Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones Diferenciales – Ejercicio 22.4

Pregunta 1. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: x(dy/dx) = 1, y(1) = 0

Función: y = logx

Solución:

Tenemos,

y = logaritmo x -(1)

Al diferenciar eq(1) wrt x,

dy/dx = (1/x)

x(dy/dx) = 1

Por lo tanto, y = logx satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 1, y = log(1) = 0 

Entonces, y(1) = 0

Pregunta 2. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: (dy/dx) = y, y(0) = 0

Función: y = e ^x 

Solución:

Tenemos,

 y = e ^x          -(1)

Al diferenciar eq(1) wrt x

dy/dx = e ^x 

(dy/dx) = y

Por lo tanto, y = e ^x satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 0, y = e ⁰ = 1 

Entonces, y(0) = 1

Pregunta 3. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: (d ² y/dx ² ) + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

Función: y = senx 

Solución:

Tenemos,

y = sen x -(1)

Al diferenciar eq(1) wrt x,

(dy/dx) = cosx -(2)

De nuevo, diferenciando eq(2) wrt x,

d ² y/dx ² = -senx

d ² y/dx ² + senx = 0

Por lo tanto, y = senx satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 0, y(0) = sin(0) = 0 

y'(0) = cos(0) = 1

Pregunta 4. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: d ² y/dx ² – (dy/dx) = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1

Función: y = e ^x + 1

Solución:

Tenemos,

y = e ^x + 1 -(1)

Al diferenciar eq(1) wrt x,

(dy/dx) = e ^x           -(2)

Nuevamente diferenciando eq(2) wrt x,

re ² y/dx ² = e ^x         

d ² y/dx ² – e ^x = 0        

d ² y/dx ² – (dy/dx) = 0

Por lo tanto, y = e ^x + 1 satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 0, y(0) = e ⁰ + 1, y(0) = 1 + 1 = 2

y'(0) = e ⁰ = 1

Pregunta 5. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: (dy/dx) + y = 2

Función: y = e ^-x + 2

Solución:

Tenemos,

 y = e ^-x + 2 -(1)

Al derivar eq(i) wrt x,

(dy/dx) = -e ^-x

(dy/dx) + e ^-x = 0

(dy/dx) + (y – 2) = 0

(dy/dx) + y = 2

Por lo tanto, y = e ^-x + 2 satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 0, y(0) = e ^-0 + 2 = 1 + 2 = 3

Pregunta 6. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: (d ² y/dx ² ) + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1

Función: y = senx + cosx

Solución:

Tenemos,

 y = senx + cosx -(1)

Al derivar eq(i) wrt x,

dy/dx = cosx – senx -(2)

Nuevamente diferenciando eq(ii) wrt x,

d ² y/dx ² = -senx – cosx

d ² y/dx ² = -(senx + cosx)

(d ² y/dx ² ) + y = 0 

Por lo tanto, y = senx + cosx satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 0, y(0) = sen0 + cos0 = 1

y'(0) = cos0 – sen0 = 1

Pregunta 7. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: (d ² y/dx ² ) – y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0

Función: y = e ^x + e ^-x 

Solución:

Tenemos,

 y = e ^x + e ^-x           -(1)

Al derivar eq(i) wrt x,

dy/dx = e ^x – e ^-x           -(2)

Nuevamente diferenciando eq(2) wrt x,

re ² y/dx ² = e ^x + e ^-x

re ² y/dx ² = y

d ² y/dx ² – y = 0

Por lo tanto, y = e ^x + e ^-x satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 0, y(0) = e ⁰ + e ^-0 = 1 + 1 = 2

y'(0) = e ⁰ – e ^-0 = 0

Pregunta 8. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: (d ² y/dx ² ) – 3(dy/dx) + 2y = 0, y(0) = 2, y'( 0) = 3

Función: y = e ^x + e ^2x

Solución:

Tenemos,

y = e ^x + e ^2x           -(1)

Al diferenciar eq(1) wrt x,

dy/dx = e ^x + 2e ^2x           -(2)

Nuevamente diferenciando la ecuación (2) con x,

re ² y/dx ² = e ^x + 4e ^2x

re ² y/dx ² = 3( ^ex + 2e ^2x ) – 2(ex ⁺ e ^2x )

(d ² y/dx ² ) = 3(dy/dx) – 2y

(d ² y/dx ² ) – 3(dy/dx) + 2y = 0

Por lo tanto, y = e ^x + e ^2x satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 0, y(0) = e ⁰ + e ⁰ = 1 + 1 = 2

y'(0) = mi ⁰ + 2e ⁰ = 1 + 2 = 3

Pregunta 9. Para cada uno de los siguientes problemas con valores iniciales, verifique que la función que los acompaña sea una solución: (d ² y/dx ² ) – 2(dy/dx) + y = 0, y(0) = 1, y'( 0) = 2

Función: y = xe ^x + e ^x 

Solución:

Tenemos,

y = xe ^x + e ^x            -(1)

Al diferenciar eq(1) wrt x,

dy/dx = xe ^x + e ^x + e ^x  

dy/dx = xe ^x + 2e ^x           -(2)

Nuevamente diferenciando eq(2) wrt x,

re ² y/dx ² = xe ^x + e ^x + 2e ^x             

re ² y/dx ² = xe ^x + e ^x + 2e ^x + xe ^x + e ^x – xe ^x – e ^x    

d ² y/dx ² = 2(xe ^x + e ^x ) – (xe ^x + e ^x )

(d ² y/dx ² ) = 2(dy/dx) – y

(d ² y/dx ² ) – 2(dy/dx) + y = 0

Por lo tanto, y = xe ^x + e ^x satisfacen la ecuación diferencial dada.

Si x = 0, y(0) = 0e ⁰ + e ⁰ = 1

y'(0) = 0e ⁰ + 2e ⁰ = 2