/año) × (−y/x) = –1

=> 1/x = 1

=> 2/k ^2/3 = 1

=> k ^2/3 = 2

=> k2 = ⁸

Por lo tanto probado.

Pregunta 6. Demuestra que las curvas xy = 4 y x ² + y ² = 8 se tocan entre sí.

Solución:

Tenemos,

xy = 4 . . . . (1)

x ² + y ² = 8 . . . . (2)

Resolviendo (1) y (2), obtenemos,

=> (4/año) ² + y ² = 8

=> y ⁴ − 8y ² + 16 = 0

=> (y ² − 4) ² = 0

=> y = ±2

Y obtenemos x = ±2.

Ecuación diferencial. (1) con respecto a x, obtenemos,

=> y + x (dy/dx) = 0

=> m ₁ = dy/dx = −y/x

Ecuación diferencial. (2) con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 2y (dy/dx) = 0

=> dy/dx = −x/y

En x = 2 y y = 2, tenemos,

m ₁ = −2/2 = −1 y también m ₂ = −2/2 = −1. Por lo tanto m ₁ = m ₂ .

También en x = −2 y y = −2, tenemos m ₁ = m ₂

Entonces, podemos decir que las curvas se tocan en (2, 2) y (−2, −2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 7. Demuestra que las curvas y ² = 4x y x ² + y ² − 6x + 1 = 0 se tocan en el punto (1, 2).

Solución:

Tenemos,

y2 ⁼ 4x. . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2y (dy/dx) = 4

=> m ₁ = dy/dx = 2/y

También tenemos,

X ² + y ² – 6x + 1 = 0 . . . . (2)

Derivando ambos con respecto a x, obtenemos,

=> 2x + 2y (dy/dx) − 6 = 0

=> m ₂ = dy/dx = (6−2x)/2y = (3−x)/y

En x = 1 y y = 2, tenemos,

metro ₁ = 2/2 = 1

metro2 ₌ (3−1)/2 = 1.

Como m ₁ = m ₂ , podemos decir que las curvas se tocan en (1, 2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 8. Encuentra la condición para que las siguientes curvas se corten ortogonalmente:

(i) x ² /a ² − y ² /b ² = 1 y xy = c ²

Solución:

Tenemos,

x ² /a ² − y ² /b ² = 1

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x/a ² − (2y/b ² ) (dy/dx) = 0

=> m ₁ = dy/dx = b ² x/a ² y

Además, xy = c ²

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> y + x (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = −y/x

Para que las curvas se crucen ortogonalmente, m ₁ m ₂ = −1.

=> (b ² x/a ² y) (−y/x) = −1

=> un ² = ^{segundo 2}

Por lo tanto, a ² = b ² es la condición para que las curvas se corten ortogonalmente.

(ii) x ² /a ² + y ² /b ² = 1 y x ² /A ² − y ² /B ² = 1

Solución:

Tenemos,

x ² /a ² + y ² /b ² = 1 . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x/a ² + (2y/b ² ) (dy/dx) = 0

=> m ₁ = dy/dx = −b ² x/a ² y

Además, x ² /A ² − y ² /B ² = 1 . . . . (2)

=> 2x/A ² − (2y/B ² ) (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = B ² x/A ² y

Para que las curvas se crucen ortogonalmente, m ₁ m ₂ = −1.

=> (−b ² x/a ² y) (B ² x/A ² y) = −1

=> X ² /y ² = un ² UN ² /b 2 ^segundo² . . . . (3)

Restar (2) de (1) da,

=> $x^2[\frac{1}{a^2}-\frac{1}{A^2}]+y^2[\frac{1}{b^2}+\frac{1}{B^2}]=0$

=> $\frac{x^2}{y^2}=(\frac{b^2+B^2}{b^2B^2})×(\frac{a^2-A^2}{a^2A^2})$

Poniendo este valor en (3), obtenemos,

=> $\frac{b^2+B^2}{b^2B^2}×\frac{a^2-A^2}{a^2A^2}=\frac{a^2A^2}{b^2B^2}$

=> ^{segundo 2} + ^{segundo 2} = un ² − UN ²

=> un ² – ^{segundo 2} = UN ² + ^{segundo 2}

Por lo tanto, a ² − b ² = A ² + B ² es la condición para que las curvas se corten ortogonalmente.

