Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.2

Pregunta 1. Forme la ecuación diferencial de la familia de curvas representada por y ² = (x – c) ³

Solución:

y ² = (x – c) ³

Al derivar la ecuación dada con x,

2y(dy/dx) = 3(x – c) ²

(x – c) ² = (2y/3)(dy/dx)

(x – c) = [(2y/3)(dy/dx)] ^1/2 -(1)

Al poner el valor de (x – c) en la ecuación (1), obtenemos

y2 ⁼ [(2y/3)(dy/dx)] ^3/2

Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos

y ⁴ = [(2y/3)(dy/dx)] ³

y ⁴ = (8y ³ /27)(dy/dx) ³

27y ⁴ = 8y ³ (dy/dx) ³

27y = 8(dy/dx) ³

Pregunta 2. Formar la ecuación diferencial correspondiente a y = e ^mx eliminando m.

Solución:

y = e ^mx -(1)

Al derivar la ecuación dada con x,

dy/dx = yo ^mx -(2)

De la ecuación (1), obtenemos

y = e ^mx

logía = mx

m = (logía/x)

Ahora, pon el valor de m en la ecuación (2), obtenemos

x(dy/dx) = ylogía

Pregunta 3. Forme las ecuaciones diferenciales a partir de las siguientes primitivas donde las constantes son arbitrarias.

(i) ^y2 = 4ax

Solución:

y ² = 4ax -(1)

y ² /4x = a

Al derivar la ecuación dada con x,

2y(dy/dx) = 4a -(2)

Ahora, pon el valor de a en la ecuación (2), obtenemos

2y(dy/dx) = 4(y ² /4x)

2y(dy/dx) = y ² /x

2x(dy/dx) = y

(ii) y = cx + 2c ² + c ³

Solución:

y = cx + 2c ² + c ³ -(1)

Al derivar la ecuación dada con x,

dy/dx = c -(2)

Ahora, pon el valor de c en la ecuación (1), obtenemos

y = x(dy/dx) + 2(dy/dx) ² + (dy/dx) ³

(iii) xy = a ²

Solución:

xy = a ² -(1)

Al derivar la ecuación dada con x,

x(dy/dx) + y = 0

(iv) y = ax2 ⁺ bx + c

Solución:

y = ax ² + bx + c -(1)

Al derivar la ecuación dada con x,

dy/dx = 2ax + b -(2)

Nuevamente derivando la ecuación dada con x,

d ² y/dx ² = 2a -(3)

Nuevamente, derivando la ecuación dada con x, obtenemos

d ³ y/dx ³ = 0

Pregunta 4. Encuentra la ecuación diferencial de la familia de curvas y = Ae ^2x + Be ^-2x donde A y B son constantes arbitrarias.

Solución:

y = Ae ^2x + Be ^-2x -(1)

Al derivar la ecuación dada con x,

(dy/dx) = 2Ae ^2x – 2Be ^-2x -(2)

De nuevo, derivando la ecuación dada con x,

d ² y/dx ² = 4Ae ^2x + 4Be ^-2x

d ² y/dx ² = 4(Ae ^2x + Be ^-2x )

d ² y/dx ² = 4y

Pregunta 5. Encuentra la ecuación diferencial de la familia de curvas, x = Aconst + Bsinnt donde A y B son constantes arbitrarias.

Solución:

x = Acosnt + Bsennt -(1)

Al derivar la ecuación dada con x,

dy/dx = -Ansinnt + Bncosnt -(2)

De nuevo, derivando la ecuación dada con x,

d ² y/dx ² = -An ² costo – Bn ² sinto

d ² y/dx ² = -n ² (Acosnt + Bsennt)

re ² y/dx ² + norte ² x = 0

Pregunta 6. Forme la ecuación diferencial correspondiente a y ² = a(b – x ² ) eliminando a y b.

Solución:

y2 ⁼ a(b – ^x2 )

Al derivar la ecuación dada con x,

2y(dy/dx) = a(0 – 2x)

De nuevo, derivando la ecuación dada con x,

$2[y\frac{d^2y}{dx^2}+(\frac{dy}{dx})^2]=-2a$

$[y\frac{d^2y}{dx^2}+(\frac{dy}{dx})^2]=-(\frac{y}{-x}*\frac{dy}{dx})$

X[ $x[y\frac{d^2y}{dx^2}+(\frac{dy}{dx})^2]=y\frac{dy}{dx}$

Pregunta 7. Forme la ecuación diferencial correspondiente a y ² – 2ay + x ² = a ² eliminando a.

Solución:

y ² – 2ay + x ² = a ² -(1)

Al derivar la ecuación dada con x,

2y(dy/dx) – 2a(dy/dx) + 2x = 0

2y(dy/dx) + 2x = 2a(dy/dx)

$a=\frac{y\frac{dy}{dx}+x}{\frac{dy}{dx}}$ -(2)

Consideremos dy/dx = y’

Al poner el valor de ‘a’ en la ecuación (1), obtenemos

$y^2-2[\frac{y\frac{dy}{dx}+x}{\frac{dy}{dx}}]y+x^2=[\frac{y\frac{dy}{dx}+x}{\frac{dy}{dx}}]^2$

$\frac{y'y^2-2y'y^2-2xy+y'x^2}{y'}=\frac{y'^2y^2+x^2+2xyy'}{y'^2}$

Al resolver esta ecuación, obtenemos

(x ² – 2y ² )y’ ² – 4xyy’ – x ² = 0

(x ² – 2y ² )(dy/dx) ² – 4xy(dy/dx) – x ² = 0

Pregunta 8. Forme la ecuación diferencial correspondiente a (x – a) ² + (y – b) ² = r ² eliminando a y b.

Solución:

(x – a) ² + (y – b) ² = r ² -(1)

Al derivar la ecuación dada con x,

2(x – a) + 2(y – b)(dy/dx) = 0

(x – a) + (y – b)(dy/dx) = 0 -(2)

De nuevo, derivando la ecuación dada con x,

1 + (y – b)(d ² y/dx ² ) + (dy/dx)(dy/dx) = 0

$(y-b)=-[\frac{(\frac{dy}{dx})^2+1}{\frac{d^2y}{dx^2}}]$ -(3)

Al poner el valor de (y – b) en la ecuación (2),

$(x-a)-[\frac{(\frac{dy}{dx})^2+1}{\frac{d^2y}{dx^2}}]\frac{dy}{dx}=0$

(x – a)(d ² y/dx ² ) – (dy/dx) ³ – (dy/dx) = 0

$(x-a)=\frac{(\frac{dy}{dx})^3+(\frac{dy}{dx})}{(\frac{d^2y}{dx^2})}$ -(4)

Al poner el valor de (x – a) y (y – b) en la ecuación (1)

$[\frac{(\frac{dy}{dx})^3+(\frac{dy}{dx})}{(\frac{d^2y}{dx^2})}]^2+ [\frac{(\frac{dy}{dx})^2+1}{\frac{d^2y}{dx^2}}]^2=r^2$

Ponga (dy/dx) = y’ y d ² y/dx ² = y”

y’ ² (1 + y’ ² ) ² + (1 + y’ ² ) ² = r ² y” ²

Pregunta 9. Encuentra la ecuación diferencial de todos los círculos que pasan por el origen y cuyos centros se encuentran en el eje.

Solución:

La ecuación del círculo es (x – a) ² + (y – b) ² = r ²

Aquí, a y b son el centro del círculo.

(x – a) ² + (y – b) ² = r ² -(1)

Cuando el centro se encuentra en el eje y, entonces a = 0

x ² + (y – b) ² = r ² -(2)

Entonces, cuando el círculo pasa por el origen, entonces la ecuación es

0 ² + ^{segundo 2} = r ² -(3)

x ² + (y – b) ² = r ²

Al elevar al cuadrado ambos lados, tenemos

x ² + y ² – 2 años + r ² = r ² -(Puesto que r ² = b ² )

2 años = x ² + y ²

r = (x2 + ^{y2 )(}^2y )

Al diferenciar la ecuación (1) con x, obtenemos

$0=\frac{2y(2x+2y\frac{dy}{dx})-(x^2+y^2)2\frac{dy}{dx}}{(2y)^2}$

0 = 4xy + 4y ² (dy/dx) – 2x ² (dy/dx) – 2y ² (dy/dx)

0 = y ² (dy/dx) – x ² (dy/dx) + 2xy

(x ² – y ² )(dy/dx) = 2xy

Pregunta 10. Encuentra la ecuación diferencial de todos los círculos que pasan por el origen y cuyos centros se encuentran en el eje x.

Solución:

La ecuación del círculo es (x – a) ² + (y – b) ² = r ²

Aquí, a y b son el centro del círculo.

Cuando el centro se encuentra en el eje x, entonces b = 0

(x – a) ² + y ² = r ² -(1)

Cuando el círculo pasa por el origen, entonces la ecuación es

un ² + 0 ² = r ² -(2)

(x – a) ² + y ² = r ²

Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos,

x ² – 2ax + a ² + y ² = r ²

x ² + y ² – 2xr + r ² = r ² -(Puesto que r ² = a ² )

2xr = ^x2 + ^y2

r = (x ² + y ² )(2x) -(3)

Al diferenciar la ecuación con x, obtenemos

$0=\frac{2x(2x+2y\frac{dy}{dx})-(x^2+y^2)2}{(2x)^2}$

0 = 2x ² + 2xy(dy/dx) – x ² – y ²

(x2 – ^{y2 )}⁺ 2xy(dy/dx) = 0

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.2 | Serie 1

Pregunta 1. Forme la ecuación diferencial de la familia de curvas representada por y ² = (x – c) ³

Pregunta 2. Formar la ecuación diferencial correspondiente a y = e ^mx eliminando m.

Pregunta 3. Forme las ecuaciones diferenciales a partir de las siguientes primitivas donde las constantes son arbitrarias.

(i) ^y2 = 4ax

(ii) y = cx + 2c ² + c ³

(iii) xy = a ²

(iv) y = ax2 ⁺ bx + c

Pregunta 4. Encuentra la ecuación diferencial de la familia de curvas y = Ae ^2x + Be ^-2x donde A y B son constantes arbitrarias.

Pregunta 5. Encuentra la ecuación diferencial de la familia de curvas, x = Aconst + Bsinnt donde A y B son constantes arbitrarias.

Pregunta 6. Forme la ecuación diferencial correspondiente a y ² = a(b – x ² ) eliminando a y b.

Pregunta 7. Forme la ecuación diferencial correspondiente a y ² – 2ay + x ² = a ² eliminando a.

Pregunta 8. Forme la ecuación diferencial correspondiente a (x – a) ² + (y – b) ² = r ² eliminando a y b.

Pregunta 9. Encuentra la ecuación diferencial de todos los círculos que pasan por el origen y cuyos centros se encuentran en el eje.

Pregunta 10. Encuentra la ecuación diferencial de todos los círculos que pasan por el origen y cuyos centros se encuentran en el eje x.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1. Forme la ecuación diferencial de la familia de curvas representada por y 2 = (x – c) 3

Pregunta 2. Formar la ecuación diferencial correspondiente a y = e mx eliminando m.

Pregunta 3. Forme las ecuaciones diferenciales a partir de las siguientes primitivas donde las constantes son arbitrarias.

(i) y2 = 4ax

(ii) y = cx + 2c 2 + c 3

(iii) xy = a 2

(iv) y = ax2 + bx + c

Pregunta 4. Encuentra la ecuación diferencial de la familia de curvas y = Ae 2x + Be -2x donde A y B son constantes arbitrarias.

Pregunta 5. Encuentra la ecuación diferencial de la familia de curvas, x = Aconst + Bsinnt donde A y B son constantes arbitrarias.

Pregunta 6. Forme la ecuación diferencial correspondiente a y 2 = a(b – x 2 ) eliminando a y b.

Pregunta 7. Forme la ecuación diferencial correspondiente a y 2 – 2ay + x 2 = a 2 eliminando a.

Pregunta 8. Forme la ecuación diferencial correspondiente a (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 eliminando a y b.

Pregunta 9. Encuentra la ecuación diferencial de todos los círculos que pasan por el origen y cuyos centros se encuentran en el eje.

Pregunta 10. Encuentra la ecuación diferencial de todos los círculos que pasan por el origen y cuyos centros se encuentran en el eje x.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1. Forme la ecuación diferencial de la familia de curvas representada por y ² = (x – c) ³

Pregunta 2. Formar la ecuación diferencial correspondiente a y = e ^mx eliminando m.

(i) ^y2 = 4ax

(ii) y = cx + 2c ² + c ³

(iii) xy = a ²

(iv) y = ax2 ⁺ bx + c

Pregunta 4. Encuentra la ecuación diferencial de la familia de curvas y = Ae ^2x + Be ^-2x donde A y B son constantes arbitrarias.

Pregunta 6. Forme la ecuación diferencial correspondiente a y ² = a(b – x ² ) eliminando a y b.

Pregunta 7. Forme la ecuación diferencial correspondiente a y ² – 2ay + x ² = a ² eliminando a.

Pregunta 8. Forme la ecuación diferencial correspondiente a (x – a) ² + (y – b) ² = r ² eliminando a y b.