Evalúa la suma dada: ∑k=130 (4k2-100k)

Mire a su alrededor, desde mirar los relojes o las alarmas por la mañana hasta todas las actividades que la gente hace, rodeada de números. La forma de representar estos números en la recta numérica mediante un conjunto de reglas y símbolos se denomina sistema numérico. En el mundo real, por lo general, se usan números que van del 0 al 9, este sistema de números se llama Sistema de números decimales. El número total de dígitos presentes en cualquier sistema numérico se denomina base o raíz de ese sistema numérico en particular. En el sistema numérico decimal, es «10».

Además del Sistema Numérico Decimal, existe el Sistema Numérico Binario (base 2 y 0, 1 como dígitos). El Sistema Numérico Octal (base 8 y 0-7 como sus dígitos) y el Sistema Numérico Hexadecimal [base 16 y consta de dígitos (0-9) y seis letras (A, B, C, D, E, F)]. Pruébalo, suma hasta 5. Parece fácil, ¿no? Posiblemente podría haber sido simplemente calculado (1 + 2 + 3 + 4 + 5) en tu cabeza. Pero, ¿qué pasa si se le pide que agregue los primeros 1000 números naturales? ¿Atascado? No seas, en Matemáticas se utilizan algunas propiedades y fórmulas para las mismas.

Progresión Aritmética (AP)

Es la sucesión de términos que tienen la misma diferencia entre los términos consecutivos. Por ejemplo, considere una escalera, sus peldaños están en orden descendente, es decir, los más grandes en la parte inferior y los más pequeños en la parte superior. Como se muestra, las longitudes de los peldaños son (64, 60, 56, 52, 48, 44, 40) cm comenzando desde la parte inferior.

Se puede ver que hay una diferencia común de -4 en todos los términos por lo tanto, es un AP. Ahora,

un ₂ = un + (1)(d) = 64 + (1)(-4)

un ₃ = un + 2d = 64 + (2)(-4) = 56

De manera similar, a _n (n-ésimo término) = a + (n-1)d

La suma de una serie viene dada por, S _n = a + a ₂ + a ₃ +…+ a _n

= a + (a + d) + (a + 2d) +…+ (a + (n-1)d)

= $\frac{n}{2}[2a + (n-1) d]$

Al usar AP, se obtienen propiedades de suma,

Suma de los primeros n números naturales = 1+2+3+…+n = ∑ n

En términos generales, la suma está representada por

Aquí ∑ se lee como Sigma y significa sumatoria.

Es un AP con

a (primer término) = 1

d (diferencia común) = 1

$S_{n} = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$S_{n} = \frac{n}{2}[2(1)+(n-1)(1)]$

$S_{n} = \frac{n}{2}(2+n-1)$

$S_{n} = \frac{n}{2}(n+1)$

$S_{n} = \frac{n}{2}[2(1)+(n-1)(1)]$

$\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$

De manera similar, al usar la expansión binomial se pueden lograr los siguientes resultados

Suma de cuadrados de los primeros n Números naturales (N) $= \sum n^{2} = \left [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right ]$

Suma de cubos de los primeros n Números naturales (N) $= \sum n^{3} = \left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}$

Evalúa la suma dada: $\sum_{k=1}^{30}(4k^{2} - 100k)$

Solución:

$\sum_{k=1}^{30}(4k^{2} - 100k) = ?$

$=> \sum_{k=1}^{30}(4k^{2}) - \sum_{k=1}^{30}(100k)$

$=> 4\sum_{k=1}^{30}(k^{2}) - 100\sum_{k=1}^{30}(k)$

$=> \left [\frac{4(30)(30+1)(2*30 +1)}{6} \right ]-\left [\frac{100(30)(30+1)}{2} \right ]$

=> 37820 – 46500

=> -8680

Paso 1: En el primer paso, la $\sum_{n = l}^{u} (a^{n}\pm b^{n}) = \sum_{n = l}^{u}a^{n} \pm \sum_{n= l}^{u}b^{n}$ propiedad de la suma donde u es el límite superior y l representa el límite inferior se usa como:

$\left [(4*1^{2}-100) + (4*2^{2} - 100*2) + ... +(4*30^{2} - 100*30) \right ] = \left [(4*1^{2} + 4*2^{2} + ...+ 4*30^{2}) - (100*1 + 100*2 + ... + 100*30) \right ]$

Paso 2: Los valores constantes 4 y 100 se toman como comunes respectivamente porque

$\sum_{n=l}^{u}ca^{n} = c\sum_{n=l}^{u}a^{n}$

Paso 3: En el tercer paso, se utilizan los resultados de la suma de los primeros n y los cuadrados de los primeros n números naturales y el valor de k se pone 30 porque la suma oscila entre 1 y 30 y luego simplemente se resuelve.

Problemas similares

Pregunta 1: Usa las propiedades y fórmulas para evaluar la suma dada , $\sum_{k=1}^{13}(2k^{3} - 3k^{2} - 23)$

Solución:

$\sum_{k=1}^{13}(2k^{3} - 3k^{2} - 23) = ?$

$=> \sum_{k=1}^{13}(2k^{3}) - \sum_{k=1}^{13}(3k^{2}) - \sum_{k=1}^{13}(23)$

$=> 2\sum_{k=1}^{13}(k^{3}) - 3\sum_{k=1}^{13}(k^{2}) - 23\sum_{k=1}^{13}(1)$

$=> 2\left [\frac{(13) (13+1)}{2} \right ]^{2} - \frac{3(13)(13+1)(2*13+1)}{6} - 23(13)$

=> 16562 – 2457 – 299

=> 13806

Pregunta 2: Usa las propiedades y fórmulas para evaluar la suma dada, $\sum_{k=0}^{10} \sum_{i=k+1}^{10}(k^{2}+3k+3)$

Solución:

$\sum_{k=0}^{10} \sum_{i=k+1}^{10}(k^{2}+3k+3) = ?$

$=> \sum_{k=0}^{10}(k^{2}+3k+3)(10-k)$

$=> \sum_{k=0}^{10}(10k^{2}-k^{3}+30k-3k^{2}+30-3k)$

$=> \sum_{k=0}^{10}(-k^{3}+7k^{2}+27k+30)$

$=> -\left [\frac{(k)(k+1)}{2} \right ] ^{2} + \left [\frac{7(k)(k+1)(2k+1)}{6} \right ]+\frac{27k(k+1)}{2}+30k$

$=> -\left [\frac{(11)(12)}{2} \right ]^{2} + \frac{7(11)(12)(23)}{6}+\frac{27(11)(12)}{2}+30(11)$

=> -4356 + 3542 + 1782 + 330

=> 1298