La trigonometría es básicamente el estudio de la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. Es uno de los temas más utilizados de las matemáticas que se utiliza en la vida diaria. Se trata de operaciones sobre un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene uno de los ángulos igual a 90°. Hay algunos términos que debemos conocer antes de continuar. Estos términos son,
- Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo. En el lado de la figura 1, AC es la hipotenusa.
- Perpendicular: la perpendicular de un triángulo, correspondiente a un ángulo θ particularmente agudo, es el lado opuesto al ángulo θ. En el lado de la figura 1, AB es la perpendicular correspondiente al ángulo θ.
- Base – Es el lado adyacente a un ángulo particularmente agudo θ. En la figura 1 el lado BC es la base correspondiente al ángulo θ.
Figura 1
Funciones trigonométricas
Como se dijo anteriormente, la trigonometría representa la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Esta relación está representada por razones estándar y se da de la siguiente manera:
- Seno (sin) El seno de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la hipotenusa del triángulo.
sen θ = perpendicular/hipotenusa =p/h
- Coseno (cos) El coseno de un ángulo θ es el cociente entre la longitud de la base, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la hipotenusa del triángulo.
cos θ = base/hipotenusa=b/h
- Tangente (tan) La tangente de un ángulo θ es la razón de la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, a la longitud de la base para el ángulo particular del triángulo.
tan θ = perpendicular/base=p/b
- Cotangente (cot) Es el recíproco de la tangente.
cuna θ = 1/tan θ = base/perpendicular=b/p
- Secante (seg) Es el recíproco del coseno.
sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/base=h/b
- Cosecante (cosec) Es el recíproco del seno.
cosec θ =1/sen θ = hipotenusa/perpendicular=h/p
Algunas de las relaciones trigonométricas junto con algunos de los ángulos estándar se dan en la siguiente tabla,
| 0 ° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| pecado | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| porque | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| broncearse | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
| cuna | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
| segundo | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ∞ |
| cosec | ∞ | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
Si tan (A + B) = √3 y tan (A – B) = 1/√3, 0° < A + B ≤ 90°; A > B, luego encuentra A y B
Solución:
Dado,
tan(A + B) = √3
Como A + B ≤ 90°,
Por lo tanto,
A ≤ 90° y B ≤ 90°
Según la tabla, el ángulo en el que tan adquiere el valor √3, es a 60°.
Por lo tanto,
tan(A + B) = √3 = tan 60°
bronceado(A + B) = bronceado 60°
A + B = 60° ⇢ (yo)
tan(A – B) = 1/√3
Según la tabla, el ángulo en el que tan adquiere el valor 1/√3, es a 30°. Por lo tanto,
tan(A – B) = 1/√3 = tan 30°
bronceado(A – B) = bronceado 30°
A – B = 30° ⇢ (ii)
Sumando la ecuación (i) y (ii),
2A = 90°
A = 45°
Poniendo el valor de A en la ecuación (i),
45° + B = 60°
B = 60°- 45°
B = 15°
Por lo tanto, el valor de A y B que satisface la ecuación dada es 45° y 15°, respectivamente.
Problemas similares
Pregunta 1: Si 2 sen 2 θ – 1= 0, y 0°< θ< 90°, encuentre los valores de los siguientes
una. cos θ + cos 2θ
b. sen θ × sen 2θ
Solución:
2 sen 2 θ – 1 = 0
2sen 2 θ = 1
sen 2 θ = 1/2
sen θ = 1/√2
El ángulo agudo para el cual el valor de sen es 1/√2 = 45°. Por lo tanto,
sen θ = 1/√2 = sen 45°
θ = 45°
Por lo tanto,
una. cos θ + cos 2θ
cos 45° + cos 2,45°
cos 45° + cos 90° (poniendo los valores de la tabla)
1/√2 + 0 = 1/√2
b. sen θ × sen 2θ
sen 45° × sen 2,45°
sen 45° × sen 90°
1/√2 × 1
1/√2
Pregunta 2: Encuentra A y B si sen(A – B) = 1/2 = cos(A + B) y A, B son ángulos agudos.
Solución:
pecado(A – B) = 1/2
Como A, B son ángulos agudos,
Por lo tanto, A – B también debe ser un ángulo agudo
El ángulo agudo para el cual el valor de sen es 1/2 = 30°. Por lo tanto,
sen(A – B) = sen 30° = 1/2
A – B = 30° ⇢ (yo)
El ángulo agudo para el cual el valor de cos es 1/2 = 60°, por lo tanto,
cos(A + B) = cos 60° = 1/2
A + B = 60° ⇢ (ii)
Sumando las ecuaciones (i) y (ii),
2A = 90°
A = 45°
Poniendo el valor de A en la ecuación (i), obtenemos
45° – B = 30°
B = 45° – 30°
B = 15°
Pregunta 3: Encuentre 2 tan 2 θ + cos 2 θ – 1, si sen θ = cos θ, donde 0°< θ< 90°.
Solución:
El ángulo agudo para el cual el valor de cos y sen son iguales =45°, por lo tanto,
cos θ = sen θ = cos 45°
θ = 45°
Por lo tanto,
2 tan 2 θ + cos 2 θ -1
= 2 tan 45° × tan 45° + cos 45° × cos 45° -1
= 2 × 1 × 1 + 1/√2 × 1/√2 -1
= 2 + 1/2 -1
= 3/2
(2sen θ – 1)(sen θ – 2) = 0
Al observar la ecuación, para satisfacer la ecuación, ya sea
(2sen θ – 1) = 0
o, (sen θ – 2) = 0
sen θ = 1/2
sen θ = 2 (ya que sen no puede exceder 1, por lo tanto sen θ – 2 no puede ser 0).
sen θ = 1/2 = sen 30°
θ =30°