Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 28 La línea recta en el espacio – Ejercicio 28.4

Pregunta 1. Encuentra la distancia perpendicular del punto (3, -1, 11) desde la línea $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{4}$

Solución:

Sea Q el pie de la perpendicular trazada desde P (3, -1, 11) a la línea $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{4}$ , entonces tenemos que encontrar la longitud de PQ es el punto general en la línea $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{4}=\lambda (say)$

Coordenada de Q = $(2\lambda,-3\lambda+2,4\lambda+3)$ , relaciones de dirección de la línea dada = 2,-3,4. Dado que PQ es la interfaz perpendicular a la línea dada.

$a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$\Rightarrow 2(2\lambda-3)+(-3 )(-3\lambda+3)4(4\lambda-8)=0$

$\Rightarrow 4\lambda-6+9\lambda-9+16\lambda-32=0$

$29\lambda-47=0; \lambda = \frac{47}{29}$

Entonces, las coordenadas de Q son:

$\Rightarrow 2(\frac{47}{29}),-3(\frac{47}{29})+2,4(\frac{47}{29})+3 = \frac{94}{29},\frac{-83}{29},\frac{275}{29}$

La distancia entre P y Q se da como:

$= \sqrt{(\frac{94}{29}-3)^2+(\frac{-83}{29}+1)^2+(\frac{275}{29}-11)^2}$

$= \sqrt{(\frac{7}{29})^2+(\frac{-54}{29})^2+(\frac{-44}{29})^2}$

$=\sqrt{\frac{49}{841}+\frac{2916}{841}+\frac{1936}{841}}$

$=\sqrt{\frac{4901}{841}}$

Entonces, la distancia requerida es $\sqrt{\frac{4901}{841}}$ unidades

Pregunta 2. Encuentra la distancia perpendicular del punto (1,0,0) desde la línea $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+10}{8}$ . Además, encuentre las coordenadas del pie de la perpendicular y la ecuación de la perpendicular.

Solución:

Consideremos el pie de la perpendicular trazada desde P (1,0,0) hasta la línea $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+10}{8}$ Q. Así que encontremos la longitud de PQ, es decir $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+10}{8}=\lambda$

Coordenada de Q = $(2\lambda+1, -3\lambda-1, 8\lambda-10)$

Las relaciones de dirección de la línea dada: $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$\Rightarrow 2(2\lambda)+(-3)(-3\lambda-1)+8(8\lambda-10)=0$

$4\lambda+9\lambda+3+64\lambda-80=0$

$\Rightarrow 77\lambda-77=0; \lambda = 1$

Entonces las coordenadas de Q son las siguientes:

$(2\lambda+1, -3\lambda-1, 8\lambda-10)= [2(1)+1,-3(1)-1,8(1)-10]= [3,4,-2]$

La distancia entre P y Q viene dada por:

PQ = $\sqrt{(x1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

PQ = $\sqrt{(1-3)^2+(0+4)^2+(0+2)^2}=\sqrt{4+16+4}$

PQ = $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Por tanto, el pie de la perpendicular = (3,-4,-2);

Longitud de la perpendicular = $2\sqrt{6}$ unidades.

Pregunta 3. Encuentra el pie de la perpendicular trazada desde el punto A(1,0,3) hasta la unión de los puntos B(4,7,1) y C(3,5,3).

Solución:

Consideremos, el pie de la perpendicular trazada desde A(1,0,3) hasta la línea que une

Los puntos B(4,7,1) y C(3,5,3) sean D. La ecuación de la recta que pasa por

los puntos B(4,7,1) y C(3,5,3) es

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

$\Rightarrow \frac{x-4}{3-4}=\frac{y-7}{5-7}=\frac{z-1}{3-1}$

$\Rightarrow \frac{x-4}{-1}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-1}{2}$

Dejar $\frac{x-4}{-1}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-1}{2}=\lambda$

Entonces, la relación de dirección de AD es $(-\lambda+4-1),(-2\lambda+7-0),(2\lambda+1-3) = (-\lambda+3),(-2\lambda+7),(2\lambda-2)$

La recta AD es la perpendicular a BC por lo que, $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$\Rightarrow -1(-\lambda+3)+(2)(-2\lambda+7)+2(2\lambda-2)=0$

$\Rightarrow 9\lambda -21 = 0; \lambda = \frac{21}{9}$

Por lo tanto, las coordenadas de D son: $\left(\frac{-21}{9}+4,(-2)(\frac{21}{9}+7),2(\frac{21}{9}+1)\right)$

= $\left(\frac{15}{9},\frac{21}{9},\frac{51}{9}\right) = \left(\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{17}{3}\right)$

Pregunta 4. A (1,0,4), B (0,-11,3), C (2,-3,1) son tres puntos y D es el pie de la perpendicular de A sobre BC. Encuentre las coordenadas de D.

Solución:

Dado: D es la perpendicular desde A(1,0,4) sobre BC. Asi que,

La ecuación de la recta que pasa por BC es:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

$\frac{x-0}{2-0}=\frac{y+11}{-3+11}=\frac{z-3}{1-3}$

$\frac{x}{2}=\frac{y+11}{8}=\frac{z-3}{-2}$

$\frac{x}{2}=\frac{y+11}{8}=\frac{z-3}{-2}=\lambda$

Coordenadas de D = ( $2\lambda, 8\lambda-11,-2\lambda+3$ )

Las relaciones de dirección de AD son $(2\lambda-1),(8\lambda-11-0),(-2\lambda+3-4)= (2\lambda-1),(8\lambda-11),(-2\lambda-1)$

La recta AD es perpendicular a BS entonces,

$a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$2(2\lambda-1)+8(8\lambda-11)+(-2)(-2\lambda-1)=0$

$72\lambda-88 = 0; \lambda = \frac{88}{72} or \frac{11}{9}$

Entonces, las coordenadas de D son = $(2\lambda,8\lambda-11,-2\lambda+3)$

$\left(2(\frac{11}{9}),8(\frac{11}{9})-11,-2(\frac{11}{9})+3\right)$ =

$\left(\frac{22}{9},\frac{-11}{9},\frac{5}{9}\right)$

Pregunta 5. Halla el pie de la perpendicular desde el punto (2,3,4) hasta la recta $\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$ . Además, encuentre la distancia perpendicular desde el punto dado a la línea.

Solución:

Consideremos que El pie de la perpendicular trazada desde P(2,3,4) hasta la recta

$\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$ es $\theta$ _

La ecuación de la recta es $\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$

Dejar $\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{6}=\frac{z-1}{-3} = \lambda$

Coordenadas de Q = $(-2\lambda+4-2),(6\lambda-3),(-3\lambda+1-4) = (-2\lambda+2),(6\lambda-3),(-3\lambda-3)$

Entonces, PQ es perpendicular a la recta dada, $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$(-2)(-2\lambda+2)+6(6\lambda-3)+(-3)(-3\lambda-3)=0$

$49\lambda-13=0; \lambda=\frac{13}{49}$

Coordenadas de Q = $(-2\lambda+4, 6\lambda. -3\lambda+1)$

= $\left(-2(\frac{13}{49})+4,6(\frac{13}{49}),-3(\frac{13}{49})+1\right)$

= $\left(\frac{-26+196}{49},\frac{78}{49},\frac{-39+49}{49}\right)= \left(\frac{170}{49}, \frac{78}{49},\frac{10}{49}\right)$

La distancia entre P y Q viene dada por y: PQ = $\sqrt{(x1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

= $\sqrt{(\frac{170}{49}-2)^2+(\frac{78}{49}-3)^2+(\frac{10}{49}-4)^2}$

= $\sqrt{\frac{44541}{2401}} = \sqrt{\frac{909}{49}} = \frac{3\sqrt{101}}{49}$

Por lo tanto, la distancia perpendicular de (2,3,4) a la línea dada es $\frac{3\sqrt{101}}{49}$ unidades.

Pregunta 6. Halla la ecuación de la perpendicular trazada desde el punto P (2,4,-1) hasta la recta $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9}$ . Además, anota las coordenadas del pie de la perpendicular desde P.

Solución:

Sea $\theta$ el pie de la perpendicular trazada desde P(2,4,-1) a la recta

$\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9}$

la línea dada es $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9} = \lambda (say)$

Coordenada de Q (Punto general sobre la recta) = $(\lambda-5, 4\lambda-3, -9\lambda+6)$

Las relaciones de dirección de PQ son: $(\lambda-5-2),(4\lambda-3-4),(-9\lambda+6+1) = \lambda-7, 4\lambda-7, -9\lambda+7$

Como la recta PQ es perpendicular a la recta dada, entonces: $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$1(\lambda-7)+4(4\lambda-7)+(-9)(-9\lambda+7)=0$

$98\lambda-98=0; \lambda=1$

Por lo tanto, coordenadas de pie de perpendicular = {-4, 1, -3}

Entonces la ecuación de la perpendicular PQ es: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

$\Rightarrow \frac{x-2}{-4-2}=\frac{y-4}{1-4}=\frac{z+1}{-3+1}$

$\Rightarrow \frac{x-2}{-6}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z+1}{-2}$

Pregunta 7. Halla la longitud de la perpendicular trazada desde el punto (5,4,-1) hasta la recta $\vec{r}=\widehat{i} + \lambda(2\widehat{i} + 9\widehat{j}+5\widehat{k})$

Solución:

Sea Q el pie de la perpendicular trazada desde P(5,4,-1) hasta la línea dada, por lo que la ecuación de la línea dada es:

$\vec{r}=\widehat{i} + \lambda(2\widehat{i} + 9\widehat{j}+5\widehat{k})$

$(x\widehat{i}+y\widehat{j}+z\widehat{k}) = (1+2\lambda)\widehat{i}+(9\lambda)\widehat{j}+(5\lambda)\widehat{k}$

Igualando los coeficientes de $\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}$

$\Rightarrow x = 1+2\lambda, y = 9\lambda, z = 5\lambda$

$\Rightarrow \frac{x-1}{2} = \lambda, \frac{y}{9} = \lambda, \frac{z}{5}=\lambda$

$\Rightarrow \frac{x-1}{2} = \frac{y}{9} =\frac{z}{5}=\lambda (say)$

Coordenada de Q = $(2\lambda+1,9\lambda,5\lambda)$

Las relaciones de dirección de la línea PQ son: $(2\lambda+1-5),9\lambda-4,5\lambda+1$

$\Rightarrow 2\lambda-4, 9\lambda-4, 5\lambda+1$

Como la recta PQ es perpendicular a la recta dada, entonces: $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$2(2\lambda-4)+9(9\lambda-4)+5(5\lambda+1)=0$

$\Rightarrow 4\lambda - 8 +81\lambda - 36 +25\lambda + 5 = 0$

$\Rightarrow 110\lambda - 39 = 0; \lambda = \frac{39}{110}$

Coordenada de Q = { $2\lambda+1, 9\lambda, 5\lambda$ }

= $\left(2(\frac{39}{110})+1,9(\frac{39}{110}),5(\frac{39}{110})\right)$

= $\left(\frac{188}{110},\frac{351}{110},\frac{195}{110}\right)$

Longitud de la perpendicular = PQ = $\sqrt{(x1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

= $\sqrt{(5-\frac{188}{110})^2+ (4-\frac{351}{110})^2+(-1-\frac{195}{110})^2}$

PQ = $\sqrt{\frac{231990}{12100}} or \sqrt{\frac{2109}{110}}$

Pregunta 8. Halla el pie de la perpendicular trazada desde el punto $\widehat{i}+6\widehat{j}+3\widehat{k}$ hasta la recta $\vec{r} = (\widehat{j}+2\widehat{k}) + \lambda(\widehat{i}+2\widehat{j}+3\widehat{k})$ . Además, encuentre la longitud de la perpendicular.

Solución:

Sea Q el vector de posición del pie de la perpendicular trazada desde p $(\widehat{i}+6\widehat{j}+3\widehat{k})$ sobre . Entonces, Q está en la línea $\vec{r} = (\widehat{j}+2\widehat{k}) + \lambda(\widehat{i}+2\widehat{j}+3\widehat{k})$ $(\vec{q})$ $\vec{r} = (\widehat{j}+2\widehat{k}) + \lambda(\widehat{i}+2\widehat{j}+3\widehat{k})$

Entonces, el vector de posición de Q = $\lambda(\widehat{i})+(1+2\lambda)\widehat{j}+(2+3\lambda)\widehat{k}$

$\vec{PQ}$ es el vector de posición de Q – vector de posición de p = $(\lambda\widehat{i}+(1+2\lambda)\widehat{j}-(\widehat{i}+6\widehat{j}+3\widehat{k})$

$\vec{PQ} = (\lambda-1)\widehat{i}+(2\lambda-5)\widehat{j}+(3\lambda-1)\widehat{k}$

Aquí, el vector PQ es perpendicular a la línea dada . Asi que,

$(\lambda-1)\widehat{i}+(2\lambda-5)\widehat{j}+(3\lambda-1)\widehat{k} = 0$

$\Rightarrow (\lambda-1)1+(2\lambda-5)2+(3\lambda-1)3 = 0$

$14\lambda -14 = 0; \lambda = 1$

Vector de posición de Q = { $(\widehat{j}+2\widehat{j})+\lambda(\widehat{i}+2\widehat{j}+3\widehat{k})$ }

= $(\widehat{j}+2\widehat{k})+1(\widehat{i}+2\widehat{j}+3\widehat{k})$

Pie de la perpendicular = $\widehat{i}+3\widehat{j}+5\widehat{k}$

$\vec{PQ}$ = Vector de posición de Q – Vector de posición de P

= $(\widehat{i}+3\widehat{j}+5\widehat{k})-(\widehat{i}+6\widehat{j}+3\widehat{k})$

= $-3\widehat{i}+2\widehat{k}$

$|\vec{PQ}|$ = $\sqrt{(-3)^2+(2)^2} = \sqrt{13}$ unidades

Pregunta 9. Encuentra la ecuación del drwan peprendicular desde el punto P (-1,3,2) hasta la recta $\vec{r} = (2\widehat{j}+3\widehat{k})+\lambda(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})$ . Además, encuentre las coordenadas del pie de la perpendicular desde P.

Solución:

Sea Q la perpendicular trazada desde P { $-\widehat{i}+3\widehat{j}+2\widehat{k}$ } sobre la

vector $\vec{r} = (2\widehat{j}+3\widehat{k})+\lambda(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})$

Sea el vector de posición de Q : $(2\widehat{i}+3\widehat{k})+ \lambda(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})$

: $(2\lambda)\widehat{i}+(2+\lambda)\widehat{j}+(3+3\lambda)\widehat{k}$

$\vec{PQ}$ = Vector de posición de Q – Vector de posición de P = $(2\lambda)\widehat{i}+(2+\lambda)\widehat{j}+(3+3\lambda)\widehat{k} - (-\widehat{i}+3\widehat{j}+2\widehat{k})$

$\vec{PQ} = (2\lambda+1)\widehat{i} + (\lambda-1)\widehat{j}+(3\lambda+1)\widehat{k}$

Como el vector PQ es perpendicular a la recta dada,

$(2\lambda+1)\widehat{i} + (\lambda-1)\widehat{j}+(3\lambda+1)\widehat{k} = 0$

$4\lambda+2+\lambda-1+9\lambda+3 = 0; \lambda= \frac{-4}{14} or \frac{-2}{7}$

Vector de posición de Q = $(2\lambda)\widehat{i}+(2+\lambda)\widehat{j}+(3+3\lambda)\widehat{k}$ es

$2(\frac{-2}{7})\widehat{i}+(2-\frac{2}{7})\widehat{j}+(3+3(\frac{-2}{7})\widehat{k})$

$\frac{-4}{7}\widehat{i}+\frac{12}{7}\widehat{j}+\frac{15}{7}\widehat{k}$

Coordenadas de pie de la perpendicular: $\left(\frac{-4}{7},\frac{12}{7},\frac{15}{7}\right)$

La ecuación de PQ es: $\vec{r} = \vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$

$\Rightarrow \vec{r} = (-\widehat{i}+3\widehat{j}+2\widehat{k})+\lambda((\frac{-4}{7}\widehat{i}+\frac{12}{7}\widehat{j}+\frac{15}{7}\widehat{k})-(-\widehat{i}+3\widehat{j}+2\widehat{k}))$

$\vec{r} = (-\widehat{i}+3\widehat{j}+2\widehat{k}) + \lambda(\frac{3}{7}\widehat{i}-\frac{9}{7}\widehat{j}+\frac{1}{7}\widehat{k})$

$\vec{r} = (-\widehat{i}+3\widehat{j}+2\widehat{k}) + \mu(3\widehat{i}-9\widehat{j}+\widehat{k})$

Pregunta 10. Encuentra el pie de la perpendicular desde (0,2,7) en la línea $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{-2}$

Solución:

Sea Q el pie de la perpendicular trazada desde (0,2,7) hasta la recta $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{-2}$ .

Dada la ecuación de la recta es $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{-2} = \lambda (say)$

Coordenada de Q = { $-\lambda-2, 3\lambda+1, -2\lambda+3$ }

Las relaciones de dirección de PQ son $(\lambda-2-0), (3\lambda+1-2), (-2\lambda+3-7) = (-\lambda-2),(3\lambda-1),(-2\lambda- 4)$

Como PQ es perpendicular a la recta dada, entonces $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$-1(-\lambda-2)+3(3\lambda-1)+(-2)(-2\lambda-4)=0$

$\Rightarrow \lambda+2+9\lambda-3+4\lambda+8=0$

$\Rightarrow 14\lambda + 7 =0; \lambda = \frac{-1}{2}$

Pie de la perpendicular = { $\lambda-2, 3\lambda+1, -2\lambda+3$ }\

= $\left(-(\frac{-1}{2})-2, 3(\frac{-1}{2}),-2(\frac{-1}{2})+3\right)$

$\left(\frac{-3}{2}, \frac{-1}{2}, 4\right)$

Pregunta 11. Encuentra el pie de la perpendicular desde (1,2,-3) a la recta $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{-1}$

Solución:

Sea Q el pie de la perpendicular desde P (1,2,-3) a la recta $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{-1}$ .

Dada la ecuación de la línea es $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{-1} =\lambda (say)$

$\Rightarrow x = 2\lambda-1, y=-2\lambda+3, z = -\lambda$

Las coordenadas de Q son { $2\lambda-1, -2\lambda+3, -\lambda$ }

Las relaciones de dirección de PQ son: $(2\lambda-1-1), (-2\lambda+3-2), (-\lambda+3)$ =

$(2\lambda-2), (-2\lambda+1), (-\lambda+3)$

Sea PQ la perpendicular a la línea dada, entonces $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$2(2\lambda-2)+(-2)(-2\lambda+1)+(-1)(-\lambda+3)=0$

$9\lambda-9 = 0; \lambda = 1$

Coordenada de la perpendicular: $(2\lambda-1, -2\lambda+3, -\lambda)$

$\Rightarrow (2(1)-1, -2(1)+3, -1) = (1,1,-1)$

Pregunta 12. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (0,6,-9) y B (-3, 6, 3). Si D es el pie de la perpendicular trazada desde un punto C (7,4,-1) sobre la línea AB, entonces encuentre las coordenadas del punto D y la ecuación de la línea CD.

Solución:

La ecuación de la recta AB es $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

$\Rightarrow \frac{x-0}{3-0}=\frac{y-6}{-6-6}=\frac{z+9}{3+9}$

$\Rightarrow \frac{x-0}{3-0}=\frac{y-6}{-6-6}=\frac{z+9}{3+9} = \lambda (say)$

Coordenada del punto D = { $-3\lambda, -12\lambda+6, 12\lambda-9$ }

Relaciones de dirección de CD = $(-3\lambda-7)+(-12)(-12\lambda+6-4)+12(12\lambda-9+1)$

= $(-3\lambda-7)+(-12)(-12\lambda+2)+12(12\lambda-8)$

Como la línea CD es perpendicular a la línea AB, entonces $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

$-3(-3\lambda-7)+(-12)(-12\lambda+2)+12(12\lambda-8) =0$

$297\lambda-99=0; \lambda = \frac{1}{3}$

Coordenada de D = { $-3\lambda, -12\lambda+6, 12\lambda-9$ }

= { $-3(\frac{1}{3}), -12(\frac{1}{3})+6, 12(\frac{1}{3})-9$ }

= (-1,2,-5)

La ecuación de CD es $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

$\Rightarrow \frac{x-7}{-1-7}=\frac{y-4}{2-4}=\frac{z+1}{-5+1}$

$\Rightarrow \frac{x-7}{-8}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z+1}{-4}$

$\Rightarrow \frac{x-7}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{2}$

Pregunta 13. Encuentra la distancia del punto (2,4,-1) de la línea $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9}$

Solución:

Sea P = (2,4,-1)

Para encontrar la distancia necesitamos encontrar un punto Q en la línea. Vemos que la línea está pasando

el punto Q(-5,-3,6). Entonces, tomemos este punto como el punto requerido.

La recta también es paralela al vector. $\vec{b} = \widehat{i} +4\widehat{j} -9\widehat{k}$

Ahora, $\vec{PQ}$ = $(-5\widehat{i}-3\widehat{j}+6\widehat{k})-(2\widehat{i}+4\widehat{j}-\widehat{k})=-7\widehat{i}-7\widehat{j}+7\widehat{k}$

$\vec{b} \times \vec{PQ} = \begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ 1 & 4 & -9 \\ -7 & -7 & 7 \end{vmatrix}= -35\widehat{i}+56\widehat{j}+21\widehat{k}$

$|\vec{b} \times \vec{PQ}| = \sqrt{1225+3136+441} = \sqrt{4802}$

$\vec{b} = \sqrt{1+16+81} = \sqrt{98}$

Por lo tanto, $d= \frac{|\vec{b} \times \vec{PQ}|}{|\vec{b}|} = \frac{\sqrt{4802}}{\sqrt{98}}=7$

Pregunta 14. Halla las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el punto A (1,8,4) hasta la recta que une los puntos B (0,-1,3) y C (2,-3,-1).

Solución:

Sea L el pie de la perpendicular trazada desde A(1,8,4) sobre la recta que une los puntos B(0,-1,3) y C(2,-3,-1).

La ecuación de la recta que pasa por los puntos B y C viene dada por

$\vec{r}=\vec{b}+\lambda(\vec{c}-\vec{b})$

$\vec{r} = (0+2\lambda)\widehat{i}+(-1-2\lambda)\widehat{j}+(3-4\lambda)\widehat{k}$

Sea el vector de posición de L,

$\vec{r}=(2\lambda)\widehat{i}+(-1-2\lambda)\widehat{k}+(3-4\lambda)\widehat{k}......(Equation 1)$

Entonces, $\vec{AL}$ = Vector de posición de L – Vector de posición de A

$\Rightarrow \vec{AL} = (2\lambda)\widehat{i}+(-1-2\lambda)\widehat{j}+(3-4\lambda)\widehat{k}-(1\widehat{i}+8\widehat{j}+4\widehat{k})$

Como el vector AL es perpendicular a la recta dada

que es paralelo a $\vec{b}=2\widehat{i}-2\widehat{j}-4\widehat{k}$

Por lo tanto, $\vec{AL}\cdot\vec{b}=0$

$\Rightarrow 2(-1+2\lambda)-2(-9-2\lambda)-4(-1-4\lambda)=0$

$24\lambda+20=0; \lambda=\frac{-5}{6}$

Poniendo el valor de lambda en la Ecuación 1, obtenemos:

$\vec{r} = \frac{-5}{3}\widehat{i}+\frac{2}{3}\widehat{j}+\frac{19}{3}\widehat{k}$

Entonces, las coordenadas del pie de la perpendicular son

$\left(\frac{-5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{19}{3}\right)$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por versatile1990 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra la distancia perpendicular del punto (3, -1, 11) desde la línea

Pregunta 2. Encuentra la distancia perpendicular del punto (1,0,0) desde la línea . Además, encuentre las coordenadas del pie de la perpendicular y la ecuación de la perpendicular.

Pregunta 3. Encuentra el pie de la perpendicular trazada desde el punto A(1,0,3) hasta la unión de los puntos B(4,7,1) y C(3,5,3).

Pregunta 4. A (1,0,4), B (0,-11,3), C (2,-3,1) son tres puntos y D es el pie de la perpendicular de A sobre BC. Encuentre las coordenadas de D.

Pregunta 5. Halla el pie de la perpendicular desde el punto (2,3,4) hasta la recta . Además, encuentre la distancia perpendicular desde el punto dado a la línea.

Pregunta 6. Halla la ecuación de la perpendicular trazada desde el punto P (2,4,-1) hasta la recta . Además, anota las coordenadas del pie de la perpendicular desde P.

Pregunta 7. Halla la longitud de la perpendicular trazada desde el punto (5,4,-1) hasta la recta

Pregunta 8. Halla el pie de la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta . Además, encuentre la longitud de la perpendicular.

Pregunta 9. Encuentra la ecuación del drwan peprendicular desde el punto P (-1,3,2) hasta la recta . Además, encuentre las coordenadas del pie de la perpendicular desde P.

Pregunta 10. Encuentra el pie de la perpendicular desde (0,2,7) en la línea

Pregunta 11. Encuentra el pie de la perpendicular desde (1,2,-3) a la recta

Pregunta 12. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (0,6,-9) y B (-3, 6, 3). Si D es el pie de la perpendicular trazada desde un punto C (7,4,-1) sobre la línea AB, entonces encuentre las coordenadas del punto D y la ecuación de la línea CD.

Pregunta 13. Encuentra la distancia del punto (2,4,-1) de la línea

Pregunta 14. Halla las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el punto A (1,8,4) hasta la recta que une los puntos B (0,-1,3) y C (2,-3,-1).

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Pregunta 1. Encuentra la distancia perpendicular del punto (3, -1, 11) desde la línea $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{4}$

Pregunta 2. Encuentra la distancia perpendicular del punto (1,0,0) desde la línea $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+10}{8}$ . Además, encuentre las coordenadas del pie de la perpendicular y la ecuación de la perpendicular.

Pregunta 5. Halla el pie de la perpendicular desde el punto (2,3,4) hasta la recta $\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$ . Además, encuentre la distancia perpendicular desde el punto dado a la línea.

Pregunta 6. Halla la ecuación de la perpendicular trazada desde el punto P (2,4,-1) hasta la recta $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9}$ . Además, anota las coordenadas del pie de la perpendicular desde P.

Pregunta 7. Halla la longitud de la perpendicular trazada desde el punto (5,4,-1) hasta la recta $\vec{r}=\widehat{i} + \lambda(2\widehat{i} + 9\widehat{j}+5\widehat{k})$

Pregunta 8. Halla el pie de la perpendicular trazada desde el punto $\widehat{i}+6\widehat{j}+3\widehat{k}$ hasta la recta $\vec{r} = (\widehat{j}+2\widehat{k}) + \lambda(\widehat{i}+2\widehat{j}+3\widehat{k})$ . Además, encuentre la longitud de la perpendicular.

Pregunta 9. Encuentra la ecuación del drwan peprendicular desde el punto P (-1,3,2) hasta la recta $\vec{r} = (2\widehat{j}+3\widehat{k})+\lambda(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})$ . Además, encuentre las coordenadas del pie de la perpendicular desde P.

Pregunta 10. Encuentra el pie de la perpendicular desde (0,2,7) en la línea $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{-2}$

Pregunta 11. Encuentra el pie de la perpendicular desde (1,2,-3) a la recta $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{-1}$

Pregunta 13. Encuentra la distancia del punto (2,4,-1) de la línea $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9}$