Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 6 Factorización de polinomios – Ejercicio 6.4

En cada uno de los siguientes, use el teorema del factor para encontrar si el polinomio g(x) es un factor del polinomio f(x) o no (Pregunta 1-7):

Pregunta 1. f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, g(x) = x – 3

Solución:

Dado: f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, g(x) = x – 3

Aquí,

x-3 = 0

x = 3

Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(3) = 0

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(3) = 3 ³ – 6 × 3 ² + 11 × 3 – 6

= 27 – (6 × 9) + 33 – 6

= 27 – 54 + 33 – 6

= 60 – 60

= 0

Como el resultado es 0,

Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).

Pregunta 2. f(x) = 3x ⁴ + 17x ³ + 9x ² – 7x – 10, g(x) = x + 5

Solución:

Dado: f(x) = 3x ⁴ + 17x ³ + 9x ² – 7x – 10, g(x) = x + 5

Aquí,

x + 5 = 0

x = -5

Para demostrar : g(x) es un factor de f(x), es decir, f(-5) = 0

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(-5) = 3(-5) ⁴ + 17(-5) ³ + 9(-5) ² – 7(-5) – 10

= 3 × 625 + 17 × (-125) + 9 × 25 + 35 – 10

= 1875 – 2125 + 225 + 35 – 10

= 2135 – 2135

= 0

Como el resultado es 0,

Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).

Pregunta 3. f(x) = x ⁵ + 3x ⁴ – x ³ – 3x ² + 5x + 15, g(x) = x + 3

Solución:

Dado: f(x) = x ⁵ + 3x ⁴ – x ³ – 3x ² + 5x + 15, g(x) = x + 3

Aquí,

x + 3 = 0

X = -3

Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(-3) = 0

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(-3) = (-3) ⁵ + 3(-3) ⁴ – (-3) ³ – 3(-3) ² + 5(-3) + 15

= -243 + 243 + 27 – 27 – 15 + 15

= 0

Como el resultado es 0,

Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).

Pregunta 4. f(x) = x ³ – 6x ² – 19x + 84, g(x) = x – 7

Solución:

Dado: f(x) = x ³ – 6x ² – 19x + 84, g(x) = x – 7

Aquí,

x-7 = 0

x = 7

Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(7) = 0

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(7) = 7 ³ – 6 × 7 ² – 19 × 7 + 84

= 343 – (6 × 49) – (19 × 7) + 84

= 343 – 294 – 133 + 84

= 427 – 427

= 0

Como el resultado es 0,

Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).

Pregunta 5. f(x) = 3x ³ + x ² – 20x + 12, g(x) = 3x – 2

Solución:

Dado: f(x) = 3x ³ + x ² – 20x + 12, g(x) = 3x – 2

Aquí,

3x – 2 = 0

X = 2/3

Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(2/3) = 0

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

$f(\frac23)=3(\frac23)^3+(\frac23)^2-20(\frac23)+12$

$= 3(\frac8{27})+\frac49-\frac{40}3+12$

$=\frac89+\frac49-\frac{40}3+12$

$= \frac{12}9-\frac{40}3+12$

Tomando MCM

= $\frac{12-120+108}{9}$

$=\frac{120-120}{9}$

= 0

Como el resultado es 0,

Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).

Pregunta 6. f(x) = 2x ³ – 9x ² + x + 13, g(x) = 3 – 2x

Solución:

Dado: f(x) = 2x ³ – 9x ² + x + 13, g(x) = 3 – 2x

Aquí,

3 – 2x = 0

X = 3/2

Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(3/2) = 0

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

$f(\frac32)=2(\frac32)^3-9(\frac32)^2+(\frac32)+13$

$=2(\frac{27}8)-9(\frac94)+\frac34+13$

$=\frac{27}4-\frac{81}4 +\frac{3}{2}+12$

$=\frac{21-81+6+48}{4}$

$= \frac{81-81}4$

= 0

Como el resultado es 0,

Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).

Pregunta 7. f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, g(x) = x ² – 3x + 2

Solución:

Dado: f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, g(x) = x ² – 3x + 2

Aquí,

x ² – 3x + 2 = 0

Al factorizar lo anterior, obtenemos

⇒ x2 – 3x + ² = 0

⇒ x2 – 2x – x + 2 = ⁰

⇒ x(x – 2) – 1(x – 2)

⇒ (x – 1)(x – 2) son los factores

Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir, f(1) y f(2) deben ser 0

Sea x = 1

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(1) = 1 ³ – 6 × 1 ² + 11 × 1 – 6

= 1 – 6 + 11 – 6

= 12 – 12

= 0

Sea x = 2

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(x) = 2 ³ – 6 × 2 ² + 11 × 2 – 6

= 8 – (6 × 4) + 22 – 6

= 8 – 24 +22 – 6

= 30 – 30

= 0

Como los resultados son 0 g(x) es el factor de f(x)

Pregunta 8. Demuestra que (x – 2), (x + 3) y (x – 4) son los factores de x ³ – 3x ² – 10x + 24

Solución:

Dado:

f(x) = x ³ – 3x ² – 10x + 24

Los factores dados son (x – 2), (x + 3) y (x – 4)

Para demostrar: g(x) es un factor de f(x), es decir, f(2), f(-3), f(4) debe ser 0

Aquí, x – 2 = 0

Sea, x = 2

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(2) = 2 ³ – 3 × 2 ² – 10 × 2 + 24

= 8 – (3 × 4) – 20 + 24

= 8 – 12 – 20 + 24

= 32 – 32

= 0

Aquí, x + 3 = 0

Sea, x = -3

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(-3) = (-3) ³ – 3 × (-3) ² – 10 × (-3) + 24

= -27 -3(9) + 30 + 24

= -27- 27 + 30 + 24

= 54 – 54

= 0

Aquí, x – 4 = 0

Sea, x = 4

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(4) = (4) ³ – 3 × (4) ² – 10 × (4) + 24

= 64 – 3(16) – 40 + 24

= 64 – 48 – 40 + 24

= 84 – 84

= 0

Como los resultados son 0, g(x) es el factor de f(x)

Pregunta 9. Demuestra que (x + 4), (x – 3) y (x – 7) son los factores de x ³ – 6x ² – 19x + 84

Solución:

Dado:

f(x) = x ³ – 6x ² – 19x + 84

Los factores dados son (x + 4), (x – 3) y (x – 7)

Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir, f(4), f(3), f(-7) debe ser 0

Aquí, x + 4 = 0

Sea, x = -4

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(-4) = (-4) ³ – 6(-4) ² – 19(-4) + 84

= -64 – (6 × 16) – 19 × (-4) + 84

= -64 – 96 + 76 + 84

= 160 – 160

= 0

Aquí, x – 3 = 0

Sea, x = 3

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(3) = (3) ³ – 6(3) ² – 19(3) + 84

= 27 – 6(9) – 19 × 3 + 84

= 27 – 54 – 57 + 84

= 111 – 111

= 0

Aquí, x – 7 = 0

Sea, x = 7

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(7) = (7) ³ – 6(7) ² – 19(7) + 84

= 343 – 6(49) – 19 × 7 + 84

= 343 – 294 – 133 + 84

= 427 – 427

= 0

Como los resultados son 0, g(x) es el factor de f(x)

Pregunta 10. Para qué valor de a es (x – 5) un factor de x ³ – 3x ² + ax – 10

Solución:

Aquí, f(x) = x ³ – 3x ² + ax – 10

Por el teorema del factor

Si (x – 5) es el factor de f(x), entonces, f(5) = 0

⇒ x – 5 = 0

⇒ x = 5

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(5) = 5 ³ – 3 × 5 ² + a × 5 – 10

= 125 – (3 × 25) + 5a -10

= 125 – 75 + 5a – 10

= 5a + 40

Igualar f(5) a cero

f(5) = 0

⇒ 5a + 40 = 0

⇒ 5a = -40

⇒ a = -40/5

⇒ a = -8

Cuando a = -8, entonces (x – 5) será factor de f(x)

Pregunta 11. Encuentra el valor de tal que (x – 4) es un factor de 5x ³ – 7x ² – ax – 28

Solución:

Dado: f(x) = 5x ³ – 7x ² – ax – 28

Usando el teorema del factor

(x – 4) es el factor de f(x), entonces f(4) = 0

⇒ x – 4 = 0

⇒ x = 4

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(4) = 5(4) ³ – 7(4) ² – a × 4 – 28

= 5(64) – 7(16) – 4a – 28

= 320 – 112 – 4a – 28

= 180 – 4a

Igualar f(4) a cero, para encontrar un

f(4) = 0

⇒ 180 – 4a = 0

⇒ a = 180/4

⇒ un = 45

Cuando a = 45, entonces (x – 4) será factor de f(x)

Pregunta 12. Encuentra el valor de a, si (x + 2) es un factor de 4x ⁴ + 2x ³ – 3x ² + 8x + 5a

Solución:

Dado: f(x) = 4x ⁴ + 2x ³ – 3x ² + 8x + 5a

Usando el teorema del factor

Si (x + 2) es el factor de f(x), entonces f(-2) debe ser cero

⇒x + 2 =0

⇒ x = -2

Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos

f(-2) = 4(-2) ⁴ + 2(-2) ³ – 3(-2) ² + 8(-2) + 5a

= 4(16) + 2 (-8) – 3(4) – 16 + 5a

= 64 – 16 – 12 -16 + 5a

= 5a + 20

Igualar f(-2) a 0

f(-2) = 4(-2) ² + 2(-2) ³ – 3(-2) ² + 8(-2) + 5a

= 4(16) + 2(-8) – 3(4) – 16 + 5a

= 64 – 16 – 12 – 16 + 5a

= 5a + 20

Igualar f(-2) a 0

f(-2) = 0

⇒ 5a + 20 = 0

⇒ 5a = – 20

⇒ un = -4

Cuando a = -4, entonces (x + 2) es el factor de f(x)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ranshu1601 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 6 Factorización de polinomios – Ejercicio 6.4 | Serie 1

En cada uno de los siguientes, use el teorema del factor para encontrar si el polinomio g(x) es un factor del polinomio f(x) o no (Pregunta 1-7):

Pregunta 1. f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, g(x) = x – 3

Pregunta 2. f(x) = 3x ⁴ + 17x ³ + 9x ² – 7x – 10, g(x) = x + 5

Pregunta 3. f(x) = x ⁵ + 3x ⁴ – x ³ – 3x ² + 5x + 15, g(x) = x + 3

Pregunta 4. f(x) = x ³ – 6x ² – 19x + 84, g(x) = x – 7

Pregunta 5. f(x) = 3x ³ + x ² – 20x + 12, g(x) = 3x – 2

Pregunta 6. f(x) = 2x ³ – 9x ² + x + 13, g(x) = 3 – 2x

Pregunta 7. f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, g(x) = x ² – 3x + 2

Pregunta 8. Demuestra que (x – 2), (x + 3) y (x – 4) son los factores de x ³ – 3x ² – 10x + 24

Pregunta 9. Demuestra que (x + 4), (x – 3) y (x – 7) son los factores de x ³ – 6x ² – 19x + 84

Pregunta 10. Para qué valor de a es (x – 5) un factor de x ³ – 3x ² + ax – 10

Pregunta 11. Encuentra el valor de tal que (x – 4) es un factor de 5x ³ – 7x ² – ax – 28

Pregunta 12. Encuentra el valor de a, si (x + 2) es un factor de 4x ⁴ + 2x ³ – 3x ² + 8x + 5a

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

En cada uno de los siguientes, use el teorema del factor para encontrar si el polinomio g(x) es un factor del polinomio f(x) o no (Pregunta 1-7):

Pregunta 1. f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6, g(x) = x – 3

Pregunta 2. f(x) = 3x 4 + 17x 3 + 9x 2 – 7x – 10, g(x) = x + 5

Pregunta 3. f(x) = x 5 + 3x 4 – x 3 – 3x 2 + 5x + 15, g(x) = x + 3

Pregunta 4. f(x) = x 3 – 6x 2 – 19x + 84, g(x) = x – 7

Pregunta 5. f(x) = 3x 3 + x 2 – 20x + 12, g(x) = 3x – 2

Pregunta 6. f(x) = 2x 3 – 9x 2 + x + 13, g(x) = 3 – 2x

Pregunta 7. f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6, g(x) = x 2 – 3x + 2

Pregunta 8. Demuestra que (x – 2), (x + 3) y (x – 4) son los factores de x 3 – 3x 2 – 10x + 24

Pregunta 9. Demuestra que (x + 4), (x – 3) y (x – 7) son los factores de x 3 – 6x 2 – 19x + 84

Pregunta 10. Para qué valor de a es (x – 5) un factor de x 3 – 3x 2 + ax – 10

Pregunta 11. Encuentra el valor de tal que (x – 4) es un factor de 5x 3 – 7x 2 – ax – 28

Pregunta 12. Encuentra el valor de a, si (x + 2) es un factor de 4x 4 + 2x 3 – 3x 2 + 8x + 5a

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1. f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, g(x) = x – 3

Pregunta 2. f(x) = 3x ⁴ + 17x ³ + 9x ² – 7x – 10, g(x) = x + 5

Pregunta 3. f(x) = x ⁵ + 3x ⁴ – x ³ – 3x ² + 5x + 15, g(x) = x + 3

Pregunta 4. f(x) = x ³ – 6x ² – 19x + 84, g(x) = x – 7

Pregunta 5. f(x) = 3x ³ + x ² – 20x + 12, g(x) = 3x – 2

Pregunta 6. f(x) = 2x ³ – 9x ² + x + 13, g(x) = 3 – 2x

Pregunta 7. f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, g(x) = x ² – 3x + 2

Pregunta 8. Demuestra que (x – 2), (x + 3) y (x – 4) son los factores de x ³ – 3x ² – 10x + 24

Pregunta 9. Demuestra que (x + 4), (x – 3) y (x – 7) son los factores de x ³ – 6x ² – 19x + 84

Pregunta 10. Para qué valor de a es (x – 5) un factor de x ³ – 3x ² + ax – 10

Pregunta 11. Encuentra el valor de tal que (x – 4) es un factor de 5x ³ – 7x ² – ax – 28

Pregunta 12. Encuentra el valor de a, si (x + 2) es un factor de 4x ⁴ + 2x ³ – 3x ² + 8x + 5a