Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 10 Fórmulas de seno y coseno y sus aplicaciones – Ejercicio 10.1

Pregunta 16: En △ABC, prueba lo siguiente:

a ² (cos ² B – cos ² C) + b (cos ² C – cos ² A) + c (cos ² A – cos ² B) = 0

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

= a ² (cos ² B – cos ² C) + b (cos ² C – cos ² A) + c (cos ² A – cos ² B)

Usando la fórmula trigonométrica,

cos ² a = 1 – sen ² a

= λ ² sen ² A(1-sen ² B – (1-sen ² C)) + λ ² sen ² B(1-sen ² C – (1-sen ² A)) + λ ² sen ² C(1 -sen ² A – (1-sen ² B))

= λ ² sen ² A(1-sen ² B – 1+ sen ² C) + λ ² sen ² B(1-sen ² C – 1 + sen ² A) + λ ² sen ² C(1-sen ² A – 1+sen ² B)

= λ ² sen ² A (sen ² C – sen ² B) + λ ² sen ² B (sen ² A – sen ² C) + λ ² sen ² C (sen ² B – sen ² A)

= λ ² (sen ² A sen ² C – sen ² A sen ² B + sen ² B sen ² A – sen ² B sen ² C+ sen ² C sen ² B – sen ² C sen ² A)

= λ2 ( ⁰ )

=0

Como LHS = RHS

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 17: En △ABC, prueba lo siguiente:

b porque B + c porque C = a porque (BC)

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

= b cos B + c cos C

= λ sen B cos B + λ sen C cos C

= λ (sen B cos B + sen C cos C)

= $\frac{\lambda}{2}$ (2 sen B cos B + 2 sen C cos C)

Usando la fórmula trigonométrica,

2 sen a cos a = sen 2a

= $\frac{\lambda}{2}$ (sen 2B + sen 2C) ………………………..(1)

Ahora considerando RHS, tenemos

= a porque (BC)

= λ sen A cos (BC)

= $\frac{\lambda}{2}$ (2 sen A cos (BC))

Usando la fórmula trigonométrica,

2 sen a cos b = sen (a+b) + sen(ab)

$= \frac{\lambda}{2}(sin (A+B-C) + sin(A-B+C))\\ = \frac{\lambda}{2}(sin ((\pi-C)-C) + sin((\pi-B)-B))\\ = \frac{\lambda}{2}(sin (\pi-C-C) + sin(\pi-B-B))\\ = \frac{\lambda}{2}(sin (\pi-2C) + sin(\pi-2B))$

= $\frac{\lambda}{2}$ (sen 2C+ sen 2B) ……………………….(2)

Como LHS = RHS

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 18: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{cos(2A)}{a^2} - \frac{cos(2B)}{b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

$= \frac{cos(2A)}{a^2} - \frac{cos(2B)}{b^2}$

Usando la fórmula trigonométrica,

cos 2a = 1-2sen ² a

$= \frac{1-2sin^2A}{a^2} - \frac{1-2sin^2B}{b^2}\\ = \frac{1-2(\frac{a}{\lambda})^2}{a^2} - \frac{1-2(\frac{b}{\lambda})^2}{b^2}\\ = \frac{\frac{\lambda^2-2a^2}{\lambda^2}}{a^2} - \frac{\frac{\lambda^2-2b^2}{\lambda^2}}{b^2}\\ = \frac{1}{\lambda^2}(\frac{\lambda^2-2a^2}{a^2} - \frac{\lambda^2-2b^2}{b^2})\\ = \frac{1}{\lambda^2}(\frac{\lambda^2b^2-2a^2b^2 - a^2\lambda^2+2a^2b^2}{a^2b^2})\\ = \frac{1}{\lambda^2}(\frac{\lambda^2b^2- a^2\lambda^2}{a^2b^2})\\ = \frac{b^2- a^2}{a^2b^2}\\ = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

Como LHS = RHS

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 19: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{cos^2B-cos^2C}{b+c} + \frac{cos^2C-cos^2A}{c+a} + \frac{cos^2A-cos^2B}{a+b} = 0$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

$= \frac{cos^2B-cos^2C}{b+c} + \frac{cos^2C-cos^2A}{c+a} + \frac{cos^2A-cos^2B}{a+b}$

Ahora tomando,

$\frac{cos^2B-cos^2C}{b+c} = \frac{cos^2B-cos^2C}{\lambda(sin B + sin C)}\\ = \frac{cos^2B-cos^2C}{\lambda(sin B + sin C)}\\ = \frac{(cosB-cosC)(cosB+cosC)}{\lambda(sin B + sin C)}$

Usando la fórmula trigonométrica,

cos a + cos b = 2 cos $(\frac{a+b}{2})$ cos $(\frac{a-b}{2})$

cos a – cos b = -2 sen $(\frac{a+b}{2})$ sen $(\frac{a-b}{2})$

sen a + sen b = 2 sen $(\frac{a+b}{2})$ cos $(\frac{a-b}{2})$

$= \frac{(2 cos (\frac{B+C}{2}) cos(\frac{B-C}{2}))(-2 sin (\frac{B+C}{2}) sin(\frac{B-C}{2}))}{\lambda(2 sin (\frac{B+C}{2}) cos(\frac{B-C}{2}))}\\ = \frac{- 2 cos (\frac{B+C}{2}) sin (\frac{B-C}{2}}{\lambda}$

Usando la fórmula trigonométrica,

2 porque $(\frac{a+b}{2})$ sen $(\frac{a-b}{2})$ = sen a – sen b

$= \frac{- (sin B - sin C)}{\lambda}$

$= \frac{sin C - sin B}{\lambda}$ ………………(1)

Del mismo modo, podemos probar,

$\frac{cos^2C-cos^2A}{c+a} = \frac{sin A - sin C}{\lambda}$ ……………….(2)

$\frac{cos^2A-cos^2B}{a+b} = \frac{sin B - sin A}{\lambda}$ ………………..(3)

Sumando (1), (2) y (3), obtenemos

$\frac{sin C - sin B}{\lambda} + \frac{sin A - sin C}{\lambda} + \frac{sin B - sin A}{\lambda}$

= 0

Como LHS = RHS

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 20: En △ABC, prueba lo siguiente:

$a sin \frac{A}{2} sin \frac{B-C}{2} + b sin\frac{B}{2} sin \frac{C-A}{2} + c sin\frac{C}{2} sin \frac{A-B}{2} = 0$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

$= a sin \frac{A}{2} sin \frac{B-C}{2} + b sin\frac{B}{2} sin \frac{C-A}{2} + c sin\frac{C}{2} sin \frac{A-B}{2}$

Ahora tomando,

$a sin \frac{A}{2} sin \frac{B-C}{2} = a sin \frac{\pi-(B+C)}{2} sin \frac{B-C}{2}\\ = a sin (\frac{\pi}{2}-\frac{(B+C)}{2}) sin \frac{B-C}{2}\\ = a cos (\frac{B+C}{2}) sin \frac{B-C}{2}$

= $\frac{2}{2}$ a porque $(\frac{B+C}{2})$ pecado $(\frac{B-C}{2})$

= $\frac{1}{2}$ (sen B – sen C)

= $\frac{1}{2}$ (un pecado B – un pecado C)

= $\frac{1}{2}$ (un pecado B – un pecado C)

= $\frac{1}{2}$ (b sen A – a sen C) ………………..(1)

Del mismo modo, podemos probar,

b $sin\frac{B}{2}$ sen $(\frac{C-A}{2})$ = $\frac{1}{2}$ (b sen C – b sen A) ……………….(2)

c $sin\frac{C}{2}$ sen $(\frac{A-B}{2})$ = $\frac{1}{2}$ (a sen C – b sen C) ………………..(3)

Sumando (1), (2) y (3), obtenemos

$\frac{1}{2}$ (b sen A – a sen C) + $\frac{1}{2}$ (b sen C – b sen A) + $\frac{1}{2}$ (a sen C – b sen C)

= $\frac{1}{2}$ (b sen A – a sen C+ b sen C – b sen A + a sen C – b sen C)

= 0

Como LHS = RHS

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 21: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{b secB+c sec C}{tan B +tan C} = \frac{c sec C+ a sec A}{tan C +tan A} = \frac{a secA+b sec B}{tan A +tan B}$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Teniendo en cuenta la ecuación, tenemos

$\frac{b secB+c sec C}{tan B +tan C} = \frac{c sec C+ a sec A}{tan C+tan A} = \frac{a secA+b sec B}{tan A +tan B}$

