Problema 1: Escribe los primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones cuyos enésimos términos son:
(i) un n = 3n + 2
Solución:
Dado:
un n = 3n + 2
Poniendo n = 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos los primeros cinco términos de la secuencia
un 1 = (3 × 1) + 2 = 3 + 2 = 5
un 2 = (3 × 2) + 2 = 6 + 2 = 8
un 3 = (3 × 3) + 2 = 9 + 2 = 11
un 4 = (3 × 4) + 2 = 12 + 2 = 14
un 5 = (3 × 5) + 2 = 15 + 2 = 17
∴ Los primeros cinco términos son 5, 8, 11, 14, 17
(ii) un n = (n – 2)/3
Solución:
Dado:
Poniendo n = 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos los primeros cinco términos de la secuencia
un norte = (n – 2)/ 3
1 = (1-2)/3 = -1/3
un 2 = (2 – 2)/3 = 0
un 3 = (3 – 2)/3 = 1/3
un 4 = (4 – 2)/3 = 2/3
un 5 = (5 – 2)/3 = 3/3 =1
∴ Los primeros cinco términos son -1/3, 0, 1/3, 2/3, 1
(iii) un norte = 3 norte
Solución:
Dado:
Poniendo n = 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos los primeros cinco términos de la secuencia
un 1 = 3 1 = 3;
un 2 = 3 2 = 9;
un 3 = 3 3 = 27;
un 4 = 3 4 = 81;
un 5 = 3 5 = 243.
∴ Los primeros cinco términos son 3, 9, 27, 81, 243.
(iv) un n = (3n – 2)/ 5
Solución:
Dado:
Poniendo n = 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos los primeros cinco términos de la secuencia
un 1 = (3 * 1 – 2)/5 = 1/5
un 2 = (3 * 2 – 2)/5 = 4/5
un 3 = (3 * 3 – 2)/5 = 7/5
un 4 = (3* 4 – 2)/5= 10/5 =2
un 5 = (3 * 5 – 2)/5 =13/5
∴ Los primeros cinco términos son 1/5, 4/5, 7/5, 2, 13/5
(v) un norte = (-1) norte 2 norte
Solución:
Dado:
Poniendo n = 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos los primeros cinco términos de la secuencia
un 1 = (-1) 1 . 2 1 = -2
un 2 = (-1) 2 . 2 2 = 4
un 3 = (-1) 3 . 2 3 = -8
un 4 = (-1) 4 . 2 4 = 16
un 5 = (-1) 5 . 2 5 = -32
∴ Los primeros cinco términos son -2, 4, -8, 16, -32
(vi) un n = n(n – 2)/2
Solución:
Dado:
Poniendo n = 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos los primeros cinco términos de la secuencia
a 1 = (1.( 1 – 2))/2 = -1/2
un 2 = (2.(2 – 2))/2 = 0
un 3 = (3.(3 – 2))/2 = 3/2
un 4 = (4.(4 – 2))/2 = 4
a 5 = (5.(5 – 2))/2 =15/2
∴ Los primeros cinco términos son -1/2, 0, 3/2, 4, 15/2
(vii) un norte = norte 2 – norte + 1
Solución:
Dado:
Poniendo n = 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos los primeros cinco términos de la secuencia
un 1 = 1 2 – 1 + 1 = 1
un 2 = 2 2 – 2 + 1 = 3
un 3 = 3 2 – 3 + 1 = 7
un 4 = 4 2 – 4 + 1 = 13
un 5 = 5 2 – 5 + 1 = 21
∴ Los primeros cinco términos son 1, 3, 7, 13, 21
(viii) un n = 2n 2 – 3n + 1
Solución:
Dado:
Poniendo n = 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos los primeros cinco términos de la secuencia
a 1 = 2 .1 2 – 3.1 + 1 = 0
un 2 = 2. 2 2 – 3.2 + 1 = 3
un 3 = 2.3 2 – 3.3 + 1 = 10
un 4 = 2.4 2 – 3.4 + 1 = 21
5 = 2,5 2 – 3,5 + 1 = 36
∴ Los primeros cinco términos son 0, 3, 10, 21, 36
Problema 2: Encuentra los términos indicados en cada una de las siguientes sucesiones cuyos n-ésimos términos son:
(i) un n = 5n – 4; un 12 y un 15
Solución :
Dado:
un n = 5n – 4
a 12 = Poniendo n=12
12 = 5,12 – 4 = 56
a 15 = Poniendo n=15
15 = 5,15 – 4 = 71
∴ Los términos requeridos a 12 = 56, a 15 = 71
(ii) un n = (3n – 2)/(4n + 5), un 7 y un 8
Solución:
Dado:
un n = (3n – 2)/(4n + 5)
a 7 = Poniendo n=7
= (3,7 – 2)/(4,7 + 5)
=19/33
a 8 = Poniendo n = 8
= (3,8 – 2)/(4,8 + 5)
= 2 2/37
∴ Los términos requeridos a 7 = 19/33, a 8 = 22/37
(iii) un n = n(n – 1)(n – 2); un 5 y un 8
Solución:
Dado:
un norte = norte ( n – 1) (n – 2)
Poniendo n=5
a 5 = 5(5 – 1).(5 – 2) = 5.4.3 = 60
Poniendo n=8
a 8 = 8.(8 – 1).(8 – 2) = (8.7.6) = 336
∴ Los términos requeridos a 5 = 60, a 8 = 336
(iv) un n = (n – 1)(2 – n)(3 + n); un 1 , un 2 , un 3
Solución:
Dado:
un norte = ( n – 1)(2 – n)(3 + n)
Poniendo n = 1
a 1 = (1 – 1)(2 – 1)(3 + 1) = 0.1.4 = 0
Poniendo n = 2
un 2 = (2 – 1)(2 – 2)(3 + 2) = 1.0.5 = 0
Poniendo n = 3
a 3 = (3 – 1)(2 – 3)(3 + 3) = 2.-1.6 = -12
∴ Los términos requeridos a 1 = 0, a 2 = 0 y a 3 = -12
(v) a n = (-1) n .n; un 3 , un 5 , un 8
Solución:
Dado:
un norte = (-1) norte .n
Poniendo n=3
a 3 = (-1) 3 .3 = -1.3 = -3
Poniendo n=5
a 5 = (-1) 5 .5 = -1.5 = -5
Poniendo n=8
un 8 = (-1) 8 .8 = 1.8 = 8
∴ Los términos requeridos a 3 = -3, a 5 = -5 y a 8 = 8
Problema 3: Encuentra los siguientes cinco términos de cada una de las siguientes sucesiones dadas por:
(i) un 1 = 1, un norte = un norte – 1 + 2, norte ≥ 2
Solución:
Poniendo n = 2, 3, 4, 5, 6 obtenemos los siguientes cinco términos de la secuencia
un 2 = un 1 + 2 = 1 + 2 = 3
un 3 = un 2 + 2 = 3 + 2 = 5
un 4 = un 3 + 2 = 5 + 2 = 7
un 5 = un 4 + 2 = 7 + 2 = 9
un 6 = un 5 + 2 = 9 + 2 = 11
∴ Los siguientes cinco términos son 3, 5, 7, 9, 11
(ii) un 1 = un 2 = 2, un norte = un norte – 1 – 3, n > 2
Solución:
Poniendo n = 3, 4, 5, 6, 7 obtenemos los siguientes cinco términos de la secuencia
un 3 = un 2 – 3 = 2 – 3 = -1
un 4 = un 3 – 3 = -1 – 3 = -4
un 5 = un 4 – 3 = -4 – 3 = -7
un 6 = un 5 – 3 = -7 – 3 = -10
un 7 = un 6 – 3 = -10 – 3 = -13
∴ Los siguientes cinco términos son -1, -4, -7, -10, -13
(iii) un 1 = -1, un n = (un n – 1 )/(n), n >= 2
Solución:
Poniendo n = 2, 3, 4, 5, 6 obtenemos los siguientes cinco términos de la secuencia
un 2 = un 1/2 = -1/2
un 3 = un 2 /3 = (-1/2)/3 = -1/6
un 4 = un 3/4 = (-1/6)/4 = -1/24
un 5 = un 4/5 = (-1/24)/5 = -1/120
un 6 = un 5 /6 =(-1/120)/6 = -1/720
∴ Los siguientes cinco términos son -1/2, -1/6, -1/24, -1/120, -1/720
(iv) un 1 = 4, un n = 4a n – 1 + 3, n > 1
Solución:
Poniendo n = 2, 3, 4, 5, 6 obtenemos los siguientes cinco términos de la secuencia
a 2 = 4.a 1 + 3 = 4.4 + 3 = 19
a 3 = 4.a 2 + 3 = 4.19 + 3 = 79
a 4 = 4.a 3 + 3 = 4.79 + 3 = 319
a 5 = 4.a 4 + 3 = 4.319 + 3 = 1279
a 6 = 4. a 5 + 3 = 5.1279 + 3 = 5119
∴ Los siguientes cinco términos son 19, 79, 319, 1279, 5119
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Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA