Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.9

Pregunta 14. 3x ² dy = (3xy + y ² )dx

Solución:

Tenemos,

3x ² dy = (3xy + y ² )dx

(dy/dx) = (3xy + y ² )/3x ²

es una ecuacion homogenea

Entonces pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (3xvx + v ² x ² )/3x ²

v + x(dv/dx) = (3v + v2 ⁾ /3

x(dv/dx) = [(3v + v ² )/3] – v

x(dv/dx) = (3v + v2 ^– 3v)/3

3(dv/v ² ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

3∫(dv/v ² ) = ∫(dx/x)

-(3/v) = log|x| +c

-3x/y = log(x) + c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 15. (dy/dx) = x/(2y + x)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = x/(2y + x)

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = x/(2vx + x)

v + x(dv/dx) = 1/(2v + 1)

x(dv/dx) = [1/(2v + 1)] – v

x(dv/dx) = (1 – 2v ² – v)/(2v + 1)

(2v + 1)dv/(2v ² + v – 1) = -(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫(2v + 1)dv/(2v ² + v – 1) = -∫(dx/x)

$∫\frac{2v+1}{2v(v+1)-1(v+1)}dx=-∫\frac{dx}{x}$

$∫\frac{2v+1}{(v+1)(2v-1)}dx=-∫\frac{dx}{x}$

Resolviendo por fracción parcial,

$\frac{2v+1}{(v+1)(2v-1)}=\frac{A}{(2v-1)}+\frac{B}{(v+1)}$

A(v + 1) + B(2v – 1) = (2v + 1) (yo)

Poniendo v = -1 y resuelve la ecuación anterior,

A(0) + B(-3) = (-1)

B = (1/3)

Poniendo v = -(1/2) y resuelve la ecuación (i),

A(3/2) + B(0) = 2

A = (4/3)

$\frac{4}{3}∫\frac{dv}{(2v-1)}+\frac{1}{3}∫\frac{dv}{(v+1)}=-log|x|+log|c|$

(3/2)log|2v – 1| + (1/3)log|v + 1| = -log|x| + log|c|

registro|(2v – 1) ² (v + 1)| = -log|x| ³ + registro|c|

|(2v – 1) ² (v + 1)| = (c/x ³ )

(2y/x – 1) ² (y/x + 1) = (c/x ³ )

$\frac{(2y-x)^2(x+y)}{x^2x}=\frac{c}{x^3}$

(2y – x) ² (x + y) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 16. (x + 2y)dx – (2x – y)dy = 0

Solución:

Tenemos,

(x + 2y)dx – (2x – y)dy = 0

(dy/dx) = (x + 2y)/(2x – y)

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x + 2vx)/(2x – vx)

v + x(dv/dx) = (1 + 2v)/(2 – v)

x(dv/dx) = [(1 + 2v)/(2 – v)] – v

x(dv/dx) = (1 + 2v – 2v + v ² )/(2 – v)

(2 – v)dv/(1 + v2 ⁾ = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫(2 – v)dv/(1 + v ² ) = ∫(dx/x)

2∫dv/(1 + v ² ) – ∫vdv/(1 + v ² ) = log|x| + log|c|

2tan ^-1 v – (1/2)∫2vdv/(1 + v ² ) = log|x| + log|c|

2tan ^-1 v – log|1 + v ² | ^1/2 = registro|cx|

2tan ^-1 v = log|cx√(1 + v ² )|

$e^{2tan^{-1}(\frac{y}{x})}=\frac{(y^2+x^2)^{\frac{1}{2}}}{x}xc$

$e^{2tan^{-1}(\frac{y}{x})}={(y^2+x^2)^{\frac{1}{2}}}c$ (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 17. $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}$

Solución:

Tenemos,

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}$

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (vx/x) – √(v ² x ² /x ² – 1)

v + x(dv/dx) = v – √(v ² – 1)

x(dv/dx) = -√(v ² – 1)

dv/√(v ² – 1) = -(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv/√(v ² – 1) = -∫(dx/x)

log|v + √(v ² – 1)| = -log|x| + log|c|

|v + √(v ² – 1)| = (c/x)

$\frac{y}{x}-[\sqrt{(\frac{y}{x})^2-1}]x=c$

y + √(y ² – x ² ) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 18. (dy/dx) = (y/x){log(y) – log(x) + 1}

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = (y/x){log(y) – log(x) + 1}

(dy/dx) = (y/x){log(y/x) + 1}

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v{log(v) + 1}

v + x(dv/dx) = vlog(v) + v

x(dv/dx) = vlog(v)

dv/vlogv = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv/vlogv = ∫(dx/x)

Sea, logv = z

dv/v = dz

∫(dz/z) = ∫(dx/x)

registro|z| = registro|x| + log|c|

z = xc

registro|v| = xc

log|y/x| = xc (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 19. (dy/dx) = (y/x) + sin(y/x)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = (y/x) + sin(y/x)

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v + sin(v)

x(dv/dx) = sen(v)

dv/sen(v) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv/sen(v) = ∫(dx/x)

∫coseg(v)dv = ∫(dx/x)

registro|bronceado(v/2)| = registro (x) + registro (c)

registro|bronceado(y/2x)| = registro|xc|

tan(y/2x) = |xc| (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 20. y ² dx + (x ² – xy + y ² )dy = 0

Solución:

Tenemos,

y ² dx + (x ² – xy + y ² )dy = 0

(dy/dx) = -(y ² )/(x ² – xy + y ² )

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = -(v ² x ² )/(x ² – xvx + v ² x ² )

v + x(dv/dx) = -(v ² )/(1 – v + v ² )

y(dv/dx) = [-(v ² )/(1 – v + v ² )] – v

$x\frac{dv}{dx}=\frac{-v^2-v+v^2-v^3}{1-v+v^2}$

$\frac{1-v+v^2}{-(v+v^3)}dv=\frac{dx}{x}$

$\frac{1-v+v^2}{-v(1+v^2)}dv=\frac{dx}{x}$

$(\frac{1}{1+v^2}-\frac{1}{v})dv=\frac{dx}{x}$

Al integrar ambos lados,

∫dv/(1 + v ² ) – ∫dv/v = ∫(dx/x)

tan ^-1 (v) – log(v) = log(x) + log(c)

bronceado ^-1 (y/x) – log|y/x| = registro(xc)

tan ^-1 (y/x) = log|(y/x)xc|

tan ^-1 (y/x) = log|yc|

$e^{tan^{-1}(\frac{y}{x})}=cy$ (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 21. [x√(x ² + y ² ) – y ² ]dx + xydy = 0

Solución:

Tenemos,

[x√(x ² + y ² ) – y ² ]dx + xydy = 0

dy/dx = -[x√(x ² + y ² ) – y ² ]/xy

dy/dx = [y ² – x√(x ² + y ² )]/xy

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = [v ² x ² – x√(x ² + v ² x ² )]/xvx

v + x(dv/dx) = [v ² – √(1 + v ² )]/v

x(dv/dx) = [v ² – √(1 + v ² )]/v – v

$x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2-\sqrt{1+v^2}-v^2}{v}$

x(dv/dx) = -(√(1 + v ² )/v

vdv/√(1 + v2 ⁾ = -(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫vdv/√(1 + v ² ) = -∫(dx/x)

(1/2)∫2vdv/√(1 + v ² ) = -∫(dx/x)

Sea, 1 + v ² = z

2vdv = dz

(1/2)∫dz/√z = -∫(dx/x)

√z = -log|x| + log|c|

√(1 + v ² ) = log|c/x|

√(x ² + y ² )/x = log|c/x|

√(x ² + y ² ) = xlog|c/x| (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 22. x(dy/dx) = y – xcos ² (y/x)

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) = y – xcos ² (y/x)

(dy/dx) = y/x – cos ² (y/x)

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v – cos ² (v)

x(dv/dx) = -cos ² (v)

dv/cos ² (v) = -(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv/cos ² (v) = -∫(dx/x)

∫seg ² vdv = -∫(dx/x)

tan(v) = -log|x| + log|c|

tan(y/x) = log|c/x| (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 23. (y/x)cos(y/x)dx – {(x/y)sen(y/x) + cos(y/x)}dy = 0

Solución:

Tenemos,

(y/x) cos(y/x)dx – {(x/y)sen(y/x) + cos(y/x)}dy = 0

$\frac{\frac{y}{x}cos\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}sin\frac{y}{x}+cos\frac{y}{x}}$

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{vcos(v)}{\frac{1}{v}sin(v)+cos(v)}$

$x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2cos(v)}{sin(v)+vcos(v)}-v$

x(dv/dx) = (v ² cosv – vsinv – v ² cosv)/(senv + vcosv)

x(dv/dx) = -vsenv/(senv + vcosv)

Al integrar ambos lados,

∫[(senv + vcosv)/vsenv]dv = -∫(dx/x)

∫(dv/v) + ∫(cotv)dv = -∫(dx/x)

registro|v| + log|sinv| = -log|x| + log|c|

log|vsinv| = registro|c/x|

(y/x)sen(y/x) = (c/x)

ysen(y/x) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 24. xylog(x/y)dx + {y ² – x ² log(x/y)}dy = 0

Solución:

Tenemos,

xlog(x/y)dx + {y ² – x ² log(x/y)}dy = 0

$\frac{dx}{dy}=\frac{x^2log(\frac{x}{y})-y^2}{xylog(\frac{x}{y})}$

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon x = vy (i)

y,

dx/dy = v + y(dv/dy)

Asi que,

$v+y\frac{dv}{dy}=\frac{v^2y^2log(v)-y^2}{yvylog(v)}$

v + y(dv/dy) = (v ² logv – 1)/(vlogv)

y(dv/dy) = [(v ² logv – 1)/(vlogv)] – v

y(dv/dy) = (v ² logv – 1 – v ² logv)/vlogv

y(dv/dy) = -(1/vogv)

vlogvdv = -(día/año)

Al integrar ambos lados,

∫vlogvdv = -∫(dy/y)

logv∫vdv – ∫{d/dv(logv)∫vdv}dv}dv = -∫(dy/y)

(v ² /2)logv – (1/2)∫(1/v)(v ² /2)dv = -logía + logc

(v ² /2)logv – (1/2)∫vdv = -logía + logc

(v ² /2) logv – (v ² /4) + logía = log|c|

(v ² /2)[logv – 1/2] + logía = log|c|

v ² [logv – (1/2)] + logía= log|c|

(x ² /y ² )[log(x/y) – (1/2)] + logía= log|c| (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 25. (1 + e ^x/y )dx + e ^x/y (1 – x/y)dy = 0

Solución:

Tenemos,

(1 + e ^x/y )dx + e ^x/y (1 – x/y)dy = 0

$\frac{dx}{dy}=-\frac{e^\frac{x}{y}(1-\frac{x}{y})}{1+e^\frac{x}{y}}$

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon x = vy (i)

y,

dx/dy = v + y(dv/dy)

Asi que,

$v+y\frac{dv}{dy}=-\frac{e^v(1-v)}{1+e^v}$

y(dv/dy) = -[e ^v (1 – v)/(1 + e ^v )] – v

y(dv/dy) = (-e ^v + ve ^v – v – ve ^v )/(1 + e ^v )

y(dv/dy) = -(v + ve ^v )/(1 + e ^v )

[(1 + e ^v )/(v + e ^v )]dv = -(dy/y)

Al integrar ambos lados,

∫[(1 + e ^v )/(v + e ^v )]dv = -∫(dy/y)

log|(v + e ^v )| = -log(y) + log(c)

log|(v + e ^v )| = registro|c/y|

(x/y) + e ^x/y = c/y

x + ye ^x/y = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 26. (x ² + y ² )dy/dx = (8x ² – 3xy + 2y ² )

Solución:

Tenemos,

(x ² + y ² )dy/dx = (8x ² – 3xy + 2y ² )

(dy/dx) = (8x ² – 3xy + 2y ² )/(x ² + y ² )

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

X,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (8x ² – 3xvx + 2v ² x ² )/(x ² + v ² x ² )

v + x(dv/dx) = (8 – 3v + 2v ² )/(1 + v ² )

x(dv/dx) = [(8 – 3v + 2v ² )/(1 + v ² )] – v

x(dv/dx) = (8 – 4v + 2v ² – v ³ )/(1 + v ² )

(1 + v ² )dv/(8 – 4v + 2v ² – v ³ ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

$∫\frac{1+v^2}{4(2-v)+v^2(2-v)}dv=∫\frac{dx}{x}$

$∫\frac{1+v^2}{(2-v)(4+v^2)}dv=∫\frac{dx}{x}$

Usando fracciones parciales,

$∫\frac{1+v^2}{(2-v)(4+v^2)}=\frac{Av+B}{4+v^2}+\frac{C}{2-v}$

(1 + v ² ) = Av(2 – v) + B(2 – v) + C(4 + v ² )

(1 + v ² ) = 2Av – Av ² + 2B – Bv + 4C+ Cv ²

(1 + v ² ) = (C – A)v ² + (2A – B)v + (2B + 4C)

Comparando el coeficiente de ambos lados,

(C-A) = 1

(2A-B) = 0

(2B + 4C) = 1

Resolviendo las ecuaciones anteriores,

A = -(3/8)

B = -(3/4)

C = (5/8)

$∫\frac{-\frac{3}{8}v-\frac{3}{4}}{4+v^2}dv+∫\frac{\frac{5}{8}}{2-v}dv=∫\frac{dx}{x}$

$-\frac{3}{8}∫\frac{vdv}{v^2+1}-\frac{3}{4}∫\frac{dv}{v^2+1}+\frac{5}{8}∫\frac{dv}{2-v}=logx+logc$

$-\frac{3}{16}log|v^2+1|-\frac{3}{8}tan^{-1}(\frac{v}{2})-\frac{5}{8}log|2-v|=log|xc|$

$e^{-\frac{3}{8}tan^{-1}(\frac{v}{2})}=c|x(2-v)^\frac{5}{8}(v^2+4)^\frac{3}{16}|$

$e^{-\frac{3}{8}tan^{-1}(\frac{y}{2x})}=c|x(2-\frac{y}{x})^\frac{5}{8}(\frac{y^2}{x^2}+4)^\frac{3}{16}|$

$e^{-\frac{3}{8}tan^{-1}(\frac{y}{2x})}=c|x(2x-y)^\frac{5}{8}(y^2+4x^2)^\frac{3}{16}|$ (Donde ‘c’ es constante de integración)

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Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.9 | conjunto 2

Pregunta 14. 3x ² dy = (3xy + y ² )dx

Pregunta 15. (dy/dx) = x/(2y + x)

Pregunta 16. (x + 2y)dx – (2x – y)dy = 0

Pregunta 17. $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}$

Pregunta 18. (dy/dx) = (y/x){log(y) – log(x) + 1}

Pregunta 19. (dy/dx) = (y/x) + sin(y/x)

Pregunta 20. y ² dx + (x ² – xy + y ² )dy = 0

Pregunta 21. [x√(x ² + y ² ) – y ² ]dx + xydy = 0

Pregunta 22. x(dy/dx) = y – xcos ² (y/x)

Pregunta 23. (y/x)cos(y/x)dx – {(x/y)sen(y/x) + cos(y/x)}dy = 0

Pregunta 24. xylog(x/y)dx + {y ² – x ² log(x/y)}dy = 0

Pregunta 25. (1 + e ^x/y )dx + e ^x/y (1 – x/y)dy = 0

Pregunta 26. (x ² + y ² )dy/dx = (8x ² – 3xy + 2y ² )

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Pregunta 14. 3x 2 dy = (3xy + y 2 )dx

Pregunta 15. (dy/dx) = x/(2y + x)

Pregunta 16. (x + 2y)dx – (2x – y)dy = 0

Pregunta 17.

Pregunta 18. (dy/dx) = (y/x){log(y) – log(x) + 1}

Pregunta 19. (dy/dx) = (y/x) + sin(y/x)

Pregunta 20. y 2 dx + (x 2 – xy + y 2 )dy = 0

Pregunta 21. [x√(x 2 + y 2 ) – y 2 ]dx + xydy = 0

Pregunta 22. x(dy/dx) = y – xcos 2 (y/x)

Pregunta 23. (y/x)cos(y/x)dx – {(x/y)sen(y/x) + cos(y/x)}dy = 0

Pregunta 24. xylog(x/y)dx + {y 2 – x 2 log(x/y)}dy = 0

Pregunta 25. (1 + e x/y )dx + e x/y (1 – x/y)dy = 0

Pregunta 26. (x 2 + y 2 )dy/dx = (8x 2 – 3xy + 2y 2 )

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Pregunta 14. 3x ² dy = (3xy + y ² )dx

Pregunta 17. $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}$

Pregunta 20. y ² dx + (x ² – xy + y ² )dy = 0

Pregunta 21. [x√(x ² + y ² ) – y ² ]dx + xydy = 0

Pregunta 22. x(dy/dx) = y – xcos ² (y/x)

Pregunta 24. xylog(x/y)dx + {y ² – x ² log(x/y)}dy = 0

Pregunta 25. (1 + e ^x/y )dx + e ^x/y (1 – x/y)dy = 0

Pregunta 26. (x ² + y ² )dy/dx = (8x ² – 3xy + 2y ² )