Ahora tomando,

$\frac{b secB+c sec C}{tan B +tan C} = \frac{\lambda sin B secB+ \lambda sin C sec C}{tan B +tan C}\\ = \frac{\lambda sin B \frac{1}{cos B} + \lambda sin C \frac{1}{cos C}}{tan B +tan C}\\ = \frac{\lambda tan B+ \lambda tan C}{tan B +tan C}\\ = \frac{\lambda (tan B+tan C)}{tan B +tan C}\\ = \lambda$

Del mismo modo, podemos probar,

$\frac{c sec C+ a sec A}{tan C+tan A} = \lambda ...................(2)\\ \frac{a secA+b sec B}{tan A +tan B} = \lambda ....................(3)$

De (1), (2) y (3), obtenemos

$\frac{b secB+c sec C}{tan B +tan C} = \frac{c sec C+ a sec A}{tan C+tan A} = \frac{a secA+b sec B}{tan A +tan B}$

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 22: En △ABC, prueba lo siguiente:

a cos A + b cos B + c cos C = 2b sen A sen C = 2c sen A sen B

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando la ecuación LHS, tenemos

a cos A + b cos B + c cos C = λ sen A cos A + λ sen B cos B + λ sen C cos C

= λ (sen A cos A + sen B cos B + sen C cos C)

= $\frac{2\lambda}{2}$ (sen A cos A + sen B cos B + sen C cos C)

= $\frac{\lambda}{2}$ (2 sen A cos A + 2 sen B cos B + 2 sen C cos C)

Usando la fórmula trigonométrica,

2 sen a cos a = sen 2a

= $\frac{\lambda}{2}$ (sen 2A + sen 2B + 2 sen C cos C)

Usando la fórmula trigonométrica,

sen a + sen b = 2 sen $(\frac{a+b}{2})$ cos $(\frac{a-b}{2})$

= $\frac{\lambda}{2} (2 sin (\frac{2A+2B}{2}) cos(\frac{2A-2B}{2})$ + 2 sen C cos C)

= $\frac{\lambda}{2}$ (2 sen (A+B) cos(AB) + 2 sen C cos C)

= $\frac{\lambda}{2}$ (2 sen (π-C) cos(AB) + 2 sen C cos C)

= $\frac{\lambda}{2}$ (2 sen C cos(AB) + 2 sen C cos C)

= $\frac{2\lambda sinC}{2}$ (cos(AB) + cos C)

= λ sen C (cos(AB) + cos (π-(A+B)))

= λ sen C (cos(AB) + (-cos (A+B)))

= λ sen C (cos(AB) – cos (A+B))

= λ sen C (2 sen A sen B)

= 2 λ sen A sen B sen C

Ahora, poniendo λ sin C = c y λ sin B = b, obtenemos

2 c sen A sen B y 2 b sen A sen C

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 23: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (cos B cos C+ cos A) = b (cos C cos A + cos B) = c (cos C cos A + cos C)

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Teniendo en cuenta la ecuación, tenemos

a (cos B cos C+ cos A) = λ sen A (cos B cos C+ cos A)

= λ (sen A cos B cos C+ sen A cos A)

= λ ( $\frac{cos C}{2}$ (2 sen A cos B) + sen A cos A)

= λ ( $\frac{cos C}{2}$ (sin (A+B) + sin (AB)) + sin A cos A)

= λ ( $\frac{1}{2}$ (cos C sen (A+B) + cos C sen (AB)) + sen A cos A)

= λ ( $\frac{1}{2}$ (\frac{1}{2} (2 cos C sen (A+B) + 2 cos C sen (AB))) + sen A cos A)

= λ ( $\frac{1}{2}$ (2 cos C sen (A+B) + 2 cos C sen (AB)) + sen A cos A)

Usando la fórmula trigonométrica,

2 sen a cos b = sen (a+b) + sen (ab)

= λ ( $\frac{1}{4}$ (sin (A+B+C) + sin (A+BC) + sin (A-B+C) + sin (ABC)) + sin A cos A)

= λ ( $\frac{1}{4}$ (sin (π) + sin ((π-C)-C) + sin ((π-B)-B) + sin (A-(B+C)) + $\frac{sin 2A}{2}$ )

= λ ( $\frac{1}{4}$ (0 + sen (π-2C) + sen (π-2B) + sen (2A-π) + $\frac{sin 2A}{2}$ )

= λ ( $\frac{1}{4}$ (sen 2C+ sen 2B – sen 2A + $\frac{sin 2A}{2}$ )

= $\frac{\lambda}{4}$ (sen 2C+ sen 2B + sen 2A)

Similarmente,

b (cos C cos A + cos B) = $\frac{\lambda}{4}$ (sen 2C+ sen 2B + sen 2A)

c (cos C cos A + cos C) = $\frac{\lambda}{4}$ (sen 2C+ sen 2B + sen 2A)

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 24: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (cos C – cos B) = 2 (bc) $cos^2(\frac{A}{2})$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Teniendo en cuenta la ecuación, tenemos

a (cos C – cos B) = λ sin A (cos C – cos B)

= λ (sen A cos C – sen A cos B)

= $\frac{\lambda}{2}$ (2 sen A cos C – 2 sen A cos B)

Usando la fórmula trigonométrica,

2 sen a cos b = sen (a+b) + sen (ab)

= $\frac{\lambda}{2}$ (sin (A+C) + sin (AC) – (sin (A+B) + sin (AB)))

= $\frac{\lambda}{2}$ (sin (A+C) + sin (AC) – sin (A+B) – sin (AB))

= $\frac{\lambda}{2}$ (sen (π-B) + sen (AC) – sen (π-C) – sen (AB))

= $\frac{\lambda}{2}$ (sen B – sen C+ sen (AC) – sen (AB))

Usando la fórmula trigonométrica,

sen a – sen b = 2 sen $(\frac{a-b}{2})$ cos $(\frac{a+b}{2})$

$= \frac{\lambda}{2} (2 sin (\frac{B-C}{2}) cos(\frac{B+C}{2}) + 2 sin (\frac{A-C-(A-B)}{2}) cos(\frac{A-C+A-B}{2}))\\ = \frac{\lambda}{2} (2 sin (\frac{B-C}{2}) cos(\frac{B+C}{2}) + 2 sin (\frac{B-C)}{2}) cos(\frac{2A-(B+C)}{2}))$

= λ $sin (\frac{B-C}{2}) (cos(\frac{\pi-A}{2}) + cos(\frac{\pi-3A}{2}))$

= λ $sin (\frac{B-C}{2}) (cos(\frac{π}{2}-\frac{A}{2}) + cos(\frac{π}{2}-\frac{3A}{2}))$

= λ sen $(\frac{B-C}{2}) (sin(\frac{A}{2}) + sin(\frac{3A}{2}))$

Usando la fórmula trigonométrica,

sen a + sen b = 2 sen $(\frac{a+b}{2})$ cos $(\frac{a-b}{2})$

= λ sen $(\frac{B-C}{2})$
$(2 sin (\frac{\frac{3A}{2}+\frac{A}{2}}{2}) cos(\frac{\frac{3A}{2}-\frac{A}{2}}{2}))$

= λ sen $(\frac{B-C}{2})$
$(2 sin (\frac{\frac{4A}{2}}{2}) cos(\frac{\frac{2A}{2}}{2}))$

= λ sen $(\frac{B-C}{2})$ (2 sen A cos $(\frac{A}{2})$ )

= 2 λ sen $(\frac{B-C}{2})$ (2 sen $(\frac{A}{2})$ cos $(\frac{A}{2})$ ) cos $(\frac{A}{2})$

= 4 λ sen $(\frac{B-C}{2})$ sen $(\frac{A}{2})$ [Tex]cos^2(\frac{A}{2})[/Tex]

= 4 λ sen $(\frac{B-C}{2})$ cos $(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2})$ [Tex]cos^2(\frac{A}{2})[/Tex]

= 4 λ sen $(\frac{B-C}{2})$ cos $(\frac{\pi-A}{2})$ [Tex]cos^2(\frac{A}{2})[/Tex]

= 4 λ sen $(\frac{B-C}{2})$ cos $(\frac{B+C}{2})$ [Tex]cos^2(\frac{A}{2})[/Tex]

= 2 λ (2 sen $(\frac{B-C}{2})$ cos $(\frac{B+C}{2})$ ) $cos^2(\frac{A}{2})$

Usando la fórmula trigonométrica,

2 porque $(\frac{a+b}{2})$ sen $(\frac{a-b}{2})$ = sen a – sen b

= 2 λ (sen B – sen A) $cos^2(\frac{A}{2})$

= 2 (λ sen B – λ sen A) $cos^2(\frac{A}{2})$

= 2 (b – a) $cos^2(\frac{A}{2})$

Como LHS = RHS

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 25: En △ABC, prueba lo siguiente:

b cos θ = c cos(A-θ)+a cos(C+θ)

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando RHS, ecuación, tenemos

c cos(A-θ)+a cos(C+θ) = λ sen C cos(A-θ) + λ sen A cos(C+θ)

= λ (sen C cos(A-θ) + sen A cos(C+θ))

= $\frac{\lambda}{2} (2 sin C cos(A-θ) + 2 sin A cos(C+θ))$

Usando la fórmula trigonométrica,

2 sen a cos b = sen (a+b) + sen (ab)

$= \frac{\lambda}{2} (sin (C+A-θ) + sin (C-(A-θ)) + sin (A+C+θ) + sin (A-(C-θ)))\\ = \frac{\lambda}{2} (sin (C+A-θ) + sin (C-A+θ) + sin (A+C+θ) + sin (A-C+θ))\\ = \frac{\lambda}{2} (sin (π-B-θ) + sin (C+θ-A) + sin (π-B+θ) - sin (C+θ-A))\\ = \frac{\lambda}{2} (sin (π-(B+θ)) + sin (π-(B-θ)))\\ = \frac{\lambda}{2} (sin (B+θ) + sin (B-θ))$

Usando la fórmula trigonométrica,

sen (a+b) + sen (ab) = 2 sen a cos b

= $\frac{\lambda}{2} (2 sin B cos θ)$

= λ sen B cos θ

= b cos θ

Como LHS = RHS

Por lo tanto, probado!!

Pregunta 26: En △ABC, si sen ² A + sen ² B = sen ² C. Demuestra que el triángulo es rectángulo.

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Teniendo en cuenta la ecuación, tenemos

sen ² A + sen ² B = sen ² C

$(\frac{a}{\lambda})^2 + (\frac{b}{\lambda})^2 = (\frac{c}{\lambda})^2$

un ² + ^{segundo 2} = do ²

Por lo tanto, probado, el triángulo es rectángulo como c como hipotenusa.

Pregunta 27: En △ABC, si a ² , b ² y c ² están en AP. Demuestre que la cuna A, la cuna B y la cuna C también están en AP.

Solución:

Tenemos a ² , b ² y c ² en AP

2a ² , 2b ² y 2c ² también están en AP

(a ² +b ² +c ² )-2a ² , (a ² +b ² +c ² )-2b ² y (a ² +b ² +c ² )-2c ² también están en AP

b ² +c ² -a ² , a ² +c ² -b ² y a ² +b ² -c ² también están en AP

$\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$ , $\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$ y $\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$ también están en AP

$\frac{1}{a}(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})$ , $\frac{1}{b}(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})$ y $\frac{1}{c}(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})$ también están en AP

Según la regla del coseno

$cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\frac{1}{a}(cos A)$ , $\frac{1}{b}(cos B)$ y $\frac{1}{c}(cos C)$ también están en AP

$\frac{\lambda}{a}(cos A)$ , $\frac{\lambda}{a}(cos B)$ y $\frac{\lambda}{a}(cos C)$ también están en AP

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

$\frac{cos A}{sin A}$ , $\frac{cos B}{sin B}$ y $\frac{cos C}{sin C}$ también están en AP

la cuna A, la cuna B y la cuna C también están en AP

Por lo tanto, probado !!

Pregunta 28: La parte superior de un árbol quebrado por el viento forma un ángulo de 30° con el suelo y la distancia desde la raíz hasta el punto donde la copa del árbol toca el suelo es de 15 m. Usando la regla del seno, encuentre la altura del árbol.

Solución:

Suponga que BD es el árbol y la parte superior del árbol es rota por el viento en el punto A.

La altura total del árbol es x+y.

En △ABC, ∠C = 30° y ∠B = 90°

∠A = 60° ( propiedad de la suma de los ángulos del triángulo )

Según la regla del seno

$\frac{AB}{sin \hspace{0.1cm}30\degree} = \frac{BC}{sin \hspace{0.1cm}60\degree} = \frac{AC}{sin \hspace{0.1cm}90\degree}\\ \frac{x}{\frac{1}{2}} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{y}{1}$

2x = $\frac{30}{\sqrt{3}}$ = y

Por lo tanto, x = $\frac{30}{2\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3}$ = 5√3

y y = $\frac{30}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3}$ = 10√3

Entonces, la altura del árbol x+y = 5√3+10√3

= 15√3 metros

Pregunta 29: Al pie de una montaña, la elevación de su cima es de 45°, después de ascender 1000m hacia la montaña por una pendiente de 30° de inclinación, se encuentra que la elevación es de 60°. Encuentra la altura de la montaña.

Solución:

Supongamos que AB es una montaña de altura t+x.

c = 1000m

En △DFC,

sen 30° = $\frac{x}{1000}$

$\frac{1}{2} = \frac{x}{1000}$

x = $\frac{1000}{2}$ = 500 metros

Y tan 30° = $\frac{x}{y}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{500}{y}$

y = 500√3m

Ahora, en △ABC

bronceado 45° = $\frac{t+x}{y+z}$

1 = $\frac{t+500}{y+z}$

500√3+z = t+500

500(√3-1)+z = t …………………..(1)

Ahora, en △ADE

bronceado 60° = $\frac{t}{z}$

√3 = $\frac{t}{z}$

t = √3z ………………….(2)

De (1) y (2), obtenemos

z = 500 m

t = 500√3m

Entonces, la altura de la montaña = t+x = 500√3 + 500 = 500(√3+1)m

Pregunta 30: Una persona observa que el ángulo de elevación del pico de una colina desde una estación es α. Camina c metros a lo largo de una pendiente inclinada en un ángulo β y encuentra que el ángulo de elevación del pico de la colina es γ. Demuestre que la altura del pico sobre el suelo es $\frac{c \hspace{0.1cm}sin \alpha \hspace{0.1cm}sin(\gamma-\beta)}{sin\gamma - \alpha}$

Solución:

Supongamos que AB es un pico cuya altura sobre el suelo es t+x,

En △DFC,

sen β = $\frac{x}{c}$

x = c sen β ………………………..(1)

Y, tan β = $\frac{x}{y}$

$y = \frac{x}{tan β} = \frac{c sin β}{tan β}$ = c cos β ………………………..(2)

Ahora, en △ADE

tan γ = $\frac{t}{z}$

z = t cot γ ………………………(3)

Ahora, en △ABC

bronceado α= $\frac{t+x}{y+z}$

t +x = tan α (y+z)

De (1), (2) y (3), obtenemos

t + c sen β = tan α (c cos β+t cot γ)

t + c sin β = c tan α cos β + t tan α cot γ

t – t tan α cot γ = c tan α cos β – c sin β

t(1 – tan α cot γ) = c (tan α cos β – sin β)

$t(1 - \frac{sin α cos γ}{cos α sin γ}) = c (\frac{sin α cos β - cos α sin β}{cos α})\\ t(\frac{cos α sin γ-sin α cos γ}{cos α sin γ}) = c (\frac{sin (α-β)}{cos α})\\ t(\frac{sin(γ-α)}{cos α sin γ}) = c (\frac{sin (α-β)}{cos α})\\ t = c (\frac{sin (α-β)sin γ}{sin(γ-α)})$

Ahora,

$t+x = c (\frac{sin (α-β)sin γ}{sin(γ-α)}) + c sin β\\ = c (\frac{sin (α-β)sin γ}{sin(γ-α)} + sin β)\\ = c (\frac{sin (α-β)sin γ+sin(γ-α)sin β}{sin(γ-α)})\\ = c (\frac{sin γ(sin α cos β - cos α sin β)+sin β(sin γ cos α - cos γ sin α)}{sin(γ-α)})\\ = c (\frac{sin γ sin α cos β - sin γ cos α sin β + sin β sin γ cos α - sin β cos γ sin α}{sin(γ-α)})\\ = c (\frac{sin γ sin α cos β - sin β cos γ sin α}{sin(γ-α)})\\ = c (\frac{sin α (sin γ cos β - sin β cos γ)}{sin(γ-α)})\\ = c (\frac{sin α (sin(γ-β)}{sin(γ-α)})\\ = \frac{c sin α (sin(γ-β)}{sin(γ-α)}$

Por lo tanto demostrado !!

Pregunta 31: Si los lados a, b y c de △ABC están en HP Demuestra que $sin^2\frac{A}{2}, sin^2\frac{B}{2}$ y $sin^2\frac{C}{2}$ están en HP

Solución:

Si los lados a, b y c de △ABC están en HP

Entonces, $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ y $\frac{1}{c}$ están en AP

$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}\\ \frac{a-b}{ba} = \frac{b-c}{ca}$

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

$\frac{sin \hspace{0.1cm}A-sin \hspace{0.1cm}B}{sin \hspace{0.1cm}Bsin \hspace{0.1cm}A} = \frac{sin \hspace{0.1cm}B-sin \hspace{0.1cm}C}{sin \hspace{0.1cm}Csin \hspace{0.1cm}B}$

Usando la fórmula trigonométrica,

sen a – sen b = 2 sen $(\frac{a-b}{2})$ cos $(\frac{a+b}{2})$

$\frac{2 sin (\frac{A-B}{2}) cos(\frac{A+B}{2})}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{sin (\frac{B-C}{2}) cos(\frac{B+C}{2})}{sin \hspace{0.1cm}C}\\ \frac{sin (\frac{A-B}{2}) cos(\frac{\pi-C}{2})}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{sin (\frac{B-C}{2}) cos(\frac{\pi-A}{2})}{sin \hspace{0.1cm}C}\\ \frac{sin (\frac{A-B}{2}) cos(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2})}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{sin (\frac{B-C}{2}) cos(\frac{\pi}-\frac{A}{2})}{sin \hspace{0.1cm}C}\\ \frac{sin (\frac{A-B}{2}) sin(\frac{C}{2})}{2 sin(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})} = \frac{cos(\frac{C}{2}) sin(\frac{A}{2})}{2 sin(\frac{C}{2})cos(\frac{C}{2})}\\ (sin (\frac{A-B}{2}) sin(\frac{C}{2}))(2 sin(\frac{C}{2})cos(\frac{C}{2})) = 2 sin(\frac{A}{2})sin(\frac{A}{2}) (cos(\frac{A}{2}) cos(\frac{A}{2}))\\ sin (\frac{A-B}{2}) sin^2(\frac{C}{2}) cos(\frac{C}{2}) = cos(\frac{C}{2}) sin^2(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})\\ sin (\frac{A-B}{2}) sin^2(\frac{C}{2}) sin(\frac{A+B}{2}) = cos(\frac{C}{2}) sin^2(\frac{A}{2})sin(\frac{B+C}{2})\\ sin^2(\frac{C}{2})(sin^2(\frac{A}{2})-sin^2(\frac{B}{2}))= sin^2(\frac{A}{2})(sin^2(\frac{B}{2})-sin^2(\frac{C}{2}))\\ sin^2(\frac{C}{2}) sin^2(\frac{A}{2}) - sin^2(\frac{C}{2}) sin^2(\frac{B}{2}))= sin^2(\frac{A}{2}) sin^2(\frac{B}{2})-sin^2(\frac{A}{2}) sin^2(\frac{C}{2})$

Dividido por $sin^2\frac{A}{2} .sin^2\frac{B}{2}. sin^2\frac{C}{2}$ , obtenemos

$\frac{1}{sin^2\frac{B}{2}} - \frac{1}{sin^2\frac{A}{2}} = \frac{1}{sin^2\frac{C}{2}} - \frac{1}{sin^2\frac{B}{2}}$

Por lo tanto, $sin^2\frac{A}{2}, sin^2\frac{B}{2}$ y $sin^2\frac{C}{2}$ están en HP

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Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 10 Fórmulas de seno y coseno y sus aplicaciones – Ejercicio 10.1 | conjunto 2

Pregunta 16: En △ABC, prueba lo siguiente:

a ² (cos ² B – cos ² C) + b (cos ² C – cos ² A) + c (cos ² A – cos ² B) = 0

Pregunta 17: En △ABC, prueba lo siguiente:

b porque B + c porque C = a porque (BC)

Pregunta 18: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{cos(2A)}{a^2} - \frac{cos(2B)}{b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

Pregunta 19: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{cos^2B-cos^2C}{b+c} + \frac{cos^2C-cos^2A}{c+a} + \frac{cos^2A-cos^2B}{a+b} = 0$

Pregunta 20: En △ABC, prueba lo siguiente:

$a sin \frac{A}{2} sin \frac{B-C}{2} + b sin\frac{B}{2} sin \frac{C-A}{2} + c sin\frac{C}{2} sin \frac{A-B}{2} = 0$

Pregunta 21: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{b secB+c sec C}{tan B +tan C} = \frac{c sec C+ a sec A}{tan C +tan A} = \frac{a secA+b sec B}{tan A +tan B}$

Pregunta 22: En △ABC, prueba lo siguiente:

a cos A + b cos B + c cos C = 2b sen A sen C = 2c sen A sen B

Pregunta 23: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (cos B cos C+ cos A) = b (cos C cos A + cos B) = c (cos C cos A + cos C)

Pregunta 24: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (cos C – cos B) = 2 (bc) $cos^2(\frac{A}{2})$

Pregunta 25: En △ABC, prueba lo siguiente:

b cos θ = c cos(A-θ)+a cos(C+θ)

Pregunta 26: En △ABC, si sen ² A + sen ² B = sen ² C. Demuestra que el triángulo es rectángulo.

Pregunta 27: En △ABC, si a ² , b ² y c ² están en AP. Demuestre que la cuna A, la cuna B y la cuna C también están en AP.

Pregunta 28: La parte superior de un árbol quebrado por el viento forma un ángulo de 30° con el suelo y la distancia desde la raíz hasta el punto donde la copa del árbol toca el suelo es de 15 m. Usando la regla del seno, encuentre la altura del árbol.

Pregunta 29: Al pie de una montaña, la elevación de su cima es de 45°, después de ascender 1000m hacia la montaña por una pendiente de 30° de inclinación, se encuentra que la elevación es de 60°. Encuentra la altura de la montaña.

Pregunta 31: Si los lados a, b y c de △ABC están en HP Demuestra que $sin^2\frac{A}{2}, sin^2\frac{B}{2}$ y $sin^2\frac{C}{2}$ están en HP

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Pregunta 16: En △ABC, prueba lo siguiente:

a 2 (cos 2 B – cos 2 C) + b (cos 2 C – cos 2 A) + c (cos 2 A – cos 2 B) = 0

Pregunta 17: En △ABC, prueba lo siguiente:

b porque B + c porque C = a porque (BC)

Pregunta 18: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 19: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 20: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 21: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 22: En △ABC, prueba lo siguiente:

a cos A + b cos B + c cos C = 2b sen A sen C = 2c sen A sen B

Pregunta 23: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (cos B cos C+ cos A) = b (cos C cos A + cos B) = c (cos C cos A + cos C)

Pregunta 24: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (cos C – cos B) = 2 (bc)

Pregunta 25: En △ABC, prueba lo siguiente:

b cos θ = c cos(A-θ)+a cos(C+θ)

Pregunta 26: En △ABC, si sen 2 A + sen 2 B = sen 2 C. Demuestra que el triángulo es rectángulo.

Pregunta 27: En △ABC, si a 2 , b 2 y c 2 están en AP. Demuestre que la cuna A, la cuna B y la cuna C también están en AP.

Pregunta 28: La parte superior de un árbol quebrado por el viento forma un ángulo de 30° con el suelo y la distancia desde la raíz hasta el punto donde la copa del árbol toca el suelo es de 15 m. Usando la regla del seno, encuentre la altura del árbol.

Pregunta 29: Al pie de una montaña, la elevación de su cima es de 45°, después de ascender 1000m hacia la montaña por una pendiente de 30° de inclinación, se encuentra que la elevación es de 60°. Encuentra la altura de la montaña.

Pregunta 31: Si los lados a, b y c de △ABC están en HP Demuestra que y están en HP

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a ² (cos ² B – cos ² C) + b (cos ² C – cos ² A) + c (cos ² A – cos ² B) = 0

a (cos C – cos B) = 2 (bc) $cos^2(\frac{A}{2})$

Pregunta 26: En △ABC, si sen ² A + sen ² B = sen ² C. Demuestra que el triángulo es rectángulo.

Pregunta 27: En △ABC, si a ² , b ² y c ² están en AP. Demuestre que la cuna A, la cuna B y la cuna C también están en AP.

Pregunta 31: Si los lados a, b y c de △ABC están en HP Demuestra que $sin^2\frac{A}{2}, sin^2\frac{B}{2}$ y $sin^2\frac{C}{2}$ están en HP