Resuelve lo siguiente:
Pregunta 1: dy/dx = (x + y + 1) 2
Solución:
Tenemos,
dy/dx = (x + y + 1) 2
Poniendo x + y + 1 = v
Por lo tanto, dv/dx – 1 = v 2
⇒ dv/dx = v2 + 1
⇒ 1/(v 2 + 1) dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫ 1/(v 2 + 1) dv = ∫ dx
Pregunta 2: dy/dx cos (x – y) = 1
Solución:
Tenemos,
dy/dx cos (x – y) = 1
⇒ dy/dx = 1/cos(x – y)
Poniendo x – y = v
⇒ 1 – dy/dx = dv/dx
⇒ dy/dx = 1 – dv/dx
Por tanto, 1 – dv/dx = 1/cos v
⇒ dv / dx = 1 – 1/cos v
⇒ dv/dx = (cos v – 1)/cos v
⇒ cos v/ (cos v – 1) dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫cos v/(cos v – 1) dv = ∫dx
⇒ -∫(cos v (1 + cosv)) / (1 – cos 2 v) dv =∫ dx
⇒ -∫(cos v (1 + cos v)) / (sen 2 v) dv = ∫ dx
⇒ -∫(cot v cosec v + cot 2 v) dv = ∫ dx
⇒ -∫ (cot v cosec v + cosec 2 v – 1) dv = ∫ dx
⇒ -(-cosec v – cot v – v)= x + C
⇒ cosec ( x – y ) + cuna ( x – y ) + x – y = x + C
⇒ cosec ( x – y ) + cuna ( x – y ) – y = C
⇒ ((1+cos ( x – y )) / sen ( x – y )) – y = C
⇒ cuna (( x – y )/ 2) = y + C
Pregunta 3: dy/dx = ((x – y) + 3)/ (2(x – y) + 5)
Solución:
Tenemos,
dy/dx = ((x – y) + 3)/ (2(x – y) + 5)
Poniendo x – y = v
⇒ 1 – dy/dx = dv/dx
⇒ dy/dx = 1 – dv/dx
Por tanto, 1 – dv/dx = (v + 3)/ (2v + 5)
⇒ dv/dx = 1 – (v + 3)/ (2v + 5)
⇒ dv/dx = (2v + 5 – v – 3)/ 2v + 5
⇒ dv/dx = (v + 2) / (2v + 5)
⇒ (2v + 5)/(v + 2)dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫(2v + 5)/(v + 2) dv = ∫dx
⇒ ∫(2v + 4 + 1)/(v + 2) dv = ∫dx
⇒ ∫((2v + 4)/(v + 2) + 1/(v + 2))dv = ∫dx
⇒ 2∫dv + ∫1/(v + 2)dv = ∫dx
⇒ 2v + registro |v + 2| = x + c
⇒ 2(x – y) + registro | x – y + 2 | = x + c
Pregunta 4: dy/dx = (x + y) 2
Solución:
Tenemos,
dy/dx = (x + y) 2
Sea x + y = v
⇒ 1 + dy/dx = dv/dx
⇒ dy/dx = dv/dx – 1
Por lo tanto, dv/dx – 1 = v 2
⇒ dv/dx = v2 + 1
⇒ 1/(v 2 + 1) dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫1/(v 2 + 1) dv = ∫dx
⇒ bronceado -1 v = x + C
⇒ v = tan (x + C)
⇒ x + y = bronceado (x + C)
Pregunta 5: (x + y) 2 dy/dx = 1
Solución:
Tenemos,
(x + y) 2 dy/dx = 1
⇒ dy/dx = 1/( x + y) 2
Sea x + y = v
⇒ 1 + dy/dx = dv/dx
⇒ dy/dx = dv/dx – 1
Por lo tanto, dv/dx – 1 = 1/v 2
⇒ dv/dx = 1/v 2 + 1
⇒ v 2 /(v 2 + 1) dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫v 2 /(v 2 + 1) dv = ∫dx
⇒ ∫v 2 + 1 – 1/(v 2 + 1) dv = ∫dx
⇒ ∫(1- 1/(v 2 + 1) dv = ∫dx
⇒ v – bronceado -1 v = x + C
⇒ x + y – bronceado -1 (x + y) = x + C
⇒ y – bronceado -1 (x + y) = C
Pregunta 6: cos 2 (x – 2y) = 1 – 2dy/dx
Solución:
Tenemos,
cos 2 ( x – 2y ) = 1 – 2dy/dx
⇒ 2dy/dx = 1 – cos 2 (x – 2y)
Sea x – 2y = v
⇒ 1 – 2 dy/dx = dv/dx
⇒ 2 dy/dx = 1 – dv/dx
Por tanto, 1 – dv/dx = 1 – cos 2 v
⇒ dv/dx = cos 2 v
⇒ seg 2 v dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫ seg 2 v dv = ∫dx
⇒ bronceado v = x – C
⇒ tan (x – 2y) = x – C
⇒ x = bronceado (x – 2y) + C
Pregunta 7: dy/dx = seg(x + y)
Solución:
Tenemos,
dy/dx = seg(x + y)
⇒ dy/dx = 1/cos (x + y)
Sea x + y = v
⇒ 1 + dy/dx = dv/dx
⇒ dy/dx = dv/dx -1
Por lo tanto, dv/dx – 1 = 1/cos v
⇒ dv/dx = (cos v + 1)/ cos v
⇒ cos v/(cos v + 1) dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫ cos v/(cos v + 1) dv = ∫ dx