Pregunta 9. Demuestra que las curvas $\frac{x^2}{a^2+λ_1}+\frac{y^2}{b^2+λ_1}=1$ y se $\frac{x^2}{a^2+λ_2}+\frac{y^2}{b^2+λ_2}=1$ intersecan en ángulos rectos.

Solución:

Tenemos,

$\frac{x^2}{a^2+λ_1}+\frac{y^2}{b^2+λ_1}=1$ . . . . (1)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x/(a ² + λ ₁ ) + 2y/(b ² + λ ₁ ) (dy/dx) = 0

=> m ₁ = dy/dx = $\frac{−x(b^2 + λ_1)}{y(a^2 + λ_1)}$

También tenemos,

$\frac{x^2}{a^2+λ_2}+\frac{y^2}{b^2+λ_2}=1$ . . . . (2)

Derivando ambos lados con respecto a x, obtenemos,

=> 2x/(a ² + λ ₂ ) + 2y/(b ² + λ ₂ ) (dy/dx) = 0

=> m ₂ = dy/dx = $\frac{−x(b^2 + λ_2)}{y(a^2 + λ_2)}$

Para que las curvas se crucen ortogonalmente, m ₁ m ₂ = −1.

=> $m_1m_2=\frac{−x(b^2 + λ_1)}{y(a^2 + λ_1)}×\frac{−x(b^2 + λ_2)}{y(a^2 + λ_2)}$

=> $m_1m_2=\frac{x^2}{y^2}×\frac{(b^2 + λ_1)(b^2 + λ_2)}{(a^2 + λ_1)(a^2 + λ_2)}$ . . . . (3)

Restar (2) de (1) da,

=> $x^2[\frac{1}{a^2+λ_1}-\frac{1}{a^2+λ_2}]+y^2[\frac{1}{b^2+λ_1}-\frac{1}{b^2+λ_2}]=0$

=> $\frac{x^2}{y^2}=\frac{λ_2-λ_1}{(b^2+λ_1)(b^2+λ_2)}×\frac{(a^2+λ_1)(a^2+λ_2)}{λ_1-λ_2}$

Poniendo este valor en (3), obtenemos,

=> $m_1m_2=\frac{λ_2-λ_1}{(b^2+λ_1)(b^2+λ_2)}×\frac{(a^2+λ_1)(a^2+λ_2)}{λ_1-λ_2}×\frac{(b^2 + λ_1)(b^2 + λ_2)}{(a^2 + λ_1)(a^2 + λ_2)}$

=> metro ₁ metro ₂ = −1

Por lo tanto probado.

Pregunta 10. Si la recta x cos α + y sen α = p toca la curva x ² /a ² − y ² /b ² = 1, entonces demuestre que a ² cos ² α − b ² sen ² α = p ² .

Solución:

Supongamos que (x ₁ , y ₁ ) es el punto donde la línea recta x cos α + y sen α = p toca la curva

x ² /a ² − y ² /b ² = 1.

Ahora la ecuación de la tangente a x ² /a ² − y ² /b ² = 1 en (x ₁ , y ₁ ) será,

=> $\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1$

Por tanto, la ecuación $\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1$ y la recta x cos α + y sen α = p representan la misma recta. Entonces, obtenemos,

=> $\frac{x_1}{a^2cosα}=\frac{-y_1}{b^2sinα}=\frac{1}{p}$

=> x ₁ = a ² (cos α)/p y x ₂ = b ² (sen α)/p . . . . (1)

Ahora el punto (x ₁ , y ₁ ) se encuentra en la curva x ² /a ² − y ² /b ² = 1.

=> $\frac{x^2_1}{a^2}−\frac{y^2_1}{b^2}=1$

Usando (1), obtenemos,

=> $\frac{a^4cos^2α}{p^2a^2}-(\frac{-b^4sin^2α}{p^2b^2})=1$

=> un ² cos ² α − ^{segundo 2} pecado ² α = pag ²

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra el ángulo de intersección de las siguientes curvas:

(i) y 2 = x y x 2 = y

(ii) y = x 2 y x 2 + y 2 = 20

(iii) 2y 2 = x 3 y y 2 = 32x

(iv) x 2 + y 2 – 4x – 1 = 0 y x 2 + y 2 – 2y – 9 = 0

(v) x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 y x 2 + y 2 = ab

(vi) x 2 + 4y 2 = 8 y x 2 – 2y 2 = 2

(vii) x2 = 27y y y2 = 8x

(viii) x 2 + y 2 = 2x y y 2 = x

(ix) y = 4 − x 2 y y = x 2

Pregunta 2. Muestre que el siguiente conjunto de curvas se intersecan ortogonalmente:

(i) y = x 3 y 6y = 7 – x 2

(ii) x 3 – 3xy 2 = – 2 y 3x 2 y – y 3 = 2

(iii) x 2 + 4y 2 = 8 y x 2 – 2y 2 = 4.

Pregunta 3. Muestre que las curvas:

(i) x 2 = 4y y 4y + x 2 = 8 se cortan ortogonalmente en (2, 1).

(ii) x 2 = y y x 3 + 6y = 7 se cortan ortogonalmente en (1, 1).

(iii) y 2 = 8x y 2x 2 + y 2 = 10 se cortan ortogonalmente en (1, 2√2).

Pregunta 4. Muestre que las curvas 4x = y 2 y 4xy = k cortan en ángulo recto, si k 2 = 512.

Pregunta 5. Muestre que las curvas 2x = y 2 y 2xy = k cortan en ángulo recto, si k 2 = 8.

Pregunta 6. Demuestra que las curvas xy = 4 y x 2 + y 2 = 8 se tocan entre sí.

Pregunta 7. Demuestra que las curvas y 2 = 4x y x 2 + y 2 − 6x + 1 = 0 se tocan en el punto (1, 2).

Pregunta 8. Encuentra la condición para que las siguientes curvas se corten ortogonalmente:

(i) x 2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1 y xy = c 2

(ii) x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 y x 2 /A 2 − y 2 /B 2 = 1

Pregunta 9. Demuestra que las curvas y se intersecan en ángulos rectos.

Pregunta 10. Si la recta x cos α + y sen α = p toca la curva x 2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1, entonces demuestre que a 2 cos 2 α − b 2 sen 2 α = p 2 .

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(i) y ² = x y x ² = y

(ii) y = x ² y x ² + y ² = 20

(iii) 2y ² = x ³ y y ² = 32x

(iv) x ² + y ² – 4x – 1 = 0 y x ² + y ² – 2y – 9 = 0

(v) x ² /a ² + y ² /b ² = 1 y x ² + y ² = ab

(vi) x ² + 4y ² = 8 y x ² – 2y ² = 2

(vii) x2 = 27y y ^y2⁼ 8x

(viii) x ² + y ² = 2x y y ² = x

(ix) y = 4 − x ² y y = x ²

(i) y = x ³ y 6y = 7 – x ²

(ii) x ³ – 3xy ² = – 2 y 3x ² y – y ³ = 2

(iii) x ² + 4y ² = 8 y x ² – 2y ² = 4.

(i) x ² = 4y y 4y + x ² = 8 se cortan ortogonalmente en (2, 1).

(ii) x ² = y y x ³ + 6y = 7 se cortan ortogonalmente en (1, 1).

(iii) y ² = 8x y 2x ² + y ² = 10 se cortan ortogonalmente en (1, 2√2).

Pregunta 4. Muestre que las curvas 4x = y ² y 4xy = k cortan en ángulo recto, si k ² = 512.

Pregunta 5. Muestre que las curvas 2x = y ² y 2xy = k cortan en ángulo recto, si k ² = 8.

Pregunta 6. Demuestra que las curvas xy = 4 y x ² + y ² = 8 se tocan entre sí.

Pregunta 7. Demuestra que las curvas y ² = 4x y x ² + y ² − 6x + 1 = 0 se tocan en el punto (1, 2).

(i) x ² /a ² − y ² /b ² = 1 y xy = c ²

(ii) x ² /a ² + y ² /b ² = 1 y x ² /A ² − y ² /B ² = 1

Pregunta 9. Demuestra que las curvas $\frac{x^2}{a^2+λ_1}+\frac{y^2}{b^2+λ_1}=1$ y se $\frac{x^2}{a^2+λ_2}+\frac{y^2}{b^2+λ_2}=1$ intersecan en ángulos rectos.

Pregunta 10. Si la recta x cos α + y sen α = p toca la curva x ² /a ² − y ² /b ² = 1, entonces demuestre que a ² cos ² α − b ² sen ² α = p ² .