Pregunta 11. En cualquier ∆ABC, prueba lo siguiente: a cos A + b cos B + c cos C = 2b sen A sen C.
Solución:
De acuerdo con la regla del seno en ΔABC,
a/sen A = b/sen B = c/sen C = k (constante)
LHS = a cos A + b cos B + c cos C
= k sen A cos A + k sen B cos B + k sen C cos C
= (k/2) [2 sen A cos A + 2 sen B cos B + 2 sen C cos C]
= (k/2) [sen 2A + sen 2B + sen 2C]
= (k/2) [sen 2A + sen 2B + sen 2C]
= (k/2) [sen(A+B) cos(A–B) + sen C cos C]
= (k/2) [sen(π–C) cos(A–B) + sen C cos(π–(A+B))]
= (k/2) [sen C cos(A–B) + sen C cos(A+B)]
= k sen C [2 sen A sen B]
= 2 (sen A) (k sen B) (sen C)
= 2b sen A sen C
= lado derecho
Por lo tanto, probado.
Pregunta 12. Demuestra que a 2 = (b+c) 2 – 4bc cos 2 A/2
Solución:
Según la regla del coseno,
=> porque A = (b 2 + c 2 – a 2 )/2bc
=> 2bc cos A = b 2 + c 2 – a 2
=> a 2 = b 2 + c 2 – 2bc porque A
=> a 2 = b 2 + c 2 – 2bc ( 2 cos 2 A/2 – 1)
=> a 2 = b 2 + c 2 – 4bc porque 2 A/2 + 2bc
=> a 2 = (b+c) 2 – 4bc cos 2 A/2
Por lo tanto, probado.
Pregunta 13. Demuestra que 4(bc cos 2 A/2 + ac cos 2 B/2 + ab cos 2 C/2) = (a + b + c) 2
Solución:
Según la regla del coseno,
porque A = (b 2 + c 2 – a 2 )/2bc . . . . (1)
cos B = (a 2 + c 2 – b 2 )/2ac . . . . (2)
porque C = (a 2 + b 2 – c 2 )/2ab . . . . (3)
Tenemos,
LHS = 4(bc cos 2 A/2 + ac cos 2 B/2 + ab cos 2 C/2)
= 2(2bc cos 2 A/2 + 2ac cos 2 B/2 + 2ab cos 2 C/2)
= 2[bc(1–cos A) + ac(1–cos B) + ab(1–cos C)]
= 2bc – 2bc cos A + 2ac – 2ac cos B + 2ab – 2ab cos C
Usando (1), (2) y (3), obtenemos,
LHS = 2bc – [b 2 + c 2 – a 2 ] + 2ac – [a 2 + c 2 – b 2 ] + 2ab – [a 2 + b 2 – c 2 ]
= 2bc – b 2 – c 2 + a 2 + 2ac – a 2 – c 2 + b 2 + 2ab – a 2 – b 2 + c 2
= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
= (a + b + c) 2
= lado derecho
Por lo tanto, probado.
Pregunta 14. En a Δ ABC, prueba que sen 3 A cos(B–C) + sen 3 B cos(C–A)+ sen 3 C cos(A–B) = 3 senA senB sen C
Solución:
Tenemos,
LHS = sen 3 A cos(B–C) + sen 3 B cos(C–A)+ sen 3 C cos(A–B)
= sen 2 A sen A cos(B–C) + sen 2 B sen B cos(C–A)+ sen 2 C sen C cos(A–B)
= sen 2 A sen(π–(B+C)) cos(B–C) + sen 2 B sen(π–(A+C)) cos(C–A)+ sen 2 C sen(π–(A +B)) cos(A–B)
= sen 2 A sen(B+C) cos(B–C) + sen 2 B sen(A+C) cos(C–A)+ sen 2 C sen(A+B) cos(A–B)
= sen2A [sen2B + sen2C] + sen2B [sen2A + sen2C]+ sen2C [sen2A + sen2B]
= sen 2 A [2 sen B cos B + 2 sen C cos C] + sen 2 B [2 sen A cos A + 2 sen C cos C] + sen 2 C [2 sen A cos A + 2 sen B cos B]
= 2sen 2 A senB cosB + 2sen 2 A senC cosC+ 2sen 2 B senA cosA + 2sen 2 B senC cosC+ 2sen 2 C senA cosA + 2sen 2 C senB cosB
De acuerdo con la regla del seno en ΔABC,
sen A/a = sen B/b = sen C/c = k (constante)
Entonces, LHS se convierte en,
= 2a 2 k 2 (bk) (cosB) + 2a 2 k 2 (ck) (cosC) + 2b 2 k 2 (ak) (cosA) + 2b 2 k 2 (ck) (cosC) + 2c 2 k 2 ( ak) (cosA) + 2c 2 k 2 (bk) cosB
= abk 3 (a cosB + b cosA) + ack 3 (a cosC+ c cosA) + bck 3 (c cosB + b cosC)
= abck 3 + abck 3 + abck 3
= 3abck 3
= 3 (ak) (bk) (ck)
= 3 sen A sen B sen C
= lado derecho
Por lo tanto, probado.
Pregunta 15. En cualquier Δ ABC, (b+c)/12 = (c+a)/13 = (a+b)/15, demuestre que (cosA)/2 = (cosB)/7 = (cosC)/ 11
Solución:
Se nos da,
(b+c)/12 = (c+a)/13 = (a+b)/15 = k (digamos)
=> segundo + c = 12k. . . . (1)
=> c + a = 13k. . . . (2)
=> a + b = 15k. . . . (3)
Sumando (1), (2) y (3), obtenemos,
=> segundo + c + c + un + un + segundo = 12k + 13k + 15k
=> 2a + 2b + 2c = 40k
=> a + b + c = 20k. . . . (4)
De (1), (2), (3) y (4), obtenemos,
=> a = 8k, b = 7k y c = 5k
Según la fórmula del coseno,
cos A = (b 2 + c 2 – a 2 )/2bc
= (49k2 + 25k2 – 64k2 ) / 70k2
= 10/70
= 1/7
cos B = (a 2 + c 2 – b 2 )/2ac
= (64k2 + 25k2 – 49k2 ) / 80k2
= 40/80
= 1/2
porque C = (a 2 + b 2 – c2)/2ab
= (64k2 + 49k2 – 25k2 ) / 112k2
= 88/112
= 11/14
Por lo tanto, cosA : cosB : cosC = (1/7) : (1/2) : (11/14) = 2 : 7 : 11
=> (cosA)/2 = (cosB)/7 = (cosC)/11
Por lo tanto, probado.
Pregunta 16. En Δ ABC, si ∠B = 60 o , demuestra que (a + b + c) (a – b + c) = 3ca.
Solución:
Tenemos, ∠B = 60 o
Según la fórmula del coseno,
cosB = (a 2 + c 2 – b 2 )/2ac
=> cos 60 o = (a 2 + c 2 – b 2 )/2ac
=> 1/2 = (a 2 + c 2 – b 2 )/2ac
=> un 2 + do 2 – segundo 2 = ac . . . . (1)
Ahora LHS = (a + b + c) (a – b + c)
= a 2 – ab + ac + ab – b 2 + bc + ca – bc + c 2
= a 2 + c 2 – b 2 + 2ac
= ca + 2ca
= 3ac
= lado derecho
Por lo tanto, probado.
Pregunta 17. Si en un Δ ABC, cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1, prueba que el triángulo es rectángulo.
Solución:
Se nos da,
=> cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1
=> cos 2 A + cos 2 B = 1 – cos 2 C
=> cos 2 A + cos 2 B = sen 2 C
=> cos 2 A = sen 2 C − cos 2 B
=> −cos(B+C) cos(B−C) = cos 2 A
=> −cos(π−A) cos(B−C) = cos 2 A
=> cos 2 A − cos A cos (B−C) = 0
=> cosA (cosA − cos(B−C)) = 0
=> cosA [cos(π−(B+C)) − cos(B−C)] = 0
=> cosA [−cos(B+C) − cos(B−C)] = 0
=> cosA [−2 cosB cosC] = 0
=> cos A cos B cos C = 0
=> cosA = 0 o cosB = 0 o cosC = 0
=> A = 90 o o B = 90 o o C = 90 o
Por lo tanto, el triángulo es rectángulo.
Pregunta 18. En un Δ ABC, si cosC = sinA/2sinB, prueba que el triángulo es isósceles.
Solución:
Aquí, se nos da
=> cosC = senA/2senB
=> 2 senB cosC = senA
=> 2 (kb) [(a 2 +b 2 −c 2 )/2ab] = ka
=> un 2 + segundo 2 − do 2 = un 2
=> segundo 2 = do 2
=> segundo = do
Por lo tanto, el triángulo es isósceles.
Pregunta 19. Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo. Uno va a 24 km/h en la dirección N38 o E y el otro viaja a 32 km/h en la dirección S52 o E. Encuentra la distancia entre los barcos al cabo de 3 horas.
Solución:
Sea A el punto de donde parten los barcos. AB es la distancia recorrida por uno y AC es la distancia recorrida por el segundo en 3 horas.
Tenemos que encontrar BC, la distancia entre los barcos al cabo de 3 horas. Aquí,
AB = 3(24) = 72 km y AC = 3(32) = 96 km.
Usando la fórmula del coseno en ΔABC, obtenemos,
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2 (AB) (AC) cos90 0
BC 2 = 72 2 + 96 2
2 aC = 14400
BC = 120 km
Por lo tanto, la distancia entre los barcos al cabo de 3 horas es de 120 km.
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Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA