Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.27

Pregunta 1. ∫e ^ax cosbx dx

Solución:

Tenemos,

yo = ∫e ^hacha cosbx dx 

Usando la integración por partes, obtenemos,

I = e ^hacha (senbx)/b − a∫e ^hacha (senbx)/b dx

I = e ^hacha (senbx)/b − (a/b)[−e ^hacha (cosbx)/b + a∫e ^hacha (cosbx)/b dx]

yo = e ^hacha (senbx)/b + (a/b ² ) e ^hacha (cosbx) − (a ² /b ² )∫e ^hacha (cosbx) dx

I = (e ^ax /b ² ) [b senbx + a cos bx] + (a ² /b ² ) I + c

(a ² +b ² )I/b ² = (e ^ax /b ² ) [b senbx + a cos bx] + c

Por tanto, I = e ^ax [b senbx + a cos bx]/(a ² +b ² ) + c

Pregunta 2. ∫e ^ax sen(bx+c)dx

Solución:

Tenemos,

I = ∫e ^ax sen(bx+c)dx

Usando la integración por partes, obtenemos,

I = − e ^ax cos(bx+c)/b + ∫ae ^ax cos(bx+c)/b dx

I = (−1/b) e ^ax cos(bx+c) + (a/b) ∫e ^ax cos(bx+c) dx

I = (−1/b) e ^ax cos(bx+c) + (a/b) [e ^ax sin(bx+c)/b − ∫ae ^ax sin(bx+c)/b dx] 

I = (−1/b) e ^ax cos(bx+c) + (a/b ² ) e ^ax sin(bx+c) − (a ² /b ² )∫e ^ax sin(bx+c) dx

yo = (e ^hacha /b ² ) [a sen(bx+c) − b cos(bx+c)] − (a ² /b ² ) yo + c

(a ² +b ² ) I/b ² = (e ^hacha /b ² ) [a sin(bx+c) − b cos(bx+c)] + c

Por lo tanto, I = (e ^ax )[a sin(bx+c)−b cos(bx+c)]/(a ² +b ² ) + c

Pregunta 3. ∫cos(logx) dx

Solución:

Tenemos,

yo = ∫cos(logx) dx

Sea log x = t, entonces obtenemos, (1/x)dx = dt

=> dx = xdt

=> dx = e ^t dt

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = ∫e ^t costo dt

Usando la integración por partes, obtenemos,

yo = mi ^t sint − ∫e ^t sint dt

yo = e ^t sint − [−e ^t costo + ∫e ^t costo dt]

yo = e ^t sint + e ^t costo − yo + c

2I = e ^t (sint+coste) + c

I = e ^t (sint+coste)/2 + c

Por tanto, yo = x[cos(logx) + sin(logx)]/2 + c

Pregunta 4. ∫e ^2x cos(3x+4)dx 

Solución:

Tenemos,

yo = ∫e ^2x cos(3x+4)dx 

Usando la integración por partes, obtenemos,

yo = e ^2x sen(3x+4)/3 − ∫2e ^2x sen(3x+4)/3 dx

yo = (1/3) e ^2x sen(3x+4) − (2/3) ∫e ^2x sen(3x+4) dx

I = (1/3) e ^2x sin(3x+4) − (2/3) [−e ^2x cos(3x+4)/3 + ∫2e ^2x cos(3x+4)/3 dx]  

I = (1/3) e ^2x sen(3x+4) + (2/9) e ^2x cos(3x+4) − (4/9)∫2e ^2x cos(3x+4) dx]

yo = (e ^2x /9) [2 cos(3x+4)−3 sen(3x+4)] − (4/9)yo + c

(13/9)I = (e ^2x /9) [2 cos(3x+4)−3 sen(3x+4)] + c

Por tanto, I = e ^2x [2 cos(3x+4)−3 sin(3x+4)]/13 + c

Pregunta 5. ∫e ^2x senx cosx dx

Solución:

Tenemos,

yo = ∫e ^2x senx cosx dx

yo = (1/2)∫e ^2x (2senx cosx) dx

yo = (1/2)∫e ^2x sen2x dx

Usando la integración por partes, obtenemos,

yo = (1/2)[−e ^2x (cos2x)/2 + ∫2e ^2x (cos2x)/2 dx]

2I = −e ^2x (cos2x)/2 + ∫e ^2x (cos2x)dx

2I = −e ^2x (cos2x)/2 + [e ^2x (sen2x)/2 − ∫2e ^2x (sen2x)/2 dx]

2I = −e ^2x (cos2x)/2 + e ^2x (sen2x)/2 − 2I + c

4I = e ^2x (sen2x−cos2x)/2 + c

Por lo tanto, I = e ^2x (sen2x−cos2x)/8 + c

Pregunta 6. ∫e ^2x senx dx

Solución:

Tenemos,

yo = ∫e ^2x senx dx

Usando la integración por partes, obtenemos,

yo = e ^2x (−cosx) + ∫2e ^2x cosx dx

yo = −e ^2x cosx + 2[e ^2x senx − 2∫e ^2x senx dx]

yo = −e ^2x cosx + 2e ^2x senx − 4∫e ^2x senx dx

yo = e ^2x (2senx−cosx) − 4I + c

5I = e ^2x (2senx−cosx) + c

Por lo tanto, I = e ^2x (2senx−cosx)/5 + c 

Pregunta 7. ∫e ^2x sen(3x+1) dx

Solución:

Tenemos,

yo = ∫e ^2x sin(3x+1) dx

Usando la integración por partes, obtenemos,

yo = −e ^2x cos(3x+1)/3 + ∫2e ^2x cos(3x+1)/3 dx

I = −(1/3) e ^2x cos(3x+1) + (2/3) [e ^2x sin(3x+1)/3 − ∫2e ^2x sin(3x+1)/3 dx]  

I = −(1/3) e ^2x cos(3x+1) + (2/3) [e ^2x sin(3x+1)/3 − (2/3)∫e ^2x sin(3x+1)dx]  

yo = −(1/3) e ^2x cos(3x+1) + (2/9) e ^2x sen(3x+1) − (4/9)yo + c

(13/9)I = e ^2x [2sen(3x+1)−3cos(3x+1)]/9 + c

Por lo tanto, I = e ^2x [2sin(3x+1)−3cos(3x+1)]/13 + c

Pregunta 8. ∫e ^x sen ² x dx

Solución:

Tenemos,

yo = ∫e ^x sen ² x dx

yo = (1/2)∫e ^x (1−cos2x)dx

yo = (1/2)∫e ^x dx − (1/2)∫e ^x cos2x dx

Sea I ₁ = ∫e ^x cos2x dx. Entonces, nuestra ecuación se convierte en,

yo = (1/2)∫e ^X dx − (1/2) yo ₁   . . . . (1)

Usando integración por partes en I ₁ , obtenemos,

yo ₁ = e ^x (sen2x)/2 − ∫e ^x (sen2x)/2 dx

I ₁ = e ^x (sen2x)/2 − (1/2)[−e ^x (cos2x)/2 + ∫e ^x (cos2x)/2 dx

yo ₁ = e ^x (sen2x)/2 + e ^x (cos2x)/4 − (1/4)∫e ^x cos2x dx

yo ₁ = e ^x [2sen2x+cos2x)]/4 − (1/4) yo ₁

(5/4)I ₁ = e ^x [2sen2x+cos2x)]/4

I ₁ = e ^x [2sen2x+cos2x)]/5 . . . . (2)

Poniendo (2) en (1), obtenemos,

yo = (1/2)∫e ^x − (1/2) (1/5) e ^x [2sin2x+cos2x)] + c

Por lo tanto, I = e ^x /2 − e ^x [2sen2x+cos2x)]/10 + c

Pregunta 9. ∫(1/x ³ ) sin(logx) dx

Solución:

Tenemos,

yo = ∫(1/x ³ ) sen(logx) dx

Sea logx = t, entonces tenemos, (1/x)dx = dt

=> dx = xdt

=> dx = e ^t dt

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = ∫(1/e ^3t ) (sint) e ^t dt 

yo = ∫e −2t ^sint dt

Usando la integración por partes, obtenemos,

I = −e ^−2t costo − ∫2e −2t ^costo dt

I = −e ^−2t coste − 2[e ^−2t sint + ∫2e −2t ^sint ]

I = −e ^−2t coste − 2e ^−2t sint − 4∫e ^−2t sint

I = −e ^−2t [coste+2sint] − 4I + c

5I = −e ^−2t [coste+2sint] + c

I = −e ^−2t [coste+2sint]/5 + c

yo = −e ^−2logx [cos(logx)+2sin(logx)]/5 + c

I = −x ^-2 [coste+2sint]/5 + c

Por lo tanto, I = −[coste+2sint]/5x ² + c

Pregunta 10. ∫e ^2x cos ² x dx 

Solución:

Tenemos,

yo = ∫e ^2x cos ² x dx 

yo = (1/2) ∫e ^2x (1+cos2x) dx

yo = (1/2) ∫e ^2x dx + (1/2) ∫e ^2x cos2x dx

Sea I1 = ∫e ^2x cos2x dx. Entonces, nuestra ecuación se convierte en,

yo = (1/2)∫e ^2x dx + (1/2) yo ₁   . . . . (1)

Usando integración por partes en I ₁ , obtenemos,

yo ₁ = e ^2x (sen2x)/2 − ∫2e ^2x (sen2x)/2 dx

yo ₁ = e ^2x (sen2x)/2 − ∫e ^2x sen2x dx

I ₁ = e ^2x (sen2x)/2 − [−e ^2x (cos2x)/2 + ∫2e ^2x (cos2x)/2 dx] 

yo ₁ = e ^2x (sen2x)/2 + e ^2x (cos2x)/2 − ∫e ^2x (cos2x) dx

 yo ₁ = e ^2x (sen2x+cos2x)/2 − yo ₁

2I ₁ = e ^2x (sen2x+cos2x)/2 

yo ₁ = e ^2x (sen2x+cos2x)/4 . . . . (2)

Poniendo (2) en (1), obtenemos,

yo = (1/2)∫e ^2x dx + (1/2) (1/4) [e ^2x (sen2x+cos2x)]

Por tanto, yo = (1/4) e ^2x + (1/8) [e ^2x (sen2x+cos2x)] + c

Pregunta 11. ∫e ^−2x senx dx

Solución:

Tenemos,

yo = ∫e ^−2x senx dx

Integrando por partes, obtenemos,

yo = −e ^−2x cosx − ∫2e ^−2x cosx dx

yo = −e ^−2x cosx − 2[e ^−2x senx+∫2e ^−2x senx dx]

yo = −e ^−2x cosx − 2e ^−2x senx − 4∫e ^−2x senx dx

yo = −e ^−2x (cosx+2senx) − 4I + c

5I = −e ^−2x (cosx+2senx) + c 

Por lo tanto, yo = −e ^−2x (cosx+2senx)/5 + c

Pregunta 12. 

Solución:

Tenemos,

yo = 

Sea x ³ = t, entonces tenemos, 3x ² dx = dt

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = (1/3) ∫e ^t costo dt

Integrando por partes, obtenemos,

yo = (1/3) [e ^t sint − ∫e ^t sint dt]

I = (1/3) [e ^t sint − (−e ^t costo + ∫e ^t costo dt)]

I = (1/3) e ^t sint + (1/3) e ^t costo − (1/3) ∫e ^t costo dt

I = e ^t [sint+cost]/3 − I + c

2I = e ^t [sint+coste]/3 + c  

I = e ^t [sint+cost]/6 + c

Por lo tanto, yo =