Evalúa las siguientes integrales:
Pregunta 15. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} \left\{ \sin \left| x \right| + \cos \left| x \right| \right\} dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba05322fbdf08f26714cdba9ca5af432_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Como f(- x) = sen|- x| + porque|- x|
= sen |x| + porque |x|
= f(x)
Entonces, f(x) es una función par.
Por lo tanto, obtenemos
yo =
yo =
yo =
yo = 2 (0 + 1 + 1 – 0)
yo = 4
Pregunta 16. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int\limits_0^4 \left| x - 1 \right| dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76a30c6a26191a35068bd68ad5b123b6_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Sabemos,
Entonces obtenemos,
yo =
yo =
yo =
yo = -1/2 + 1 – 0 + 8 – 4 – 1/2 + 1
yo = 5
Pregunta 17. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int\limits_1^4 \left\{ \left| x - 1 \right| + \left| x - 2 \right| + \left| x - 4 \right| \right\} dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6318edeace00581031a95c46224fb662_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Sabemos,
Entonces obtenemos,
yo =
yo =
yo = 8 – 4 – 1/2 + 1 – (2 – 4 – 1/2 + 2) + 8 – 8 – 2 + 4 – (8 – 16 – 1/2 + 4)
yo = 23/2
Pregunta 18. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{- 5}^0 \left\{ \left| x \right| + \left| x + 2 \right| + \left| x + 5 \right| \right\} dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b497923735267579065fd697bdc9d5d_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Sabemos,
Entonces obtenemos,
yo =
yo =
yo = 25/2 – (2 – 4 – 25/2 + 10) – 2 + 4 + (-25/2 + 25)
yo = 63/2
Pregunta 19. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int\limits_0^4 \left( \left| x \right| + \left| x - 2 \right| + \left| x - 4 \right| \right) dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f0da0cf7842902d247a51522ccf701c_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Sabemos,
Entonces obtenemos,
yo =
yo =
yo = 8 – (2 – 4) + 8 – 8 – 2 + 4 – (8 – 16)
yo = 20
Pregunta 20. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{- 1}^2 \left( \left| x + 1 \right| + \left| x \right| + \left| x - 1 \right| \right)dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55e9945087dd0f9e950c7f705698a1ea_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Sabemos,
Cuando –1 < x < 0,
|x + 1| + |x| + |x – 1| = x + 1 + (- x) + [-(x – 1)]
= 2 – x
Y cuando 0 < x < 1,
|x + 1| + |x| + |x – 1| = x + 1 + x + [-(x – 1)]
= xo + 2
Y cuando 1 ≤ x ≤ 2,
|x + 1| + |x| + |x – 1| = x + 1 + x + x – 1
= 3x
Entonces obtenemos,
yo =
yo =
yo =
yo = – 1/2(4 – 9) + 1/2( 9 – 4) + 3/2(4 – 1)
yo = 5/2 + 5/2 + 9/2
yo = 19/2
Pregunta 21. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{- 2}^2 x e^{\left| x \right|} dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ea7c0fc99e882fb021b79ecf59410ed_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
En ningún lugar,
f(- x) = (- x)e |- x|
= – xe |x|
= – f(x)
Entonces, f(x) es una función impar.
Por lo tanto obtenemos,
yo =
yo = 0
Pregunta 22. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{- \frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{2} \sin x\left| \sin x \right|dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a7135305cda51cd5b7922c7b5d9f234_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
Como la conocemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
I = -1/2(0 + π/4) + 1/4(0 + sen π/2) + 1/2 ( π/2 – 0) – 1/4(sen π – 0)
yo = – π/8 + 1/4 (0 + 1) + π/8 – 1/4 (0 – 0)
yo = π/8 + 1/4
Pregunta 23. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_0^\pi \cos x\left| \cos x \right|dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81732268739265db2245ecef38669d8f_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
En ningún lugar,
f(– x) = cos(– x)|cos(– x)|
= -cos x|-cos x|
= – cos x|cos x|
= – f(x)
Entonces, f(x) es una función impar.
Por lo tanto obtenemos,
yo =
yo = 0
Pregunta 24. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \left( 2\sin\left| x \right| + \cos\left| x \right| \right)dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82d02b571f34399ac570d1be2130d833_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
En ningún lugar,
f(- x) = 2sen|- x| + porque|- x|
= 2sen|x| + porque|x|
= f(x)
Entonces, f(x) es una función impar.
Por lo tanto obtenemos,
yo =
yo =
Como la conocemos,
yo =
yo =
yo =
I = – 4(cos π/2 – cos 0) + 2(sen π/2 – sen 0)
Yo = –4 (0 – 1) + 2 (1 – 0)
yo = 4 + 2
yo = 6
Pregunta 25. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{- \frac{\pi}{2}}^\pi \sin^{- 1} \left( \sin x \right)dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3f0f7a49215fb802cdd5e6fa939e1bf_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
Como π/2 ≤ x ≤ π, obtenemos
=> –π ≤ –x ≤ –π/2
=> 0 ≤ π – x ≤ π/2
Entonces, obtenemos
yo =
yo = 1/2 (π 2/4 – π 2/4 ) – 1/2( 0 – π 2/4 )
yo = 0 + π 2 /8
yo = π 2/8
Pregunta 26. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{- \frac{\pi}{2}}{\sqrt{\cos x \sin^2 x}}dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb3ffa67bb241445d828cd44c66203f7_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
Como la conocemos,
= √cos x|-sen x|
= √cos x|sen x|
= f(x)
Entonces, f(x) es una función impar.
Por lo tanto obtenemos,
yo =
yo =
Como sabemos
,
yo =
yo =
Sea cos x = z 2 . Entonces tenemos
=> – sen x dx = 2z dz
Ahora, el límite inferior es, x = 0
=> z 2 = cos x
=> z 2 = cos 0
=> z 2 = 1
=> z = 1
Además, el límite superior es, x = π/2
=> z 2 = cos x
=> z 2 = cos π/2
=> z 2 = 0
=> z = 0
Entonces, la ecuación se convierte en,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
I = – π/2(log1 – log0) + π/2(log1 – log2) + π(tan -1 0 – tan -1 1)
yo = – π/2[0 – ∞] + π/2(0 – log2) + π(0 – π/4)
yo = -∞ – π/2 log2 – π 2 /4
yo = –∞
Pregunta 27. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_0^2 2x\left[ x \right]dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8bf48ba5168164ed15afab5c016e7656_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
Como la conocemos,
yo =
yo =
yo =
yo = 4 – 1
yo = 3
Pregunta 28. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_0^{2\pi} \cos^{- 1} \left( \cos x \right)dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ecaedec8b5d3e22a5504d3cd1afb9851_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
Como sabemos, π ≤ x ≤ 2π
=> –2π ≤ –x ≤ –π
=> 0 ≤ 2π – x ≤ π
Por lo tanto, obtenemos
yo =
yo =
yo = 1/2( π – 0) – 1/2(0 – π)
yo = π 2 /2 + π 2 /2
yo = π 2
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA