Pregunta 12. Si tres puntos A(h, 0), P(a, b) y B(0, k) están en una recta, demuestra que a/h + b/k = 1
Solución:
Si los puntos dados se encuentran en una línea, entonces podemos decir que estos puntos tienen la misma pendiente
∴ Pendiente de AP = Pendiente de PB = Pendiente de AB
⇒ [b – 0] / [a – h] = [k – b] / [0 – a] = [k – 0] / [0 – h]
⇒ [b – 0] / [a – h] = [k – b] / [0 – a]
⇒ -ab = (k – b)(a – h)
⇒ -ab = ka- kh – ab + bh
⇒ ka + bh = kh
Dividiendo ambos lados por kh obtenemos
⇒ a/h + b/k = 1
Por lo tanto probado
Pregunta 13. La pendiente de una recta es el doble de la pendiente de otra recta. Si las tangentes del ángulo entre ellas es 1/3, encuentra la pendiente de la otra recta.
Solución:
Sea la pendiente de las rectas dadas m1 y m2
Según la pregunta m1 = m y m2 = 2m
tan θ = (m1 – m2)/(1 + m1m2)
Caso I:
⇒ 1/3 = (m – 2m)/(1 + 2m 2 )
⇒ 1/3 = (-m)/(1 + 2m 2 )
⇒ 1 + 2m 2 = -3m
⇒ 2m2 + 3m + 1 = 0
⇒ 2m2 + 2m + m + 1 = 0
⇒ 2m(m + 1) + (m + 1) = 0
⇒ (2m + 1)(m + 1) = 0
m = -1, -1/2
Caso II:
⇒ 1/3 = (2m – m)/(1 + 2m 2 )
⇒ 1/3 = (m)/(1 + 2m 2 )
⇒ 1 + 2m 2 = 3m
⇒ 2m 2 – 3m + 1 = 0
⇒ 2m2 – 2m – m + 1 = 0
⇒ 2m(m – 1) – (m – 1) = 0
⇒ (2m – 1)(m – 1) = 0
metro = 1, 1/2
Pregunta 14. Considere el siguiente gráfico de población y año:
Encuentre la pendiente de la línea AB y, usándola, encuentre cuál será la población en el año 2010.
Solución:
Usando la fórmula,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
Pendiente de la recta AB = [97 – 92] / [1995 – 1985]
= 5/10 = 1/2
Entonces, la población (P) en 2010 se puede encontrar usando la pendiente de AC
Pendiente de la línea AC = [P – 92] / [2010 – 1985]
= (P – 92) / 25
Según pregunta:
⇒ (P – 92) / 25 = 1/2 = Pendiente de AB
⇒(P – 92) =25/2
⇒ 2P – 184 = 25
∴ P = 209/2 = 104,50
Pregunta 15. Sin usar la fórmula de la distancia, demuestra que los puntos (-2,-1), (4,0), (3,3), (-3,2) son los vértices de un paralelogramo.
Solución:
Sean P (-2,-1), Q (4,0), R (3,3) y S (-3,2) los vértices de un cuadrilátero
Usando la fórmula,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
Pendiente de la línea PQ = [0 – (-1)] / [4 – (-2)]
= 1/6
Pendiente de la recta QR = [3 – 0] / [3 – 4]
= -3
Pendiente de la recta RS = [2 – 3] / [-3 – 3]
= 1/6
Pendiente de la recta RP = [2 – (-1)] / [-3 – (-2)]
= -3
Vemos que las pendientes del lado opuesto del cuadrilátero PQRS son iguales.
Por lo tanto, el cuadrilátero PQRS es un paralelogramo.
Pregunta 16. Encuentra el ángulo entre el eje x y la línea que une los puntos (3,-1) y (4,-2).
Solución:
La pendiente del segmento de recta que une los puntos (3,-1) y (4,-2) es
metro 1 = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
= [-2 – (-1)] / [4 – 3]
= -1
La pendiente del eje x es 0
m 2 = 0
Si θ es el ángulo entre el eje x y el segmento de línea, entonces
tanθ = [m 1 – m 2 ] / [1 + m 1 m 2 ]
= [-1 – 0] / [1 + (-1)(0)]
= -1
∴θ = 135°
Pregunta 17. La recta que pasa por los puntos (-2,6) y (4,8) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (8,12) y (x,24). Encuentra el valor de x.
Solución:
Tenemos,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
La pendiente de la recta que une los puntos (-2,6) y (4,8) es
metro1 = [ 8 – 6] / [4 – (-2)]
= 2/6 = 1/3
La pendiente de la recta que une los puntos (8,12) y (x,24) es
m2 = [24 – 12] / [x – 8]
= 12/(x – 8)
las lineas son perpendiculares entre si
metro 1 × metro 2 = -1
⇒ (1/3) × 12/(x – 8) = -1
⇒ 4/(x-8) =-1
⇒ 4 = 8 – x
⇒ x = 4
Pregunta 18. Encuentra el valor de x para el cual los puntos (x,-1), (2,1) y (4,5) son colineales.
Solución:
Sean los puntos dados P (x,-1), Q (2,1) y R (4,5)
Además, dado que los puntos P, q y R son colineales, entonces
el área del triángulo que forman debe ser cero.
Por eso,
x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 ) = 0
⇒ x(1 – 5) + 2(5 – (-1)) + 4(-1 – 1) = 0
⇒ -4x + 2(5 + 1) + (-2) = 0
⇒ -4x + 12 -8 = 0
⇒ -4x = -4
⇒ x = 1
Pregunta 19. Encuentra el ángulo entre el eje x y la línea que une los puntos (3,-1) y (4,-2).
Solución:
Pendiente del eje x m1 = 0
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
m2 = [-2 – (-1)] / [4 – 3]
m2 = -1/1 = -1
Consideremos θ el ángulo entre el eje x y
la recta que une los puntos (3,-1) y (4,-2).
tanθ = [m1 – m2] / [1 + m1m2]
= [0 – (-1)] / [1 + (0)(-1)]
= -1
∴θ = 3π/4
Pregunta 20. Utilizando el concepto de pendiente, demuestre que los puntos (-2,-1), (4,0), (3,3) y (-3,2) son los vértices de un paralelogramo.
Solución:
Sean P (-2,-1), Q (4,0), R (3,3) y S (-3,2) los vértices del cuadrilátero
Sabemos
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
Pendiente de la línea PQ = [0 – (-1)] / [4 – (-2)]
= 1/6
Pendiente de la recta QR = [3 – 0] / [3 – 4]
= -3
Pendiente de la recta RS = [2 – 3] / [-3 – 3]
= 1/6
Pendiente de la recta RP = [2 – (-1)] / [-3 – (-2)]
= -3
Vemos que las pendientes del lado opuesto del cuadrilátero PQRS son iguales.
Por lo tanto, el cuadrilátero PQRS es un paralelogramo.
Pregunta 21. Un cuadrilátero tiene vértices (4,1), (1, 7), (-6, 0) y (-1, -9). Demuestre que los puntos medios de los lados de este cuadrilátero forman un paralelogramo.
Solución:
Sean P (4,1), Q (1, 7), R (-6, 0) y S (-1, -9) los vértices del cuadrilátero
Sean W, X, Y y Z los puntos medios de PQ, QR, RS y SP respectivamente
Usando la fórmula del punto medio
[(x 1 + x 2 )/2, (y 1 + y 2 )/2]
Punto medio de PQ,
W = [(4 + 1)/2, (1 + 7)/2] = (5/2, 4)
Punto medio de QR,
X = [(1 – 6)/2, (7 + 0)/2] = (-5/2, 7/2)
Punto medio de RS,
Y = [(-6 – 1)/2, (0 – 9)/2] = (-7/2, -9/2)
Punto medio de SP,
Z = [(-1 + 4)/2, (-9 + 1)/2] = (3/2, -4)
Sabemos que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios
Punto medio de la diagonal WY
= [{(5 – 7)/2}/2, {(4 – 9/2)/2}] = (-2/4, -1/4) = (-1/2, -1/4)
Punto medio de la diagonal XZ
= [{(-5 + 3)/2}/2, {(7 – 8/2)/2}] = (-2/4, -1/4) = (-1/2, -1/4 )
Así, los puntos medios de los lados de este cuadrilátero forman un paralelogramo.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA