Pregunta 8. Si x 2 +1/x 2 = 79, encuentra el valor de x +1/x
Solución:
Dado, x 2 +1/x 2 = 79
Tomemos el cuadrado de x + 1/x
Entonces, (x + 1/x) 2 = (x) 2 + (1/x) 2 + 2 × (x) × (1/x)
Ya que, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
Asi que,
(x + 1/x) 2 = 79 + 2
(x + 1/x) 2 = 81
x + 1/x = ±9
Por lo tanto, el valor de x + 1/x es ±9
Pregunta 9. Si 9x 2 + 25y 2 = 181 y xy = -6, encuentra el valor de 3x + 5y
Solución:
Dado,
9x 2 + 25y 2 = 181 y xy = -6
Tomemos un cuadrado de 3x + 5y
(3x + 5y) 2 = (3x) 2 + (5y) 2 + 2 × (3x) × (5y)
Ya que, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
Asi que,
(3x + 5y) 2 = 9x 2 + 25y 2 + 30xy
(3x + 5y) 2 = 181 + 30(-6)
(3x + 5y) 2 = 181 – 180 = 1
Entonces, 3x + 5y = ±1
Por lo tanto, el valor de 3x + 5y es ±1
Pregunta 10. Si 2x + 3y = 8 y xy = 2, encuentra el valor de 4x 2 + 9y 2
Solución:
Dado,
2x + 3y = 8 y xy = 2
Tomemos un cuadrado de 2x + 3y
(2x + 3y) 2 = (2x) 2 + (3y) 2 + 2 × (2x) × (3y)
Ya que, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
Asi que,
(2x + 3y) 2 = 4x 2 + 9y 2 + 12xy
(8) 2 = 4x 2 + 9y 2 + 12(2)
64 = 4x 2 + 9y 2 + 24
4x 2 + 9y 2 = 40
Por lo tanto, el valor de 4x 2 + 9y 2 es 40
Pregunta 11. Si 3x -7y = 10 y xy = -1, encuentra el valor de 9x 2 + 49y 2
Solución:
Dado,
3x -7y = 10 y xy = -1
Tomemos un cuadrado de 3x -7y
(3x -7y) 2 = (3x) 2 + (7y) 2 – 2 × (3x) × (7y)
Ya que, (a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab
Asi que,
(3x -7y) 2 = 9x 2 + 49y 2 – 42xy
(10) 2 = 9x 2 + 49y 2 – 42(-1)
100 = 9x 2 + 49y 2 + 42
9x 2 + 49y 2 = 58
Por lo tanto, el valor de 9x 2 + 49y 2 es 58
Pregunta 12. Simplifique cada uno de los siguientes productos:
(i) (1/2a – 3b)(3b +1/2a)(1/4a 2 + 9b 2 )
(ii) (m +n/7) 3 (mn/7)
(iii) (x/2 – 2/5)(2/5 -x/2) -x 2 + 2x
(iv) (x 2 + x -2)(x 2 -x + 2)
(v) (x 3 -3x 2 -x)( x 2 -3x + 1)
(vi) (2x 4 -4x 2 +1)(2x 4 -4x 2 -1) Solución:
i) (1/2a -3b)(3b +1/2a)(1/4a 2 + 9b 2 )
La expresión anterior se puede escribir como, (1/2a -3b)(1/2a +3b)(1/4a 2 + 9b 2 )
Entonces, [(1/2a) 2 -(3b) 2 ](1/4a 2 + 9b 2 ) = (1/4a 2 -9b 2 )(1/4a 2 + 9b 2 )
Ahora lo concluimos como, (1/4a 2 ) 2 – (9b 2 ) 2
= 1/16a 4 -81b 4
Por lo tanto, (1/2a -3b)(3b +1/2a)(1/4a 2 + 9b 2 ) = 1/16a 4 -81b 4
ii) (m +n/7)3 (m-n/7)
The above expression can be written as, (m +n/7)2 (m +n/7)(m-n/7)
So, (m +n/7)2 [(m)2 -(n/7)2]
= (m +n/7)2 (m2 -n2/49)
Hence, (m +n/7)3 (m-n/7) = (m +n/7)2 (m2 -n2/49)
iii) (x/2 -2/5)(2/5 -x/2) -x2 + 2x
The above expression can be written as, [-(x/2 -2/5)(x/2 -2/5)] -x2 + 2x
= [-(x/2 -2/5)2] -x2 + 2x
So, -(x2/4 + 4/25 -2x/5) -x2 + 2x
= -x2/4 -4/25 + 2x/5 -x2 + 2x = -5x2/4 + 12x/5 -4/25
Hence, (x/2 -2/5)(2/5 -x/2) -x2 + 2x = -5x2/4 + 12x/5 -4/25
iv) (x2 + x -2)(x2 -x + 2)
The above expression can be written as, [x2 + (x -2)][x2 -(x -2)]
So, (x2)2 -(x -2)2
= x4 -(x2 + 4 -4x)
= x4 -x2 -4 + 4x
Hence, (x2 + x -2)(x2 -x + 2) = x4 -x2 -4 + 4x
v) (x3 -3x2 -x)(x2 -3x + 1)
The above expression can be written as, x(x2 -3x -1)(x2 -3x + 1)
= x[(x2 -3x) -1][(x2 -3x) + 1]
= x [(x2 -3x)2 -12]
= x[x4 + 9x2 -6x3 -1] = x5 + 9x3 -6x4 -x
Hence, (x3 -3x2 -x)(x2 -3x + 1) = x5 + 9x3 -6x4 -x
vi) (2x4 -4x2 +1)(2x4 -4x2 -1)
The above expression can be written as, [(2x4 -4x2)+1][(2x4 -4x2) -1]
So, (2x4 -4x2)2 -12
= 4x8 + 16x4 -16x6 -1
Hence, (2x4 -4x2 +1)(2x4 -4x2 -1) = 4x8 + 16x4 -16x6 -1
Pregunta 13. Demuestre que a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca siempre es no negativo para todos los valores de a, b y c.
Solución:
Para probar la expresión dada,
Primero multiplica y divide a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca por 2
= 1/2[2a 2 + 2b 2 + 2c 2 – 2ab – 2bc – 2ca]
= 1/2[a 2 + b 2 + c 2 +a 2 + b 2 + c 2 – 2ab – 2bc – 2ca]
= 1/2[a 2 + b 2 -2ab + b 2 + c 2 -2bc + c 2 +a 2 -2ac]
= 1/2[(a -b) 2 + (b -c) 2 + (c -a) 2 ]
Como podemos ver claramente, la expresión anterior es una suma de términos cuadrados que siempre serán positivos.
Por lo tanto, a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca siempre es no negativo para todos los valores de a, b y c.
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Artículo escrito por vanshgaur14866 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA