Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 29 Límites – Ejercicio 29.10 | conjunto 3

Posted on by Rudeus Greyrat

Evalúa los siguientes límites:

Pregunta 31.\lim_{x\to0}\frac{e^{x+2}-e^x}{x}

Solución:

Tenemos,

=\lim_{x\to0}\frac{e^{x+2}-e^x}{x}

=e^2\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

= e 2 × log e

= mi 2

Pregunta 32.\lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{e^{cosx}-1}{cosx}

Solución:

Tenemos,

=\lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{e^{cosx}-1}{cosx}

Sea x − π/2 = h. Entonces, obtenemos

=\lim_{h\to0}\frac{e^{cos(\frac{π}{2}+h)}-1}{cos(\frac{π}{2}+h)}

=\lim_{sinh\to0}\frac{e^{-sinh}-1}{-sinh}

sabemos \lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga _ Entonces, obtenemos,

= registro e

= 1

Pregunta 33.\lim_{x\to0}\frac{e^{3+x}-sinx-e^3}{x}

Solución:

Tenemos,

=\lim_{x\to0}\frac{e^{3+x}-sinx-e^3}{x}

=\lim_{x\to0}\frac{e^{3+x}-e^3}{x}-\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}

=e^3\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}-\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga y lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1 . Entonces tenemos,

= mi 3 log mi − 1

= mi 3 − 1

Pregunta 34.lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x}

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x}

=lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}-lim_{x\to0}\frac{x}{x}

=lim_{x\to0}(\frac{e^x-1}{x})-1

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

= logaritmo e − 1

= 1 − 1

= 0

Pregunta 35.lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-e^{2x}}{x}

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-e^{2x}}{x}

=lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1-(e^{2x}-1)}{x}

=lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}-lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}

=lim_{x\to0}3×(\frac{e^{3x}-1}{3x})-lim_{x\to0}2×(\frac{e^{2x}-1}{2x})

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

= 3 log e − 2 log e

= 3 − 2

= 1

Pregunta 36.lim_{x\to0}\frac{e^{tanx}-1}{tanx}

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to0}\frac{e^{tanx}-1}{tanx}

=lim_{tanx\to0}\frac{e^{tanx}-1}{tanx}

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

= registro e

= 1

Pregunta 37. lim_{x\to0}\frac{e^{bx}-e^{ax}}{x} , 0 < a < b

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to0}\frac{e^{bx}-e^{ax}}{x}

=lim_{x\to0}\frac{e^{bx}-1-(e^{ax}-1)}{x}

=lim_{x\to0}\frac{e^{bx}-1}{x}-lim_{x\to0}\frac{e^{ax}-1}{x}

=lim_{x\to0}b×\frac{e^{bx}-1}{bx}-lim_{x\to0}a×\frac{e^{ax}-1}{ax}

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

= b log e − a log e

= segundo – un

Pregunta 38.lim_{x\to0}\frac{e^{tan}-1}{x}

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to0}\frac{e^{tan}-1}{x}

=lim_{x\to0}\frac{e^{tan}-1}{tanx}×lim_{x\to0}\frac{tanx}{x}

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga y lim_{x\to0}\frac{tanx}{x}=1 . Entonces tenemos,

= log e × 1

= 1

Pregunta 39.lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{sinx}}{x-sinx}

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{sinx}}{x-sinx}

=lim_{x\to0}e^{sinx}\left[\frac{e^{x-sinx}-1}{x-sinx}\right]

=lim_{x\to0}e^{sinx}×lim_{x\to0}\left[\frac{e^{x-sinx}-1}{x-sinx}\right]

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

=lim_{x\to0}e^{sinx}×loge

= mi 0

= 1

Pregunta 40.lim_{x\to0}\frac{3^{2+x}-9}{x}

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to0}\frac{3^{2+x}-9}{x}

=lim_{x\to0}\frac{3^{2+x}-3^2}{x}

=3^2×lim_{x\to0}(\frac{3^x-1}{x})

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

= 9 × registro 3

= 9 registro 3

Pregunta 41.lim_{x\to0}\frac{a^x-a^{-x}}{x}

Solución:

Se nos da,

=lim_{x\to0}\frac{a^x-a^{-x}}{x}

=lim_{x\to0}\frac{a^{2x}-1}{xa^x}

=lim_{x\to0}\frac{a^{2x}-1}{x}×lim_{x\to0}\frac{1}{a^x}

=lim_{x\to0}\frac{2(a^{2x}-1)}{2x}×lim_{x\to0}\frac{1}{a^x}

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

=2loga×\frac{1}{a^0}

= 2 log a

Pregunta 42.lim_{x\to0}\frac{x(e^x-1)}{1-cosx}

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to0}\frac{x(e^x-1)}{1-cosx}

=lim_{x\to0}\frac{x(e^x-1)}{2sin^2\frac{x}{2}}

=lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}×lim_{x\to0}\frac{4}{\left(\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2}

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga y lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1 . Entonces tenemos,

=\frac{loge}{2}×4

= 2

Pregunta 43.lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{2^{-cosx}-1}{xsin(x-\frac{π}{2})}

Solución:

Tenemos,

=lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{2^{-cosx}-1}{xsin(x-\frac{π}{2})}

=lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{2^{-sin(\frac{π}{2}-x)}-1}{xsin(x-\frac{π}{2})}

=lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{2^{sin(x-\frac{π}{2})}-1}{xsin(x-\frac{π}{2})}

=lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{2^{sin(x-\frac{π}{2})}-1}{sin(x-\frac{π}{2})}×lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{1}{x}

Sea x− π/2 = h en la primera parte. Entonces, obtenemos,

=lim_{h\to0}\frac{2^{sinh}-1}{sinh}×lim_{x\to\frac{π}{2}}\frac{1}{x}

Sabemos, lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga . Entonces tenemos,

=log 2 ×\frac{2}{π}

=\frac{2log2}{π}

=\frac{log4}{π}

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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