Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 3 Operaciones binarias – Ejercicio 3.4

Pregunta 1. Sea * una operación binaria sobre Z definida por a * b = a + b – 4 para todo a, b ∈ Z.

(i) Demuestre que * es tanto conmutativo como asociativo.

(ii) Encuentre el elemento de identidad en Z

(iii) Encuentre el elemento invertible en Z. 

Solución:

(i) Primero probaremos la conmutatividad de * 
Sea a, b ∈ Z. 
a * b = a + b – 4 
= b + a – 4 
= b * a 

⇒ a * b = b * a, ∀ a, b ∈ Z 
Entonces podemos decir que * es conmutativo en Z. 

Ahora probaremos la asociatividad de Z. 
Sean a, b, c ∈ Z. 
a * (b * c) = a * (b + c – 4) 
= a + b + c -4 – 4 
= a + b + c – 8 
⇒ (a * b) * c = (a + b – 4) * c 
= a + b – 4 + c – 4 
= a + b + c – 8 

⇒ a * (b * c) = (a * b) * c, para todo a, b, c ∈ Z 
Entonces podemos decir que * es asociativo en Z.

(ii) Tenemos que encontrar el elemento identidad en Z. 
Sea x el elemento identidad en Z con respecto a * tal que 
a * x = a = x * a ∀ a ∈ Z 
a * x = a y x * a = a , ∀ a ∈ Z 
a + x – 4 = a y x + a – 4 = a, ∀ a ∈ Z 
x = 4, ∀ a ∈ Z 
Entonces podemos decir que 4 es el elemento identidad en Z con respecto a * .

(iii) Tenemos que encontrar el elemento invertible en Z. 
Sean a ∈ Z y b ∈ Z la inversa de a. Entonces, 
a * b = x = b * a 
a * b = x y b * a = x 
a + b – 4 = 4 y b + a – 4 = 4 
b = 8 – a ∈ Z 
Entonces podemos decir que, 8 – a es el inverso de a ∈ Z

Pregunta 2. Sea * una operación binaria sobre Q ₀ (conjunto de números racionales distintos de cero) definida por a * b= (3ab/5) para todo a, b ∈ Q ₀ . Demuestre que * es tanto conmutativo como asociativo. Además, encuentre su elemento de identidad, si existe.

Solución:

En primer lugar probaremos la conmutatividad de * 
Sea a, b ∈ Q ₀ 
a * b = (3ab/5) 
= (3ba/5) 
= b * a 
⇒ a * b = b * a, para todo a, b ∈ Q _{0 .} 

Ahora probaremos la asociatividad de * 
Sea a, b, c ∈ Q ₀ 
a * (b * c) = a * (3bc/5) 
= [a (3 bc/5)] /5 
= 3 abc/25 
(a * b) * c = (3 ab/5) * c 
= [(3 ab/5) c]/ 5 
= 3 abc /25 
⇒ a * (b * c) = (a * b) * c, para todos a, b, c ∈ Q0 
Entonces podemos decir que * es asociativo en Q ₀ . 

Ahora vamos a encontrar el elemento de identidad. 
Sea x el elemento identidad en Z con respecto a * tal que 
a * x = a = x * a ∀ a ∈ Q ₀ 
a * x = a y x * a = a, ∀ a ∈ Q ₀ 
3ax/5 = a y 3xa/5 = a, ∀ a ∈ Q ₀ 
x = 5/3 ∀ a ∈ Q ₀ [a ≠ 0] 
Entonces podemos decir que 5/3 es el elemento identidad en Q ₀ con respecto a *.

Pregunta 3. Sea * una operación binaria sobre Q – {-1} definida por a * b = a + b + ab para todo a, b ∈ Q – {-1}. Después,

(i) Demuestre que * es tanto conmutativo como asociativo en Q – {-1}

(ii) Encuentre el elemento de identidad en Q – {-1}

(iii) Demuestre que todo elemento de Q – {-1} es invertible. Además, encuentre el inverso de un elemento arbitrario.

Solución:

(i) Primero comprobaremos la conmutatividad de * 
Supongamos que a, b ∈ Q – {-1} 
a * b = a + b + ab 
= b + a + ba 
= b * a 
⇒ 
a * b = b * un, ∀ un, segundo ∈ Q – {-1} 

Ahora probaremos la asociatividad de * 
Supongamos que a, b, c ∈ Q – {-1}, Entonces, 
a * (b * c) = a * (b + c + bc) 
= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) 
= a + b + c + bc + ab + ac + abc 
= (a * b) * c = (a + b + ab) * c 
= a + b + ab + c + (a + b + ab) c 
= a + b + ab + c + ac + bc + abc 
⇒ a * (b * c) = (a * b) * c, ∀ a, b, c ∈ Q – {-1} 
Entonces podemos decir que, * es asociativo en Q – {-1} 

(ii) Supongamos que x es el elemento identidad en I+ con respecto a * tal que 
a * x = a = x * a, ∀ a ∈ Q – {-1} 
a * x = a y x * a = a , ∀ a ∈ Q – {-1} 
a + x + ax = a y x + a + xa = a, ∀ a ∈ Q – {-1} 
x + ax = 0 y x + xa = 0, ∀ a ∈ Q – {-1} 
x (1 + a) = 0 y x (1 + a) = 0, ∀ a ∈ Q – {-1} 
x = 0, ∀ a ∈ Q – {-1} [a ≠ – 1] 
por lo que podemos decir que , 0 es el elemento de identidad en Q – {-1} con respecto a *. 

(iii) Supongamos que a ∈ Q – {-1} y b ∈ Q – {-1} sean la inversa de a. Entonces, 
a * b = e = b * a 
a * b = e y b * a = e 
a + b + ab = 0 y b + a + ba = 0 
b (1 + a) = – a Q – {- 1} 
b = -a/1 + a Q – {-1} [a ≠ -1] 
Entonces podemos decir que, -a/1 + a es el inverso de a ∈ Q – {-1}.

Pregunta 4. Sea A = R ₀ × R, donde R ₀ denota el conjunto de todos los números reales distintos de cero. Una operación binaria ‘O’ se define en A como sigue: (a, b) O (c, d) = (ac, bc + d) para todo (a, b), (c, d) ∈ R ₀ × R .

(i) Demuestre que ‘O’ es conmutativo y asociativo en A

(ii) Encuentre el elemento de identidad en A

(iii) Encuentre el elemento invertible en A

Solución:

(i) Supongamos que X = (a, b) y Y = (c, d) ∈ A, ∀ a, c ∈ R ₀ y b, d ∈ R 
XOY = (ac, bc + d) 
YOX = ( ca, da + b) 
⇒ XOY = YOX, ∀ X, Y ∈ A 
⇒ O conmutativa en A. 

Ahora tenemos que comprobar la asociatividad de O 
Sea X = (a, b), Y = (c, d) y Z = (e, f), ∀ a, c, e ∈ R0 y b, d, f ∈ R 
⇒ XO (YOZ) = (a, b) O (ce, de + f) 
= (as, bce + de + f) 
⇒ (XOY) OZ = (ac, bc + d) O (e, f) 
= (as , (bc + d) e + f) 
= (as, bce + de + f) 
⇒ XO (YOZ) = (XOY) OZ, ∀ X, Y, Z ∈ A 

(ii) Supongamos que E = (x, y) sea el elemento identidad en A con respecto a O, ∀ x ∈ R ₀ y y ∈ R 
XOE = X = EOX, ∀ X ∈ A 
XOE = X y EOX = X 
⇒(ax, bx +y) = (a, b) y (xa, ya + b) = (a, b) 
Sabemos que , (ax, bx + y) = (a, b) 
ax = a 
x = 1 
bx + y = b 
y = 0 [x = 1] 
sabemos que, (xa, ya + b) = (a, b) 
xa = a 
x = 1 
ya + b = b 
y = 0 [ya que x = 1] 
Entonces podemos decir que (1, 0) es el elemento de identidad en A con respecto a O. 

(iii) Supongamos que F = (m, n) sea la inversa en A ∀ m ∈ R ₀ y n ∈ R 
XOF = E y FOX = E 
(am, bm + n) = (1, 0) y ( ma, na + b) = (1, 0) 
Como sabemos que (am, bm + n) = (1, 0) 
am = 1 
m = 1/a 
bm + n = 0 
n = -b/a [m = 1/a] 
Sabemos que (ma, na + b) = (1, 0) 
ma = 1 
m = 1/a 
na + b = 0 
n = -b/a 
Entonces podemos decir que, el inverso de ( a, b) ∈ A con respecto a O es (1/a, -1/a).

Pregunta 5. Sea ‘*’ una operación binaria sobre el conjunto de Q ₀ de todos los números racionales distintos de cero definidos por a * b = ab/2 para todo a, b ∈ Q ₀

(i) demuestre que ‘*’ es tanto conmutativo como asociativo.

(ii) Encuentre el elemento de identidad en Q ₀ .

(iii) Encuentre el elemento invertible de Q ₀ .

Solución:

(i) Tenemos que demostrar que ‘*’ es conmutativo. 
Sean a, b ∈ Q ₀ . 
aob = ab/2 = ba/2 
⇒ boa 
⇒ aob = boa, ∀ un, segundo ∈ Q ₀ . 
Entonces, o es conmutativo en Q _0. 

Ahora, mostraremos que ‘*’ es asociativo. 
Sean a, b, c ∈ Q ₀ 
a o (b 0 c) = ao (bc/2) 
= (a(bc/2))/2 
= abc /4 
⇒ (aob) oc = (ab/2) oc 
= abc/4 
⇒ ao (boc) = (aob) oc ∀ a, b, c ∈ Q _0. 
Entonces, podemos decir que o es asociativa en Q _0. 

(ii) Sea x el elemento identificador en Q ₀ con respecto a * tal que 
aox = axoa ,∀ a ∈ Q ₀ 
⇒ ax /2 = a y xa /2 = a, ∀ a ∈ Q ₀ 
x = 2 ∈ Q _0, ∀ a ∈Q ₀ 
Entonces, podemos decir que 2 es el elemento de identidad en Q ₀ con respecto a o. 

(iii) Supongamos que a ∈ Q ₀ yb ∈ Q ₀ son la inversa de a. 
⇒ aob = e = boa = e 
⇒ ab/2 = 2 y ba/2 = 2 
⇒ b = 4/a ∈ Q ₀ 
Entonces, podemos decir que 4/a es el inverso de a∈ Q ₀ .

Pregunta 6. En R -{1}, una operación binaria * está definida por a*b = a+b-ab . Demostrar que * es conmutativo y asociativo. Encuentre el elemento de identidad para * en R-{1}. Además , demuestre que todo elemento de R-{1} es invertible.

Solución:

En primer lugar vamos a encontrar conmutativa. 
Supongamos que a, b ∈ R -{1} 
a * b = a + b – ab 
= b + a -ba 
= b*a 
⇒ a * b = b + a ,∀ a , b ∈ R – {1 } 
Entonces, podemos decir que * es conmutativo en R-{1} 

Ahora, encontraremos Asociativo. 
Supongamos que a , b , c ∈ R – {1} 
a * (b * c ) = a * (b + c – bc) 
=a + b + c – bc -a(b + c – bc) 
=a + b + c – bc – ab – ac + abc 
(a * b) * c = (a + b – ab ) * c 
= a + b – ab + c – (a + b – ab)c 
= a + b + c – ab – ac – bc + abc 
⇒ a * (b * c) = (a * c )* c , ∀ a , b , c ∈ R – {1} 
Entonces podemos decir que , * es asociativo en R -{1} 

Ahora encontraremos el elemento de identidad. 
Supongamos que x es el elemento identidad en R-{1} con respecto a * 
a * x = a = x * a , ∀ a ∈ R-{1} 
a * x = a y x * a = a, ∀ a ∈ R-{1} 
⇒ a + x – ax = a y x + a – xa = a , ∀ a ∈ R-{1} 
x(1 – a) = 0 , ∀ a ∈ R-{1} 
⇒ x = 0 [ a ≠ 1 ⇒ 1 – a ≠ 0 ] 
Entonces podemos decir que , x = 0 será el elemento identidad con respecto a * . 

Ahora encontremos el elemento inverso. 
Supongamos que b ∈ R-{1} sea el elemento inverso de a ∈ R-{1} 
a * b = b * a = x 
⇒ a + b -ab = 0 [e=0] 
⇒b(1 – a ) = -a 
⇒ b = -a /(1 – a) ≠ 1 [ si -a/(1-a) = 1 ⇒ -a = 1 – a ⇒ 1≠ 0] 
Entonces podemos decir que , b = – a/(1 – a) es la inversa de a ∈ R-{1} con respecto a *.

Pregunta 7. Sea R ₀ el conjunto de todos los números reales distintos de cero y sea A = R ₀ x R ₀ . Si ‘*’ es una operación binaria sobre A definida por ( a, b) * (c ,d) = (ac , bd) para todo (a , b)(c , d) ∈ A.

(i) Demuestre que ‘*’ es tanto conmutativo como asociativo en A.

(ii) Encuentre el elemento de identidad en A.

(iii) Encuentre el elemento invertible en A.

Solución:

En la pregunta hemos dado (a, b) * (c ,d) = (ac , bd) para todo (a,b)(c,d) ∈ A. 
(i) Supongamos que , (a,b )(c,d) ∈ A. Entonces, 
(a, b) * (c ,d) = (ac , bd) 
=(ca , bd) [ ac = ca and bd = db ] 
=(c , d)* (a , b) 
⇒ (a, b) * (c,d) = (ac,bd) 
Entonces podemos decir que , ‘*’ es conmutativo en A. 

⇒ Ahora encontraremos la asociatividad en A. 
Supongamos que , (a,b),(c,d),(e,f) ∈ A. 
⇒ ((a,b)*(c,d))*( e,f) = (ac , bd)*(e,f) 
=(ace , bdf) –(i) 
Ahora (a,b)*((c,d)*(e,f)) =(a, b)*(ce,df) 
=(as , bdf) –(ii) 
De la ecuación (i) y (ii). 
((a,b)*(c,d))*(e,f) = (a,b)*((c,d)*(e,f)) 
Entonces podemos decir que ‘*’ es asociativo en un. 

(ii) Busquemos el elemento identidad en A. 
Supongamos que (x,y) ∈ A sea el elemento identidad con respecto a *. 
(a,b) * (x,y) = (x,y)*(a,b) = (a,b) para todo (a,b) ∈ A. 
⇒ (ax , by) = (a,b) ) 
⇒ ax = a & by = b 
⇒ x = 1 & y = 1 
Entonces podemos decir que (1,1) será elemento identidad. 

(iii) Ahora encontraremos el elemento invertible en A. 
Supongamos que (c,d) ∈ A sea el inverso de (a,b) ∈ A 
(a,b)*(c,d) = (c,d) *(a,b) = x 
(ac , bd) = (1,1) [e = (1,1) ] 
ac = 1 & bd = 1 
c = 1/a & d = 1/b 
Entonces podemos decir que (1/a ,1/b) será la inversa de (a,b) con respecto a *.

Pregunta 8. Sea * la operación binaria sobre N definida por a*b = HCF de a y b. 

¿* es conmutativo? ¿* es asociativo? ¿Existe identidad para esta operación binaria en N?

Solución:

La operación binaria * sobre N se puede definir como: 
a*b = HCF de a y b 
Y también sabemos que , HCF(a,b) = HCF(b,a) . a,b ∈ N. 
Entonces podemos decir que , a * b = b * a 
Entonces , la operación * es conmutativa. 

Para a,b,c ∈ N. Entonces tenemos. 
(a * b) * c = (HCF(a,b))*c = HCF(a,b,c) 
a * (b * c) = a * (HCF(a,b)) = HCF(a, b,c) 
Entonces se puede decir que (a * b) * c = a * (b * c) 
Entonces podemos decir que la operación * es asociativa. 

Ahora, un elemento e ∈ N será la identidad de la operación. 
* si a * e = a = e * a ,∀ a ∈ N. 
Pero podemos decir que , esta relación no es cierta para cualquier a ∈ N. 
Entonces podemos decir que , la operación * no tiene ninguna identidad en N .