Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 14 Diferenciales, errores y aproximaciones – Ejercicio 14.1

Pregunta 9: Usando diferenciales, encuentre los valores aproximados de lo siguiente:

(xiv) $cos (\frac{11\pi}{36})$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = cos x

Tomando x = π/3, y

x+△x = 11π/36

△x = 11π/36-π/3 = -π/36

y = cos x

$y_{(x=\pi/3)}$ = coseno (π/3) = 0,5

$\frac{dy}{dx}$ = – sen x

$(\frac{dy}{dx})_{x=\pi/3}$ = – sen (π/3) = -0.86603

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=\pi/3}$ dx

△y = (-0.86603) (-π/36)

△y = 0.0756

Por lo tanto, $cos (\frac{11\pi}{36})$ = 0,5+0,0756 = 0,5755

(xvi) $(80)^{\frac{1}{4}}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $(x)^{\frac{1}{4}}$

Tomando x = 81, y

x+△x = 80

△x = 80-81 = -1

$y = (x)^{\frac{1}{4}}$

$y_{(x=81)} = (81)^{\frac{1}{4}}= 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(x)^{\frac{3}{4}}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=81} = \frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{108}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=81}$ dx

△y = $(\frac{1}{108})$ △x

△y = $(\frac{1}{108})$ (-1) = $\frac{-1}{108}$ = -0.009259

Por eso,

$(80)^{\frac{1}{4}}$ = y+△y = 3 + (-0.009259) = 2.99074

(xi) $(29)^{\frac{1}{3}}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $(x)^{\frac{1}{3}}$

Tomando x = 27, y

x+△x = 29

△x = 29-27 = 2

$y = (x)^{\frac{1}{3}}$

$y_{(x=27)} = (27)^{\frac{1}{3}}= 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(x)^{\frac{2}{3}}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=27} = \frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{27}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=27}$ dx

△y = $(\frac{1}{27})$ △x

△y = $(\frac{1}{27})$ (2) = 0.074

Por eso,

$(29)^{\frac{1}{3}}$ = y+△y = 3+0.074 = 3.074

(xviii) $(66)^{\frac{1}{3}}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $(x)^{\frac{1}{3}}$

Tomando x = 64, y

x+△x = 66

△x = 66-64 = 2

$y = (x)^{\frac{1}{3}}$

$y_{(x=64)} = (64)^{\frac{1}{3}}= 4$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(x)^{\frac{2}{3}}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=64} = \frac{1}{3(64)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{48}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=64}$ dx

△y = $(\frac{1}{48})$ △x

△y = $(\frac{1}{48})$ (2) = 0.042

Por eso,

$(66)^{\frac{1}{3}}$ = y+△y = 4+0.042 = 4.042

(xviii) $\sqrt{26}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $\sqrt{x}$

Tomando x = 25, y

x+△x = 26

△x = 26-25 = 1

$y = \sqrt{x}$

$y_{(x=25)} = \sqrt{25} = 5$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=25} = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=25}$ dx

△y = $(\frac{1}{10})$ △x

△y = $(\frac{1}{10})$ (1) = 0.1

Por eso,

$\sqrt{26}$ = y+△y = 5 + 0.1 = 5.1

(xix) $\sqrt{37}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $\sqrt{x}$

Tomando x = 36, y

x+△x = 37

△x = 37-36 = 1

$y = \sqrt{x}$

$y_{(x=36)} = \sqrt{36} = 6$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=36} = \frac{1}{2\sqrt{36}} = \frac{1}{12}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=36}$ dx

△y = $(\frac{1}{12})$ △x

△y = $(\frac{1}{12})$ (1) = 0.0833

Por eso,

$\sqrt{26}$ = y+△y = 6 + 0,0833 = 6,0833

(xx) $\sqrt{0.48}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $\sqrt{x}$

Tomando x = 0.49, y

x+△x = 0.48

△x = 0,48-0,49 = -0,01

$y = \sqrt{x}$

$y_{(x=0.49)} = \sqrt{0.49} = 0.7$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=0.49} = \frac{1}{2\sqrt{0.49}} = \frac{1}{1.4}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=0.49}$ dx

△y = $(\frac{1}{1.4})$ △x

△y = $(\frac{1}{1.4})$ (-0.01) = -0.007143

Por eso,

$\sqrt{0.48}$ = y+△y = 0,7 + (-0,007143) = 0,693

(xx) $(82)^{\frac{1}{4}}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $(x)^{\frac{1}{4}}$

Tomando x = 81, y

x+△x = 82

△x = 82-81 = 1

$y = (x)^{\frac{1}{4}}$

$y_{(x=81)} = (81)^{\frac{1}{4}}= 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(x)^{\frac{3}{4}}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=81} = \frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{108}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=81}$ dx

△y = $(\frac{1}{108})$ △x

△y = $(\frac{1}{108})(1) = \frac{1}{108}$ = 0.009259

Por eso,

$(82)^{\frac{1}{4}}$ = y+△y = 3 + 0.009259 = 3.009259

(xii) $(\frac{17}{81})^{\frac{1}{4}}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $(x)^{\frac{1}{4}}$

Tomando x = 16/81, y

x+△x = 17/81

△x = 17/81-16/81 = 1/81

$y = (x)^{\frac{1}{4}}$

$y_{(x=16/81)} = (16/81)^{\frac{1}{4}}= 2/3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(x)^{\frac{3}{4}}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=16/81} = \frac{1}{4(16/81)^{\frac{3}{4}}} = \frac{27}{32}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=16/81}$ dx

△y = $(\frac{27}{32})$ △x

△y = $(\frac{27}{32})(\frac{2}{3}) = \frac{1}{96}$ = 0.01042

Por eso,

$(\frac{17}{81})^{\frac{1}{4}}$ = y+△y = 2/3 + 0,01042 = 0,6771

(xiii) $(33)^{\frac{1}{5}}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $(x)^{\frac{1}{5}}$

Tomando x = 32, y

x+△x = 33

△x = 33-32 = 1

$y = (x)^{\frac{1}{5}}$

$y_{(x=32)} = (32)^{\frac{1}{5}}= 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5(x)^{\frac{4}{5}}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=32} = \frac{1}{5(32)^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{80}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=32}$ dx

△y = $(\frac{1}{80})$ △x

△y = $(\frac{1}{80})(1) = \frac{1}{80}$ = 0.0125

Por eso,

$(32)^{\frac{1}{5}}$ = y+△y = 2 + 0.0125 = 2.0125

(xiv) $\sqrt{36.6}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $\sqrt{x}$

Tomando x = 36, y

x+△x = 36,6

△x = 36,6-36 = 0,6

$y = \sqrt{x}$

$y_{(x=36)} = \sqrt{36} = 6$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=36} = \frac{1}{2\sqrt{36}} = \frac{1}{12}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=36}$ dx

△y = $(\frac{1}{12})$ △x

△y = $(\frac{1}{12})$ (0,6) = 0,05

Por eso,

$\sqrt{26}$ = y+△y = 6 + 0,05 = 6,05

(xv) $(25)^{\frac{1}{3}}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $(x)^{\frac{1}{3}}$

Tomando x = 27, y

x+△x = 25

△x = 25-27 = -2

$y = (x)^{\frac{1}{3}}$

$y_{(x=27)} = (27)^{\frac{1}{3}}= 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(x)^{\frac{2}{3}}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=27} = \frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{27}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=27}$ dx

△y = $(\frac{1}{27})$ △x

△y = $(\frac{1}{27})$ (-2) = -0.07407

Por eso,

$(25)^{\frac{1}{3}}$ = y+△y = 3+(-0.07407) = 2.9259

(xxi) $\sqrt{49.5}$

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = $\sqrt{x}$

Tomando x = 49, y

x+△x = 49.5

△x = 49,5-49 = 0,5

$y = \sqrt{x}$

$y_{(x=49)} = \sqrt{49} = 7$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=49} = \frac{1}{2\sqrt{49}} = \frac{1}{14}$

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=49}$ dx

△y = $(\frac{1}{14})$ △x

△y = $(\frac{1}{14})$ (0.5) = 0.0357

Por eso,

$\sqrt{49.5}$ = y+△y = 7 + 0,0357 = 7,0357

Pregunta 10: Encuentra el valor apropiado de f(2.01), donde f(x) = 4x ² +5x+2

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = 4x ² +5x+2

Tomando x = 2, y

x+△x = 2.01

△x = 2,01-2 = 0,01

y = 4x ² +5x+2

$y_{(x=2)}$ = 4(2) ² +5(2)+2 = 28

$\frac{dy}{dx}$ = 8x+5

$(\frac{dy}{dx})_{x=2}$ = 8(2)+5 = 21

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=2}$ dx

△y = (21) △x

△y = (21) (0,01) = 0,21

Por eso,

f(2.01) = y+△y = 28 + 0.21 = 28.21

Pregunta 11: Encuentra el valor apropiado de f(5.001), donde f(x) = x ³ -7x ² +15

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = x ³ -7x ² +15

Tomando x = 5, y

x+△x = 5.001

△x =5.001-5 = 0.001

y = x ³ -7x ² +15

$y_{(x=5)}$ = (5) ³ -7(5) ² +15 = -35

$\frac{dy}{dx}$ = 3x ² -14x

$(\frac{dy}{dx})_{x=5}$ = 3(5) ² -14(5) = 5

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=5}$ dx

△y = (5) △x

△y = (5) (0.001) = 0.005

Por eso,

f(5.001) = y+△y = -35 + 0.005 = -34.995

Pregunta 12: Encuentra el valor apropiado de log ₁₀ 1005, dado que log ₁₀ e=0.4343

Solución:

Considerando la función como

y = f(x) = registro ₁₀ x

Tomando x = 1000, y

x+△x = 1005

△x =1005-1000 = 5

y = registro ₁₀ x = $\frac{log_ex}{log_e10}$

$y_{(x=1000)}$ = registro ₁₀ 1000 = 3

$\frac{dy}{dx} = \frac{0.4343}{x}$

$(\frac{dy}{dx})_{x=1000} = \frac{0.4343}{1000}$ = 0.0004343

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=1000}$ dx

△y = (0.0004343) △x

△y = (0.0004343) (5) = 0.0021715

Por lo tanto, log ₁₀ 1005 = y+△y = 3 + 0,0021715 = 3,0021715

Pregunta 13: Si el radio de una esfera mide 9 cm con un error de 0,03 m, encuentre el error aproximado al calcular su área de superficie.

Solución:

Según la condición dada,

Como, Área de superficie = 4πx ²

Sea △x el cambio en el radio y △y el cambio en el área de la superficie

x = 9

△x = 0,03 m = 3 cm

x+△x = 9+3 = 12cm

$y_{(x=9)}$ = 4πx ² = 4π(9) ² = 324 π

$\frac{dy}{dx}$ = 8πx

$(\frac{dy}{dx})_{x=9}$ = 8π(9) = 72π

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=9}$ dx

△y = (72π) △x

△y = (72π) (3) = 216 π

Por lo tanto, el error aproximado en el área superficial de la esfera es 216 π cm ²

Pregunta 14: Encuentra el cambio aproximado en el área de la superficie de un cubo como lado x metros causado por la disminución del lado en un 1%.

Solución:

Según la condición dada,

Como, Área de superficie = 6x ²

Sea △x el cambio en la longitud y △y el cambio en el área de la superficie

△x/x × 100 = 1

$\frac{dy}{dx}$ = 6(2x) = 12x

△y = $(\frac{dy}{dx})$ △x

△y = (12x) (x/100)

△y = 0,12 x ²

Por lo tanto, el cambio aproximado en el área de superficie de una caja cúbica es 0.12 x ² m ²

Pregunta 15: Si el radio de una esfera se mide como 7 m con un error de 0,02 m, encuentre el error aproximado al calcular su volumen.

Solución:

Según la condición dada,

Como, Volumen de la esfera = $\frac{4}{3}$ πx ³

Sea △x el error en el radio y △y el error en el volumen

x = 7

△x = 0,02 cm

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3}$ π(3x ² ) = 4πx ²

$(\frac{dy}{dx})_{x=7}$ = 4π(7) ² = 196π

△y = dy = $(\frac{dy}{dx})_{x=7}$ dx

△y = (196π) △x

△y = (196π) (0,02) = 3,92 π

Por lo tanto, el error aproximado en el volumen de la esfera es 3,92 π cm ²

Pregunta 16: Encuentra el cambio aproximado en el volumen de un cubo como lado x metros causado por aumentar el lado en un 1%.

Solución:

Según la condición dada,

Como, Volumen del cubo = x ³

Sea △x el cambio en la longitud y △y el cambio en el volumen

△x/x × 100 = 1

$\frac{dy}{dx}$ = ^3×2

△y = $(\frac{dy}{dx})$ △x

△y = (3x ² ) (x/100)

△y = ^0.03×3

Por lo tanto, el cambio aproximado en el volumen de una caja cúbica es 0.03 x ³ m ³

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 14 Diferenciales, errores y aproximaciones – Ejercicio 14.1 | conjunto 2

Pregunta 9: Usando diferenciales, encuentre los valores aproximados de lo siguiente:

(xiv) $cos (\frac{11\pi}{36})$

(xvi) $(80)^{\frac{1}{4}}$

(xi) $(29)^{\frac{1}{3}}$

(xviii) $(66)^{\frac{1}{3}}$

(xviii) $\sqrt{26}$

(xix) $\sqrt{37}$

(xx) $\sqrt{0.48}$

(xx) $(82)^{\frac{1}{4}}$

(xii) $(\frac{17}{81})^{\frac{1}{4}}$

(xiii) $(33)^{\frac{1}{5}}$

(xiv) $\sqrt{36.6}$

(xv) $(25)^{\frac{1}{3}}$

(xxi) $\sqrt{49.5}$

Pregunta 10: Encuentra el valor apropiado de f(2.01), donde f(x) = 4x ² +5x+2

Pregunta 11: Encuentra el valor apropiado de f(5.001), donde f(x) = x ³ -7x ² +15

Pregunta 12: Encuentra el valor apropiado de log ₁₀ 1005, dado que log ₁₀ e=0.4343

Pregunta 13: Si el radio de una esfera mide 9 cm con un error de 0,03 m, encuentre el error aproximado al calcular su área de superficie.

Pregunta 14: Encuentra el cambio aproximado en el área de la superficie de un cubo como lado x metros causado por la disminución del lado en un 1%.

Pregunta 15: Si el radio de una esfera se mide como 7 m con un error de 0,02 m, encuentre el error aproximado al calcular su volumen.

Pregunta 16: Encuentra el cambio aproximado en el volumen de un cubo como lado x metros causado por aumentar el lado en un 1%.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 9: Usando diferenciales, encuentre los valores aproximados de lo siguiente:

(xiv)

(xvi)

(xi)

(xviii)

(xviii)

(xix)

(xx)

(xx)

(xii)

(xiii)

(xiv)

(xv)

(xxi)

Pregunta 10: Encuentra el valor apropiado de f(2.01), donde f(x) = 4x 2 +5x+2

Pregunta 11: Encuentra el valor apropiado de f(5.001), donde f(x) = x 3 -7x 2 +15

Pregunta 12: Encuentra el valor apropiado de log 10 1005, dado que log 10 e=0.4343

Pregunta 13: Si el radio de una esfera mide 9 cm con un error de 0,03 m, encuentre el error aproximado al calcular su área de superficie.

Pregunta 14: Encuentra el cambio aproximado en el área de la superficie de un cubo como lado x metros causado por la disminución del lado en un 1%.

Pregunta 15: Si el radio de una esfera se mide como 7 m con un error de 0,02 m, encuentre el error aproximado al calcular su volumen.

Pregunta 16: Encuentra el cambio aproximado en el volumen de un cubo como lado x metros causado por aumentar el lado en un 1%.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

(xiv) $cos (\frac{11\pi}{36})$

(xvi) $(80)^{\frac{1}{4}}$

(xi) $(29)^{\frac{1}{3}}$

(xviii) $(66)^{\frac{1}{3}}$

(xviii) $\sqrt{26}$

(xix) $\sqrt{37}$

(xx) $\sqrt{0.48}$

(xx) $(82)^{\frac{1}{4}}$

(xii) $(\frac{17}{81})^{\frac{1}{4}}$

(xiii) $(33)^{\frac{1}{5}}$

(xiv) $\sqrt{36.6}$

(xv) $(25)^{\frac{1}{3}}$

(xxi) $\sqrt{49.5}$

Pregunta 10: Encuentra el valor apropiado de f(2.01), donde f(x) = 4x ² +5x+2

Pregunta 11: Encuentra el valor apropiado de f(5.001), donde f(x) = x ³ -7x ² +15

Pregunta 12: Encuentra el valor apropiado de log ₁₀ 1005, dado que log ₁₀ e=0.4343