⇒ ∫ cos v (1 – cos v)/(1 – cos 2 v ) dv = ∫ dx
⇒ ∫ cos v (1 – cos v)/sen 2 v dv = ∫ dx
⇒ ∫ (cos v – cos^2 v)/sen 2 v dv = ∫ dx
⇒ ∫(cot v cosec v – cot 2 v) dv = ∫ dx
⇒ ∫(cot v cosec v – cosec 2 v + 1) dv = ∫ dx
⇒ – cosec v + cot v + v = x + C
⇒ – cosec (x + y) + cuna (x + y) + x + y = x + C
⇒ – cosec (x + y) + cuna (x + y) + y = C
⇒ ((-1 + coseno (x + y)) / sen (x + y)) + y = C
⇒ – tan ((x + y)/2) + y = C
⇒ y = tan((x + y)/2) + C
Pregunta 8: dy/dx = tan (x + y)
Solución:
Tenemos,
dy/dx = tan (x + y)
dy/dx = sen (x + y)/cos (x + y)
Sea x + y =v
Por lo tanto, 1 + dy/dx = dv/dx
⇒ dy/dx = dv/dx – 1
Ya que, dv/dx -1 = sen v/cos v
⇒ dy/dx = sen v/cos v + 1
⇒ dy/dx = (sen v + cos v)/ cos v
⇒ cos v/(sen v + cos v) dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
⇒ ∫ cos v/(sen v + cos v) dv =∫ dx
⇒ 1/2 ∫ {(sen v + cos v) + (cos v – sen v)}/(sen v + cos v) dv = ∫dx
⇒ 1/2 ∫ dv + 1/2 ∫ (cos v – sen v) / (sen v + cos v) dv = ∫ dx
⇒ 1/2 v + 1/2 ∫ (cos v – sen v)/(sen v + cos v) dv = x
Poniendo sen v + cos v = t
⇒ (cos v – sen v) dv = dt
Por tanto, 1/2 v + 1/2 ∫ dt/t = x
⇒ 1/2 v + 1/2 log |t| = x + c
⇒ (x + y) + 1/2 log |sen (x + y) + coseno (x + y)| = x + c
⇒ 1/2 (y – x) + 1/2 log |sen (x + y) + coseno (x + y)| = C
⇒ (y – x) + log |sen (x + y) + coseno (x + y)| = 2C
⇒ y – x + log |sen (x + y) + coseno (x + y)| = K (donde K = 2C)
Pregunta 9: (x + y) (dx – dy) = dx + dy
Solución:
Tenemos,
(x + y) (dx – dy) = dx + dy
⇒ x dx + y dx -x dy – y dy = dx + dy
⇒ (x + y -1)dx = (x + y +1) dy
⇒ dy/dx = (x + y -1)/(x + y + 1)
Sea x + y = v
Por lo tanto, 1 + dy/dx = dv/dx
⇒ dy/dx = dv/dx – 1
Por lo tanto, dv/dx -1 = (v – 1)/(v +1)
⇒ dv/dx = (v – 1)/(v +1) + 1
⇒ dv/dx = (v – 1 + v +1)/(v +1)
⇒ dv/dx = 2v / (v +1)
⇒ (v +1) / 2v dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫(v + 1)/2v dv = ∫ dx
⇒ 1/2 ∫dv + 1/2 ∫1/v dv = ∫dx
⇒ 1/2 v + 1/2 log |v| = x + c
⇒ 1/2 (x + y) + 1/2 log |x + y| = x + c
⇒ 1/2 (y – x) + 1/2 log |x + y| = C
Pregunta 10: (x + y + 1)dy/dx = 1
Solución:
Tenemos,
(x + y + 1)dy/dx =1
⇒ dy/dx = 1/(x + y + 1)
Sea x + y + 1 = v
Por lo tanto, 1 + dy/dx = dv/dx
⇒ dy/dx = dv/dx – 1
Por lo tanto, dv/dx – 1= 1/v
⇒ dv/dx = 1/v + 1
⇒ v/(v + 1) dv = dx
Integrando ambos lados, obtenemos
∫ v/(v + 1) dv = ∫ dx
⇒ ∫ (v + 1 – 1)/(v + 1) dv = ∫ dx
⇒ ∫ (1 – 1/(v + 1))dv = ∫ dx
⇒ v – registro |v + 1| = x + k
⇒ x + y + 1 – registro |x + y+ 1 + 1| = x + k
⇒ y – registro |x + y + 2| = K – 1
⇒ y – registro |x + y + 2| = C 1 ( C 1 = K – 1)
⇒ y – C 1 = registro |x + y + 2|
⇒ e y – C 1 = x + y + 2
⇒ e y / e C 1 = x + y + 2
⇒ e – C 1 e y = x + y + 2
⇒ C mi y = x + y + 2 (C = e – C 1 )
⇒ x = C e y – y – 2
Pregunta 11: dy/dx + 1 = e x + y
Solución:
Tenemos,
dy/dx + 1 = e x + y . . . (1)
Sea x + y = t
⇒ 1 + dy/dx = dt/dx
Sustituyendo el valor de x + y = t y 1 + dy/dx = dt/dx de (1), obtenemos
dt/dx = e t
⇒ e – t dt = dx
⇒ – mi – t = x + C
⇒ – e – (x + y) = x + C [Ya que t = x + y]
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por apoorv__maheshwari y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA