Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 11 Diferenciación – Ejercicio 11.3

Pregunta 17. Deriva $y=tan^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1-4^x}\right)$ , −∞ < x < 0 con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1-4^x}\right)$ , −∞ < x < 0

Al poner 2 ^x = tan θ, obtenemos,

$y=tan^{-1}\left(\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}\right)$

= $tan^{-1}\left(tan2θ\right)$

Ahora, −∞ < x < 0

=> 0 < 2 ^x < 1

=> 0 < θ < π/4

=> 0 < 2θ < π/2

Entonces, y = 2θ

= 2 tan ⁻¹ (2 ^x )

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(2 tan^{−1} (2^x)\right)$

= $\frac{2.2^xlog2}{1+(2^x)^2}$

= $\frac{2^{x+1}log2}{1+4^x}$

Pregunta 18. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{2a^{x}}{1-a^{2x}}\right)$ , a > 1, −∞ < x < 0 con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{2a^{x}}{1-a^{2x}}\right)$ , −∞ < x < 0

Al poner a ^x = tan θ, obtenemos,

$y=tan^{-1}\left(\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}\right)$

= $tan^{-1}\left(tan2θ\right)$

Ahora, −∞ < x < 0

=> 0 < un ^x < 1

=> 0 < θ < π/4

=> 0 < 2θ < π/2

Entonces, y = 2θ

= 2 tan ⁻¹ ( ^ax )

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(2 tan^{−1} (a^x)\right)$

= $\frac{2a^xloga}{1+(a^x)^2}$

= $\frac{2a^{x}loga}{1+a^{2x}}$

Pregunta 19. Diferenciar $y=sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}\right)$ , 0 < x < 1 con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}\right)$ , 0 < x < 1

Al poner x = cos 2θ, obtenemos,

$y=sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+cos2θ}+\sqrt{1-cos2θ}}{2}\right)$

= $sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2cos^2θ}+\sqrt{2sin^2θ}}{2}\right)$

= $sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}cosθ+\sqrt{2}sinθ}{2}\right)$

= $sin^{-1}\left(cosθ\frac{1}{\sqrt{2}}+sinθ\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

= $sin^{-1}\left(sin(θ+\frac{π}{4})\right)$

Ahora, 0 < x < 1

=> 0 < cos 2θ < 1

=> 0 < 2θ < π/2

=> 0 < θ < π/4

=> π/4 < (θ+π/4) < π/2

Entonces, y = $θ+\frac{π}{4}$

= $\frac{1}{2}cos^{-1}x+\frac{π}{4}$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}cos^{-1}x+\frac{π}{4}\right)$

= $\frac{1}{2}(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}})+0$

= $\frac{-1}{2\sqrt{1-x^2}}$

Pregunta 20. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2x^2}-1}{ax}\right)$ , x ≠ 0 con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2x^2}-1}{ax}\right)$

Al poner ax = tan θ, obtenemos,

$y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+tan^2θ}-1}{tanθ}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{secθ-1}{tanθ}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{1-cosθ}{sinθ}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{2sin^2\frac{θ}{2}}{2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}\right)$

= $tan^{-1}\left(tan\frac{θ}{2}\right)$

= $\frac{θ}{2}$

= $\frac{1}{2}tan^{-1}\left(ax\right)$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}tan^{-1}\left(ax\right)\right)$

= $\frac{a}{2(1+a^2x^2)}$

Pregunta 21. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{sinx}{1+cosx}\right)$ , −π < x < π con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{sinx}{1+cosx}\right)$ , −π < x < π

= $tan^{-1}\left(\frac{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2cos^2\frac{x}{2}}\right)$

= $tan^{-1}\left(tan\frac{x}{2}\right)$

= $\frac{x}{2}$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)$

= $\frac{1}{2}$

Pregunta 22. Diferenciar $y=sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

Al poner x = cot θ, obtenemos,

$y=sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+cot^2θ}}\right)$

= $sin^{-1}\left(\frac{1}{cosecθ}\right)$

= $sin^{-1}\left(sinθ\right)$

= θ

= cuna ⁻¹ x

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(cot^{-1}x\right)$

= $\frac{-1}{1+x^2}$

Pregunta 23. Diferenciar $y=cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\right)$ , 0 < x < ∞ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\right)$ ,0 < x < ∞

Al poner x ⁿ = tan θ, obtenemos,

$y=cos^{-1}\left(\frac{1-tan^{2}θ}{1+tan^{2}θ}\right)$

= $cos^{-1}\left(cos2θ\right)$

Ahora, 0 < x < ∞

=> 0 < X ^norte < ∞

=> 0 < θ < π/2

=> 0 < 2θ < π

Entonces, y = 2θ

= 2 tan ^–1 (x ⁿ )

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(2 tan^{-1}(x^n)\right)$

= $\frac{2}{1+x^{2n}}×(nx^{n-1})$

= $\frac{2nx^{n-1}}{1+x^{2n}}$

Pregunta 24. Derive $y=sin^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)+sec^{-1}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)$ , x ∈ R con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=sin^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)+sec^{-1}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)$

= $sin^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)+cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$

= $\frac{π}{2}$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{π}{2})$

= 0

Pregunta 25. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+x}{1-ax}\right)$ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{a+x}{1-ax}\right)$

= $tan^{-1}a+tan^{-1}x$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(tan^{-1}a+tan^{-1}x)$

= 0 + $\frac{1}{1+x^2}$

= $\frac{1}{1+x^2}$

Pregunta 26. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{xa}}\right)$ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{xa}}\right)$

= $tan^{-1}\sqrt{x}+tan^{-1}\sqrt{a}$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(tan^{-1}\sqrt{x}+tan^{-1}\sqrt{a}\right)$

= $\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}×\frac{1}{2\sqrt{x}} + 0$

= $\frac{1}{2\sqrt{x(}1+x)}$

Pregunta 27. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+btanx}{b-atanx}\right)$ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{a+btanx}{b-atanx}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{\frac{a+btanx}{b}}{\frac{b-atanx}{b}}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{\frac{a}{b}+tanx}{1-\frac{atanx}{b}}\right)$

= $tan^{-1}(\frac{a}{b})+tan^{-1}(tanx)$

= $tan^{-1}(\frac{a}{b})+x$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(tan^{-1}(\frac{a}{b})+x\right)$

= 0 + 1

= 1

Pregunta 28. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)$ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{\frac{a+bx}{b}}{\frac{b-ax}{b}}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{\frac{a}{b}+x}{1-\frac{ax}{b}}\right)$

= $tan^{-1}(\frac{a}{b})+tan^{-1}x$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(tan^{-1}(\frac{a}{b})+tan^{-1}x\right)$

= 0 + $\frac{1}{1+x^2}$

= $\frac{1}{1+x^2}$

Pregunta 29. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)$ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{\frac{x-a}{a}}{\frac{x+a}{a}}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{\frac{x}{a}-1}{1+\frac{x}{a}}\right)$

= $tan^{-1}(\frac{x}{a})-tan^{-1}1$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(tan^{-1}(\frac{x}{a})-tan^{-1}1\right)$

= $\frac{1}{a(1+\frac{x^2}{a^2})}$

= $\frac{a^2}{a(a^2+x^2)}$

= $\frac{a}{a^2+x^2}$

Pregunta 30. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{x}{1+6x^2}\right)$ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{x}{1+6x^2}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{3x-2x}{1+(3x)(2x)}\right)$

= $tan^{-1}(3x)-tan^{-1}(2x)$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left((tan^{-1}(3x)-tan^{-1}(2x)\right)$

= $\frac{3}{1+(3x)^2}-\frac{2}{1+(2x)^2}$

= $\frac{3}{1+9x^2}-\frac{2}{1+4x^2}$

Pregunta 31. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{5x}{1-6x^2}\right)$ con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{5x}{1-6x^2}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{3x+2x}{1-(3x)(2x)}\right)$

= $tan^{-1}(3x)+tan^{-1}(2x)$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left((tan^{-1}(3x)+tan^{-1}(2x)\right)$

= $\frac{3}{1+(3x)^2}+\frac{2}{1+(2x)^2}$

= $\frac{3}{1+9x^2}+\frac{2}{1+4x^2}$

Pregunta 32. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}\right)$ , −π/4 < x < π/4 con respecto a x.

Solución:

Tenemos, $y=tan^{-1}\left(\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}\right)$ , −π/4 < x < π/4

= $tan^{-1}\left(\frac{\frac{cosx+sinx}{cosx}}{\frac{cosx-sinx}{cosx}}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{1+tanx}{1-tanx}\right)$

= $tan^{-1}\left(\frac{tan\frac{π}{4}+tanx}{1-tan\frac{π}{4}tanx}\right)$

= $tan^{-1}\left(tan(\frac{π}{4}+x)\right)$

= $\frac{π}{4}+x$

Derivando con respecto a x, obtenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{π}{4}+x\right)$

= 0 + 1

= 1

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Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 11 Diferenciación – Ejercicio 11.3 | conjunto 2

Pregunta 17. Deriva $y=tan^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1-4^x}\right)$ , −∞ < x < 0 con respecto a x.

Pregunta 18. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{2a^{x}}{1-a^{2x}}\right)$ , a > 1, −∞ < x < 0 con respecto a x.

Pregunta 19. Diferenciar $y=sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}\right)$ , 0 < x < 1 con respecto a x.

Pregunta 20. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2x^2}-1}{ax}\right)$ , x ≠ 0 con respecto a x.

Pregunta 21. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{sinx}{1+cosx}\right)$ , −π < x < π con respecto a x.

Pregunta 22. Diferenciar $y=sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 23. Diferenciar $y=cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\right)$ , 0 < x < ∞ con respecto a x.

Pregunta 24. Derive $y=sin^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)+sec^{-1}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)$ , x ∈ R con respecto a x.

Pregunta 25. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+x}{1-ax}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 26. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{xa}}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 27. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+btanx}{b-atanx}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 28. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 29. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 30. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{x}{1+6x^2}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 31. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{5x}{1-6x^2}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 32. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}\right)$ , −π/4 < x < π/4 con respecto a x.

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Pregunta 17. Deriva , −∞ < x < 0 con respecto a x.

Pregunta 18. Diferenciar , a > 1, −∞ < x < 0 con respecto a x.

Pregunta 19. Diferenciar , 0 < x < 1 con respecto a x.

Pregunta 20. Diferenciar , x ≠ 0 con respecto a x.

Pregunta 21. Diferenciar , −π < x < π con respecto a x.

Pregunta 22. Diferenciar con respecto a x.

Pregunta 23. Diferenciar , 0 < x < ∞ con respecto a x.

Pregunta 24. Derive , x ∈ R con respecto a x.

Pregunta 25. Diferenciar con respecto a x.

Pregunta 26. Diferenciar con respecto a x.

Pregunta 27. Diferenciar con respecto a x.

Pregunta 28. Diferenciar con respecto a x.

Pregunta 29. Diferenciar con respecto a x.

Pregunta 30. Diferenciar con respecto a x.

Pregunta 31. Diferenciar con respecto a x.

Pregunta 32. Diferenciar , −π/4 < x < π/4 con respecto a x.

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Pregunta 17. Deriva $y=tan^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1-4^x}\right)$ , −∞ < x < 0 con respecto a x.

Pregunta 18. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{2a^{x}}{1-a^{2x}}\right)$ , a > 1, −∞ < x < 0 con respecto a x.

Pregunta 19. Diferenciar $y=sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}\right)$ , 0 < x < 1 con respecto a x.

Pregunta 20. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2x^2}-1}{ax}\right)$ , x ≠ 0 con respecto a x.

Pregunta 21. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{sinx}{1+cosx}\right)$ , −π < x < π con respecto a x.

Pregunta 22. Diferenciar $y=sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 23. Diferenciar $y=cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\right)$ , 0 < x < ∞ con respecto a x.

Pregunta 24. Derive $y=sin^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)+sec^{-1}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)$ , x ∈ R con respecto a x.

Pregunta 25. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+x}{1-ax}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 26. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{xa}}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 27. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+btanx}{b-atanx}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 28. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 29. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 30. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{x}{1+6x^2}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 31. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{5x}{1-6x^2}\right)$ con respecto a x.

Pregunta 32. Diferenciar $y=tan^{-1}\left(\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}\right)$ , −π/4 < x < π/4 con respecto a x.